双曲线测试题参考答案：
1．A
【分析】令即可求渐近线方程.
【详解】令
得
即双曲线的渐近线方程为
故选：A.
2．B
【分析】将配方确定其圆心A，设与已知两圆都外切的圆的圆心为P，根据两圆外切可得，即可判断答案.
【详解】由，得 ，
设该圆圆心为A,
设圆P与圆及圆都外切,半径为r，
∵圆P与圆O和圆A都外切，
∴，
则 ，
∴P点在以为焦点的双曲线的一支上，
故选：B．
3．B
【分析】首先根据题意得到，，，焦点在轴，再根据点到直线的距离求解即可。
【详解】双曲线，即，
则，，，焦点在轴。
设，渐近线方程为：，即，
则.
故选：B
4．C
【分析】由题设所求方程为：再待定系数放求解即可.
【详解】解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为，
所以，可以设其方程为：
又由双曲线过点，则有解得，
所以，其方程为：．即.
故选：C．
5．B
【分析】首先表示出渐近线方程，令求出，即可得到两交点坐标，依题意由等边三角形的性质得到，将两边平方，即可求出、的关系，从而求出离心率.
【详解】解：双曲线的渐近线为，令，解得，
不妨取，，左焦点为，
又为正三角形，
∴，即，即，所以，∴；
故选：B．
6．D
【分析】利用圆的性质，线段垂直平分线的性质，结合双曲线的定义进行求解即可.
【详解】因为线段的垂直平分线与直线相交于点，
所以有，
由，得，该圆的半径为，
因为点在圆上运动时，
所以有，于是有，
所以点的轨迹是以为焦点的双曲线，所以，
所以点的轨迹方程为，
故选：D
7．C
【分析】由焦点到渐近线的距离得到b，联立直线与双曲线的方程，用点差法可以得到两条直线的斜率，由，求的值，A，B，D三个选项即可判断，C选项考查双曲线的定义，用得到的值，就可以计算三角形的面积.
【详解】因为双曲线：的焦点到渐近线的距离为1，则，所以双曲线方程为：，由可得，
设，，则，即，∴，设
则，，所以，即，
又，，，所以，∴，即，故A错误；
所以双曲线：，，
双曲线的渐近线方程为，离心率为，故B错误，D错误；
若，则，
所以，的面积为1，故C正确.
故选：C.
8．B
【分析】若左焦点，连接，由题意知为矩形，设，则，，，在直角△、直角△中应用勾股定理列方程可得，且得到关于双曲线参数的齐次方程，即可得离心率.
【详解】如下图，若左焦点，连接，
因为A、B关于原点对称且，所以为矩形，
设，则，，，
在直角△中，即，
所以，
在直角△中，即，
所以.
故选：B
9．CD
【分析】根据双曲线的标准方程，求出，然后对选项逐一判断即可.
【详解】因为双曲线，则
则焦点坐标为，故A错误；
焦点在轴的双曲线的渐近线方程为，即，故B错误；
双曲线虚轴长为，故C正确；
离心率为，故D正确.
故选:CD.
10．BD
【分析】根据的取值，结合圆与圆锥曲线方程的特征逐一判断即可.
【详解】对于A, 当时，此时曲线为圆，故A错，
对于B,若曲线为双曲线，则，即或， 故B对，
对于C, 若曲线为圆，则即，故曲线可能是圆，故C错，
对于D, 曲线表示焦点在轴上的椭圆,则，解得，故D对.
故选：BD.
11．ACD
【分析】对于A，将双曲线方程化为标准方程，易得，从而可求离心率；
对于B，利用双曲线方程及两点距离公式，将问题转化为二次函数的最值，从而得解；
对于C，利用双曲线的几何性质易得的最小值；
对于D，利用点线距离公式即可求得焦点到渐近线的距离.
【详解】对于A，由双曲线得，则，故，即，故双曲线离心率为，故A正确；
对于B，设，则或，则，即，
所以，
故当时，，故，故B错误；
对于C，易知，故C正确；
对于D，由选项A知，双曲线焦点为，渐近线为，即，
所以焦点到渐近线的距离为，故D正确.
故选：ACD.
12．AB
【分析】由几何关系得轴，再由离心率，渐近线的概念对选项逐一判断，
【详解】因为M，O分别是，的中点，
所以在中，，所以轴，
对于A，因为直线的倾斜角为，所以，故A正确，
对于B，中，，，，
所以，得：，故B正确，
对于C，的周长为，设内切圆半径为r，根据三角形的等面积法，
有，得：，故C错误，
对于D，，双曲线渐近线的方程为，故D错误，
故选：AB
13．
【分析】根据焦点坐标及题意，设方程为，根据焦点坐标，可求得，即可得答案.
