2022-2023学年度第一学期抛物线考试
高二学年 数学科目
时间:120分钟
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．抛物线的焦点到准线的距离是（ ）
A． B． C．1 D．2
2．已知抛物线：恰好经过圆：的圆心，则抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．设抛物线：的焦点为，点在上，，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知平面四边形的四个顶点都在抛物线上，其中顶点，为抛物线的焦点，若，则（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
5．已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，过A点作准线的垂线交准线于，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（ ）
A． B． C． D．
7．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过作的垂线，垂足为，若，则到轴的距离为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
8．已知斜率为的直线过抛物线的焦点，与拋物线交于，两点，又直线与圆交于两点.若，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的）
9．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l：y=x-2与抛物线C交于A，B两点，则（ ）
A．抛物线C的准线方程为
B．点F到直线l的距离为
C．∠AOB
D．
10．已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（ ）
A．的准线方程为
B．直线与相切
C．若，则的最小值为
D．若，则的周长的最小值为11
11．已知直线：过抛物线：（）的焦点，且与抛物线交于A，两点，过A，两点分别作抛物线准线的垂线，垂线分别为，，则下列说法错误的是（ ）
A．抛物线的方程为 B．线段的长度为
C． D．线段的中点到轴的距离为
12．已知抛物线：的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，其中点在第一象限，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．焦点到准线的距离为6 B．
C． D．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．以双曲线右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是____________．
14．已知抛物线的焦点为F，点P为该抛物线上一个动点，点，则的最小值为______．
15．已知点是抛物线上动点，是抛物线的焦点，点的坐标为，则的最小值为______.
16．已知点在抛物线上，点是抛物线的焦点，线段的中点为．若点的坐标为，且是的垂心，则直线的方程_________；
四、解答题（本大题共6小题,共70分，解答应写出文字说明，说明过程或演算步骤）
17(本题10分)．根据下列条件写出抛物线的标准方程：
（1）经过点；
（2）焦点在轴的负半轴上，且焦点到准线的距离是6.
18(本题12分)．已知抛物线上的点到焦点F的距离为6．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点作直线l交抛物线C于A，B两点，且点P是线段的中点，求直线l方程．
19(本题12分)．设抛物线C：x2＝2py（0＜p＜8）的焦点为F，点P是C上一点，且PF的中点坐标为（2，）
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)动直线l过点A（0，2），且与抛物线C交于M，N两点，点Q与点M关于y轴对称（点Q与点N不重合），求证：直线QN恒过定点．
20(本题12分)．设抛物线的焦点为F，准线为l，，以M为圆心的圆M与l相切于点Q，Q的纵坐标为，是圆M与x轴的不同于F的一个交点．
(1)求抛物线C与圆M的方程；
(2)过F且斜率为的直线n与C交于A，B两点，求△ABQ的面积．
21(本题12分)．已知抛物线的焦点为为上一点，的最小值为1.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过焦点作互相垂直的两条直线与抛物线相交于两点，与抛物线相交于两点.若分别是线段的中点，求的最小值.
22(本题12分)．已知是椭圆C：与抛物线E：的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点.
(1)求椭圆C及抛物线的方程；
(2)A，B是椭圆C上的两个不同点，若直线，的斜率之积为（注：为坐标原点），点是线段的中点，连接并延长交椭圆于点，求的值.参考答案：
1．A
【分析】根据抛物线方程确定焦准距p的值，即得答案.
【详解】因为抛物线方程为，故焦准距，
即焦点到准线的距离是，
故选：A.
2．C
【分析】求出圆心，代入抛物线，求得，进而得到抛物线得标准方程，进而可求得抛物线的焦点坐标.
【详解】由已知得，圆的圆心为：，
故把圆心坐标代入抛物线得，，解得，
则抛物线：，化简得，
可得抛物线的焦点坐标为
故选：C
3．D
【分析】根据题意得出是抛物线通径的一半，再由勾股定理即可解决.
【详解】由题意可知，，
所以.
因为抛物线的通径长，
所以轴，
所以
故选：D.
4．C
【分析】利用向量的坐标运算得，再根据抛物线的定义即可求解.
【详解】因为在抛物线上，所以，即，所以，
设，
由得，
所以，即，
根据抛物线的定义可得
.
故选:C.
5．B
【分析】结合图形，利用抛物线的定义，直角三角形的性质进行求解.
【详解】
因为，根据抛物线定义有：，
设与轴的交点为，因为，所以.
因为，所以.故A，C，D错误.
故选：B.
