2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.2.2等差数列的前n项和公式（第一课时）课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
4.2.2 等差数列的前n项和公式
第1课时
2、等差数列的通项公式
1、等差数列的定义
3、等差数列的中项
复习
通项公式的证明及推广
100与180
特别地:当m+n=2p时,am+an=2ap
创设情境
据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：
1＋2＋3＋…＋100=？
你准备怎么算呢？
探究新知
高斯（gauss，1777－1855），德国数学家，近代数学的奠基者之一. 他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献.
问题1：为什么1＋100＝2＋99＝…＝50＋51呢？
这是巧合吗？试从数列角度给出解释.


下面再来看1+2+3+…+98+99+100的高斯算法.
设s100=1 + 2 + 3 +…+98+99+100
反序s100=100+99+98+…+ 3+ 2 + 1
作
加
法
多少个101
100个101
2s100=101+101+101+…+101+101+101
// // // // // \\ \\
+ + + + + + +
所以s100=
(1+100)×100
？
？
首项
尾项
？
总
和
？
项数
这就是等差数列前n项和的公式！
=5 050
问题.上述方法的妙处在哪里？
倒序求和法
+ 得：2sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1).
证明{an}是等差数列，sn是其前n项和，则
证：sn= a1 + a2 + a3 + …+ an-2 + an-1+ an,
即 sn=
a1,
an
+ a2 +
+ an-1 +
a3
an-2
+…+

多少个(a1+an)
共有n个(a1+an)
= n(a1+an).
这种求和的方法叫倒序相加法！
因此，
当m+n=p+q时
am+an=ap+aq
【即时练习】
由以上例题可以得出:在求等差数列的前n项的和时,当知道首项和公差,或者首项和末项,均可以得出.
已知等差数列an中a2+a5+a12+a15=36.求前16项的和
由等差数列的性质可得:
a1+a16=a2+a15=a5+a12=36/2=18
=(16/2 )×18
=144
分析：可以由等差数列性质，直接代入前n项和公式.
例 1：
解：
16
a2+a15
答:前16项的和为144
探究 等差数列的前n项和公式的其他形式
例



练习
等差数列 -10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？
解：
n1=9，n2=-3
等差数列-10，-6，-2，2，…前9项的和是54.
例3：
设题中的等差数列为{an}，前n项和是 sn，
则a1= -10，d= -6-(-10) = 4,设 sn=54，
根据等差数列前 n项和公式，得
又因为n要为正整数
(舍去)
c
解得a1=-1,d=1,
所以a100=-1+99×1=98.
∴a100=a10+90d=98.
探究 等差数列的前n项和公式的其他形式
（ 注意 a 还可以是 0）
一个关于 的，没有 的“ ”
n
常数项
二次函数
b
a
a
b
已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，求sn.
解：
s10=310，
s20=1 220
例 4：
＝n2－8－(n－1)2＋8
＝2n－1.
这个公式非常重要，适合于所有的数列求和，并不是只适合于等差数列，需完全掌握。
小结
知三求二