【详解】因为一个焦点是，所以，且焦点在x轴，
所以设等轴双曲线方程为，
所以，解得，
所以双曲线标准方程为
故答案为：
14．
【分析】由双曲线的对称性，可以设点P在第一象限，，可得P点横坐标为c，代入渐近线方程，可得P点坐标，再由模长关系，可得，即可求得离心率.
【详解】不妨设P在第一象限，因为，则，
依题意：，所以，
离线率.
故答案为：.
15．(2，+∞)
【分析】由一三象限的渐近线的斜率大于可得离心率的范围．
【详解】依题意，斜率为的直线l过双曲线1（a＞0，b＞0）
的右焦点为F且与双曲线的左右两支分别相交，
双曲线的一条渐近线的斜率必大于，
即，因此该双曲线的离心率e2．
故答案为：(2，+∞)．
16．
【分析】由双曲线的性质得内切圆圆心坐标，再列式求解，
【详解】设在第一象限，作图如下，切点，
由题意得，
即，所以，而内切圆半径为，所以圆心坐标为，
由于，即，得：，，
故答案为：
17．(1)
(2)或
【分析】（1）结合椭圆几何性质即可；
（2）结合双曲线几何性质即可.
【详解】（1）由题知：
，
解得：
（2）由题知:
,
解得：或
18．(1)
(2)
【分析】（1）由双曲线的性质求解，
（2）设点坐标，由斜率公式与双曲线方程化简求解，
【详解】（1）设双曲线的方程为（且），将代入可得，
解得，故双曲线的标准方程为；
（2）可设，，，，则，
而点在双曲线上，故，即，
故.
19．(1)
(2)或
【分析】（1）首先令得出渐近线方程，进而求出所夹的锐角；
（2）将直线方程代入到双曲线方程消去x并化简，进而利用根与系数的关系结合三角形面积公式求得答案.
【详解】（1）由题意，令，得，所以双曲线的渐近线方程为，
易得它们所夹的锐角为.
（2）当时，可得双曲线.
已知直线经过点，可设直线方程为.
设，联立得，
化简得或且，
所以，又，
所以三角形面积，
即，解得或，满足题意，
所以当时，或.
【点睛】当在思考三角形面积这一步时，我们就应该想到用到根与系数的关系，接下来就是运算问题.需要注意的是，我们不能盲目地每道题都一开始就写出根与系数的关系，而应该结合题目的具体要求，这道题到底需要求什么，那我们就应该先求出什么.
20．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据离心率以及焦点到渐近线的距离，求得，则方程得解；
（2）讨论直线斜率是否存在，且当直线斜率时，设出直线方程，联立双曲线方程，根据，找到参数之间的关系，再利用弦长公式求得，以及用点到直线的距离公式求得三角形的高，求得面积，即可证明.
【详解】（1）设双曲线的一个焦点为，一条渐近线的方程为，
所以焦点到渐近线的距离为.
因为，所以，，
所以双曲线的方程为.
（2）证明：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，又渐近线方程为：，
此时，.
当直线的斜率存在时，不妨设直线：，且斜率，
联立方程组得，
由，得，
联立方程组得.
不妨设直线与的交点为，则.
同理可求，所以.
因为原点到直线的距离，
所以，又因为，所以，
故的面积为定值，且定值为.
【点睛】易错点点睛：本题考查双曲线方程的求解，以及双曲线中的定值问题；第二问中，容易出错的点是没有对直线的斜率是否存在进行讨论，以及当斜率存在时不能与渐近线平行，属综合中档题.
21．(1)
(2)9
(3)存在，
【分析】(1)设，由题目条件列等式求方程.
（2）设直线方程，与曲线方程联立方程组，利用韦达定理和弦长公式，得到面积表达式，讨论最小值.
（3）恒成立，转化为求解.
【详解】（1）设，由与的斜率之积为3，有，
得到轨迹的方程.
（2）过的直线斜率不存在时，有，，；
过的直线斜率存在时，设直线方程为，由双曲线方程可得双曲线渐近线方程为，
直线交曲线在轴右侧的图像于两点， 有或，即.
由消去得，设，，
有，，
，
到直线的距离为，，
由，，
综上，直线斜率不存在时，面积的最小值为9.
（3）假设存在定点，使得恒成立，即，
由（2）可得，过的直线斜率存在时，
化简得，当时等式恒成立，解得，即定点.
当过的直线斜率不存在时，有，，点也满足，即.