6．A
【分析】根据题意求出其余两个顶点坐标，然后由抛物线定义求其边长
【详解】依题意，抛物线的焦点，设正三角形另外两个顶点为，
由得：，整理得，
因此有，而，即有，于是得点关于y轴对称，如图，
等边三角形中，直线的倾斜角为，直线的倾斜角是，
所以点分别在上，由，解得，
根据抛物线的定义得其边长为．
故选：A
7．A
【分析】根据抛物线的定义，结合条件表示出的长度，然后列出方程即可得到结果.
【详解】由题意可知，不妨令在轴上方，准线与轴交点为,如图所示
因为点在C上，根据抛物线的定义可得，且，则,
所以为等腰三角形，且,解得，
在中，,即即，解得，所以到轴的距离为.
故选：A.
8．C
【分析】写出直线方程为与抛物线方程联立方程组，设，方程组消元后求得，由点在直线上求得（也可消去，直接用韦达定理得结论），再由焦点弦长公式表示出弦长，圆心就是抛物线的焦点，圆半径是，则，代入已知条件可求得．
【详解】抛物线的焦点为，直线方程为，
由得，设，则，
又，，∴，
∴，
圆，圆心为，半径为，
∴，
∵，∴，解得，∵，∴．
故选：C．
9．AB
【分析】根据抛物线方程求得准线、焦点，结合点到直线的距离公式、向量垂直、弦长等知识求得正确答案.
【详解】抛物线的焦点为，准线为，A选项正确.
直线，即，
到的距离为，B选项正确.
由解得或，
不妨设，
则，
所以，C选项错误.
，D选项错误.
故选：AB
10．BCD
【分析】将抛物线方程化为标准式，即可求出焦点坐标与准线方程，从而判断A，联立直线与抛物线方程，消元，由判断B，设点，表示出，根据二次函数的性质判断C，根据抛物线的定义转化求出的周长的最小值，即可判断D.
【详解】解：抛物线：，即，所以焦点坐标为，准线方程为，故A错误；
由，即，解得，所以直线与相切，故B正确；
设点，所以，
所以，故C正确；
如图过点作准线，交于点，，，
所以，
当且仅当、、三点共线时取等号，故D正确；
故选：BCD
11．BD
【分析】求出抛物线的焦点坐标，可得，即可判断A;联立方程求出A,B坐标，可得，判断B；确定M,N坐标，可计算，判断C;求出线段的中点坐标，即可判断D.
【详解】由题意不妨设点A在点上方，直线：与x轴交点，
又经过的焦点，故，可得，
即抛物线方程为：，A正确．
由，可得，解得或，
可得，，所以，B错误．
由以上分析可知，，，，
可得，
则，即，C正确．
因为，，故线段的中点为，
则线段的中点到轴的距离为，D错误，
故选：BD．
12．BCD
【分析】设出直线的方程，联立抛物线方程，结合韦达定理，焦点弦公式，对每个选项逐一分析，即可判断和选择.
【详解】根据题意可得，故直线的斜率，
设直线的方程为，联立抛物线方程
可得：，显然，
则，，，
，故，解得；
对A：焦点到准线的距离为，故错误；
对B：，故正确；
对C：，故正确；
对D：因为，则即，
解得，则，故正确.
故选：BCD.
13．
【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的右顶点和左焦点，进而根据抛物线的性质可求得抛物线的，方程可得
【详解】根据双曲线方程可知，，，
右顶点坐标为，左焦点坐标为，
抛物线顶点为双曲线的右顶点，焦点为左焦点，，，
抛物线顶点坐标为，焦点坐标为，
焦点在轴上，在顶点的左侧，抛物线开口向左，
抛物线方程．
故答案为：．
14．##4.5
【分析】结合抛物线第一定义，由两点间直线距离最短即可求解.
【详解】如图所示，设抛物线准线交于点，由抛物线第一定义可知，，要使最小，即最小，当三点共线时，取到最小值，,
故答案为：
15．##
【分析】过点作垂直于准线，根据抛物线的定义结合条件可得，进而可得当和抛物线相切时，的值最小，然后利用直线的斜率公式及导数的几何意义即得.
【详解】由题意可得，抛物线的焦点，准线方程为，
过点作垂直于准线，为垂足，则由抛物线的定义可得，
则，为锐角，
故当最小时，的值最小，即当和抛物线相切时，的值最小，
设切点，则，
由的导数为，
则的斜率为，
所以，，
，，
.
故答案为：.
16．
【分析】根据给定条件，求出直线AB的斜率，并设出方程，再与的方程联立，借助韦达定理及向量垂直的坐标表示计算作答.
