2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.2.1等差数列的概念第二课时 课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
4.2.1 等差数列的概念
第二课时等差数列的性质
2、等差数列的通项公式
1、等差数列的定义
3、等差数列的中项
复习
通项公式的证明及推广
10与18
解析:
思考
结论:
等差数列与一次函数的关系
等差数列的判定
首项是1，公差是2的无穷等差数列的通项公式为
an ＝2n-1
相应的图象是直线y=2x-1上均匀排开的无穷多个孤立的点，如右图
例如：
当d>0时，{an}为递增数列.
an ＝2n-1
y=2x-1
d=2>0
等差数列的图象2
（2）数列：7，4，1，-2，…
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
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10
0
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当d<0时，{an}为递减数列.
等差数列的图象3
（3）数列：4，4，4，4，4，4，4，…
1
2
3
4
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等差数列的图象为相应直线上的点。
当d=0时，{an}为常数列.
性质 ：设 若 则
等差数列的性质
数列{an}是等差数列，m、n、p、q∈N+，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq。
判断：
可推广到三项，四项等
注意：等式两边作和的项数必须一样多
∴a8＝26－a2＝26－4＝22.
若m+n=p+q，则am+an=ap+aq
等差数列{an}中，a7=6,
则a1+a13=___
a6+a8=____
12
12
a3+a11= a4+a10=
特别地:当p=q时,am+an=2ap
12
12
例.在等差数列{an}中，a5＋a13＝40，求a8＋a9＋a10的值
解析：
设此数列的首项为a1，公差为d，则
a5＋a13＝（a1＋4d）＋（a1＋12d）
＝2a1＋16d＝40，
即a1＋8d＝20.
a8＋a9＋a10＝a1＋7d）＋（a1＋8d）＋（a1＋9d）
＝3a1＋24d
＝3(a1＋8d)
＝60.
可以应用等差数列的性质：
若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，
则am＋an＝ap＋aq，
当p=q时,am+an=2ap
法二：
有a8＋a10＝a5＋a1＝2a9＝40，
故a8＋a9＋a10＝（ a8＋a10 ） ＋a9
= 3 a9 =60
法一
=a9
例8
（1）已知等差数列{an}中， a3 ＋a15=30,求a9， a7＋a11
解：
（1）∵a9是a3和a15的等差中项
∴
（2）已知等差数列{an}中，
a3 ＋a4＋a5 ＋a6 ＋a7=150，
求a2＋a8的值
∵7+11=3+15
（2）∵3+7=4+6=5+5
∴ a3 ＋a4＋a5 ＋a6 ＋a7=5 a5=150
即a5=30
故a2＋a8 =2 a5=60
∴ a7＋a11 =a3 ＋a15=30
∴ a3＋a7 =a4 ＋a6=2 a5
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添加标题
1.若数列{an}是等差数列，p为常数，那么数列
{an +c}、{pan} 是否为等差数列，请说明理由.
思考
2.若数列{an}、{bn}都是等差数列,那么数列
{an＋bn}，{an－bn}是否为等差数列，请说明理由.
例 已知三个数成等差数列，它们的和是12，积是48，求这三个数.
解：设三个数为a-d，a，a+d，则
解之得
故所求三数依次为2，4，6或6，4，2
等差数列中的设项方法与技巧
特别地:当p=q时,am+an=2ap
例 已知单调递增的等差数列{an}的前3项之和为21，前3项之积为231，求数列{an}的通项公式．
练习：已知数列{an}是等差数列，若a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，求a3＋a15的值．
解：∵a1＋a17＝a5＋a13
∴a1－a5＋a9－a13＋a17 ＝117.
(a1＋a17)－(a5＋a13)＋a9＝117.
a9＝117.
∴a3＋a15＝2a9
＝2×117＝234.
=2a9
【例】 在等差数列{an}中，
(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48， (2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，
求a13； a2·a5＝52，求公差d.
解：(1)根据已知条件
a2＋a3＋a23＋a24＝48，
a2＋a24 ＋a3＋a23 ＝48
得2a13 ＋ 2a13 ＝48.
∴a13＝12.
(2)由a2＋a3＋a4＋a5＝34，
＝-3