综上，存在定点，使得恒成立，实数的值为-1.
22．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知可设，双曲线的标准方程为，根据条件列出a，c关系式，解出代入方程即可；
（2）对直线的斜率能否为0进行讨论.斜率不为0时，设的方程为，联立直线与椭圆的方程，有垂直关系时，在圆锥曲线中常用向量法，化简得到m，k的关系式；斜率不存在时，写出直线方程，验证即可.
【详解】（1）设双曲线的标准方程为，
焦点为，，
因为双曲线与椭圆有相同的焦点，所以.
因为焦点到渐近线的距离为2，所以，从而，
故双曲线的标准方程为
（2）证明：设，.
①当直线的斜率存在时，设的方程为，
联立方程组
化简得，
则，即，
且
因为，
所以，
化简得
所以或，且均满足.
当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾；
当时，直线的方程为，过定点
②当直线的斜率不存在时，由对称性，不妨设DE方程为：y=x-1，
联立方程组，得
得，，此时直线过定点
因为，所以点在以为直径的圆上，为该圆的圆心，为该圆的半径，故存在定点，使得为定值
【点睛】圆锥曲线中的定值问题通常是通过设参数或取“特殊值”来确定定值是多少.因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定值显现.2022-2023学年度第一学期双曲线测试
高二学年 数学科目
时间:120分钟
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ）
A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上 C．一条抛物线上 D．一个圆上
3．已知点为双曲线的一个焦点，则点到双曲线一条渐近线的距离为（ ）
A． B．1 C． D．
4．已知双曲线过点，其中一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．过双曲线的右顶点作轴的垂线与两渐近线交于两点，这两个点与双曲线的左焦点恰好是一个正三角形的三顶点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．4
6．已知圆：，为圆心，为圆上任意一点，定点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线：的焦点到渐近线的距离为，又双曲线与直线交于，两点，点为右支上一动点，记直线，的斜率分别为，，曲线的左 右焦点分别为，.若，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．双曲线的渐近线方程为
C．若，则的面积为1
D．双曲线的离心率为
8．已知双曲线：的右焦点为，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，，，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的）
9．已知双曲线，则（ ）
A．的焦点坐标为 B．的渐近线方程为
C．的虚轴长为 D．的离心率为
10．若方程表示的曲线为，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则曲线为椭圆 B．若曲线为双曲线，则或
C．曲线不可能是圆 D．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则
11．若P是双曲线上一点，C的一个焦点为F，点，则下列结论中正确的是（ ）
A．离心率为 B．的最小值是3
C．的最小值是 D．焦点到渐近线的距离是2
12．已知，是双曲线（，）的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交y轴、双曲线右支于点M、点P，且，下列判断正确的是（ ）
A． B．E的离心率等于
C．的内切圆半径是 D．双曲线渐近线的方程为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点是，则双曲线的标准方程是____．
14．设双曲线C：（，）的左、右焦点分别为、，P是渐近线上一点，且满足，，则双曲线C的离心率为___________.
15．已知双曲线1（）的右焦点为F，若过F且倾斜角为60°的直线分别与双曲线的左右两支相交，则此双曲线离心率的取值范围是_______.
16．已知P是双曲线上一点，，分别是左、右焦点，焦距为2c，的内切圆的周长是，则离心率e的取值范围是_________.
四、解答题（本大题共6小题,共70分，解答应写出文字说明，说明过程或演算步骤）
17(本题10分)．已知，当为何值时，
(1)方程表示焦点在轴上的椭圆；
(2)方程表示双曲线.
18(本题12分)．已知双曲线过点且与双曲线：共渐近线，点在双曲线上（不包含顶点）.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)记双曲线与坐标轴交于，两点，求直线，的斜率之积.
19(本题12分)．已知双曲线为右焦点.
(1)求双曲线的渐近线方程及两条渐近线所夹的锐角；
(2)当时，设过点的直线与双曲线交于点，且的面积为，求直线的斜率.
20(本题12分)．已知双曲线：的离心率为，且焦点到渐近线的距离为1.
(1)求双曲线的方程；
(2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.
21(本题12分)．已知，动点满足与的斜率之积为3，记动点的轨迹为.
(1)求轨迹的方程；
(2)已知，过的直线交曲线在轴右侧的图像于两点，求面积的最小值；
(3)若直线过交曲线图像于两点，是否存在定点，使得恒成立，若存在，请求实数的值；若不存在，请说明理由.
22(本题12分)．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点到渐近线的距离为2.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设为双曲线的右顶点，直线与双曲线交于不同于的，两点，若以为直径的圆经过点且于，证明：存在定点，使得为定值.