【详解】抛物线的焦点，则直线MF的斜率，而为的垂心，即有，直线AB的斜率为，
设的方程为，由消去y并整理得：，
于是得，，，，，
由得，
，解得，而，则有，
所以直线的方程为.
故答案为：
17．（1）或；（2）.
【分析】（1）根据点在第三象限，所以可设抛物线的标准方程为，，将点代入即可求出；
（2）根据的几何意义结合焦点位置即可解出．
【详解】（1）当抛物线的标准方程为时，将点代入，得，即所求抛物线的标准方程为；
当抛物线的标准方程为时，将点代入，得，即所求抛物线的标准方程为.
综上，抛物线的标准方程为或.
（2）由焦点到准线的距离为6，知.
又焦点在轴的负半轴上，∴抛物线的标准方程为.
18．(1).
(2).
【分析】（1）由抛物线定义有求参数，即可写出抛物线方程.
（2）由题意设，联立抛物线方程，结合韦达定理、中点坐标求参数k，即可得直线l方程．
(1)
由题设，抛物线准线方程为，
∴抛物线定义知：，可得，
∴.
(2)
由题设，直线l的斜率存在且不为0，设，联立抛物线方程，
有，整理得，则，又P是线段的中点，
∴，即，故.
19．(1)x2＝4y；
(2)证明见解析
【分析】（1）设，根据的中点坐标为列方程得到，然后代入抛物线方程中，解得，即可得到抛物线的方程；
（2）方法一：设直线方程为，跟抛物线方程联立，得到，然后利用韦达定理求出直线的方程，即可得到过定点；
方法二：设直线方程为，跟抛物线方程联立，得到，然后利用，，三点共线列方程，再结合韦达定理得到，即可得到直线过定点.
【详解】（1）依题意得，设，由的中点坐标为，得，解得，
∵在抛物线，∴，
即，解得或8（舍去），
∴抛物线的方程为.
（2）（法一）依题意直线的斜率存在，
设直线：,,，则，
联立消去得，显然Δ＞0，由韦达定理得，
∵，
∴直线方程为，
即，
∵，∴方程为，
即直线方程恒过定点．
（法二）依题意知直线的斜率存在且不为0，
设直线方程为，，，
则，
联立消去得，
∵是抛物线上不同两点，∴必有Δ＞0，
由韦达定理得，
∵，，三点共线，，，
∴即，
∴，即化简得：，
∵，∴，
∴直线方程为，
∴直线恒过定点.
【点睛】解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
20．(1)抛物线，圆
(2)
【分析】（1）分别求点的坐标，再利用圆心在线段的垂直平分线上，求得值，即可求得抛物线和圆的方程；
（2）直线与抛物线方程联立，求得点的坐标，求得，以及点到直线的距离，再求三角形的面积.
【详解】（1）由抛物线的定义知，圆M经过焦点，
，点M的纵坐标为，又，则，得，
则，．
由题意，M是线段EF的垂直平分线上的点，所以，解得p＝2，
故抛物线，圆．
（2）由题意知直线n的方程为，
由，解得或
设，，则．
点到直线的距离，
所以△ABQ的面积．
21．(1)；
(2)16.
【分析】（1）将化为标准方程，再由的最小值为1，可得，即可得出抛物线的标准方程；
（2）设直线斜率为，则的斜率为，设直线的方程为，设，，联立直线的方程与抛物线的方程，可求出，同理，再由均值不等式，结合二次函数的性质即可得出答案.
【详解】（1）将化为标准方程得，，
因为的最小值为1，所以，解得，
所以抛物线的标准方程为.
（2）由（1）得，点，显然直线，的斜率都存在且不为0，
设直线斜率为，则的斜率为，
直线的方程为，由消去并整理得，
，
设，，则，所以线段中点，
，同理，
所以，
令，当且仅当，即时等号成立.
所以，且，
所以，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为16.
22．(1)；
(2)
【分析】(1)结合已知条件求出抛物线方程，并求其焦点，然后可得，再将点代入椭圆方程即可求解；(2) 设，，，，然后利用向量用和点坐标表示出点坐标，并将点代入椭圆方程并化简整理，再结合，斜率之积为即可求解.
（1）
∵是抛物线：上一点，
∴，即抛物线的方程为，焦点，
∴，
又∵在椭圆C：上，∴，
结合知，，
∴椭圆的方程为，抛物线的方程为.
（2）
设，，，，
∵点是线段的中点，∴，
，，，
∴，
∵点在椭圆上，
∴
∴
∵点在椭圆上，
又∵，斜率之积为，
∴，，，
∴，∴，∴或（舍），
∴，∴.
