《志鸿全优设计》2013-2014学年高中数学北师必修1单元目标检测：第一章　集合（含解析）

数学北师必修1第一章　集合单元检测
参考完成时间：120分钟　实际完成时间：______分钟　总分：150分　得分：______
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知A＝{y|y＝x2}，B＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，则集合A∩B中元素的个数是(　　)．
A．0 B．1 C．2 D．无数个
2．已知集合P＝{4,5,6}，Q＝{1,2,3}，定义PQ＝{x|x＝p－q，p∈P，q∈Q}，则集合PQ的所有真子集的个数为(　　)．
A．32 B．31
C．30 D．以上都不对
3．设集合M＝{x|x＞1}，P＝{x|x2－6x＋9＝0}，则下列关系中正确的是(　　)．
A．M＝P B．PM C．MP D．MP
4．如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是(　　)．
A．A∩B B．A∪B
C．A∩() D．B∩()
5．下列四个命题：①{0}是空集；②若a∈N，则－aN；③集合{x∈R|x2－2x＋1＝0}有两个元素；④集合是有限集．其中正确命题的个数是(　　)．
A．1 B．2 C．3 D．0
6．设全集U＝{0,1,2,3,4}，A＝{0,3,4}，B＝{1,3}，则()∪B＝(　　)．
A．{2} B．{1,2,3}
C．{1,3} D．{0,1,2,3,4}
7．已知集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}满足A∩B≠，A∩C＝，则实数a的值为(　　)．
A．a＝－2或a＝5 B．a＝－3或a＝5
C．a＝－2 D．a＝5
8．已知集合P＝{正奇数}和集合M＝{x|x＝ab，a∈P，b∈P}，若MP，则M中的运算“”是(　　)．
A．加法 B．除法
C．乘法 D．减法
9．50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为(　　)．
A．50 B．45 C．40 D．35
10．定义AB＝.设集合A＝{0,2}，B＝{1,2}，C＝{1}，则集合(AB)C的所有元素之和为(　　)．
A．3 B．9 C．18 D．27
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
11．已知集合A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|x－y＝4}，则A∩B＝________.
12．已知集合A＝{2,3，a2＋4a＋2}，B＝{0,7，a2＋4a－2，2－a}，若A∩B＝{3,7}，则实数a的值等于__________．
13．若方程x2＋px＋4＝0的解集为A，方程x2＋x＋q＝0的解集为B，且A∩B＝{4}，则满足C(A∪B)的所有集合C的个数为________．
14．已知M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值为(　　)．
A．1 B．－1
C．1或－1 D．0或1或－1
15．若集合A＝{x|2x－1＞0}，B＝{x|x－1＞0}，C＝{x|________}，则(A∪B)∩C＝，试在上述集合C中填上一个关于x的一次不等式，使得上述结论成立．
三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)已知全集U为R，集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|x＜－3，或x＞1}．
求：(1)A∩B；
(2)()∩()；
(3)(A∪B)．
17．(本小题满分12分)已知M＝{x|x2－5x＋6＝0}，N＝{x|ax＝12}，若NM，求实数a所构成的集合A，并写出A的所有非空真子集．
18．(本小题满分12分)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A，B为U的子集，且()∩B＝{1,9}，A∩B＝{2}，()∩()＝{4,6,8}，求A和.
19．(本小题满分12分)已知集合A＝{x∈R|x2＋(p＋2)x＋1＝0}，若A∩R＋＝，求实数p的取值范围，其中R＋＝{x∈R|x＞0}．
20．(本小题满分13分)设非空集合S具有如下性质：
①元素都是正整数；②若x∈S，则10－x∈S.
(1)请你写出符合条件，且分别含有1个、2个、3个元素的集合S各一个．
(2)是否存在恰有6个元素的集合S？若存在，写出所有的集合S；若不存在，请说明理由．
(3)由(1)、(2)的解答过程启发我们，可以得出哪些关于集合S的一般性结论(要求至少写出两个结论)?
21．(本小题满分14分)在全国高中数学联赛第二卷中只有三道题，已知：
(1)某校25个学生参加竞赛，每个学生至少解出一道题；
(2)在所有没有解出第一题的学生中，解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍；
(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1个；
(4)只解出一道题的学生中，有一半没有解出第一题．
问：共有多少个学生只解出第二题？

参考答案
1．A　点拨：集合A的元素为数，而集合B的元素为点，两者之间无公共元素，因此A∩B＝，故选A.
2．B　点拨：由所定义的运算可知PQ＝{1,2,3,4,5}，
∴PQ的所有真子集的个数为25－1＝31.故选B.
3．B　点拨：由x2－6x＋9＝0得(x－3)2＝0，∴x＝3，
∴集合P可用列举法表示为P＝{3}．
∵3∈{x|x＞1}，∴PM.
又∵2∈M，但2P，∴PM.
4．D　点拨：图中阴影部分既在集合B中，又在集合UA中，所以在B∩(UA)中．
5．D　点拨：①错误，{0}是含有一个元素0的集合，不是空集；
②错误，当a＝0时，a∈N，且－a∈N；
③错误，由x2－2x＋1＝0得x1＝x2＝1，所以集合{x∈R|x2－2x＋1＝0}可用列举法表示为{1}，而不能写成{1,1}，这样不满足集合中元素的互异性；
④错误，当x为正整数的倒数时∈N.∴是无限集．
6．B　点拨：∵U＝{0,1,2,3,4}，A＝{0,3,4}，∴UA＝{1,2}，又∵B＝{1,3}，∴(UA)∪B＝{1,2,3}．
7．C　点拨：易知B＝{2,3}，C＝{－4，2}．
∵A∩B≠，A∩C＝，∴3∈A，且2A.
∴3是方程x2－ax＋a2－19＝0的解．
∴32－3a＋a2－19＝0，即a2－3a－10＝0.
解得a＝－2或a＝5.
当a＝5时，A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，A∩C＝{2}，不符合题意，故舍去．
∴a＝－2.
8．C　点拨：由已知集合M是集合P的子集，设a＝2m－1，b＝2n－1(m，n∈N*)，
∵a·b＝(2m－1)(2n－1)＝4mn－2(m＋n)＋1＝2[2mn－(m＋n)＋1]－1∈P，
∴MP，而其他运算均不使结果属于集合P，故选C.
9．B　点拨：设参加甲、乙两项体育活动的同学组成的集合分别为A，B.由题意可知，card(A)＝30，card(B)＝25，card(A∪B)＝50.
∵card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)，
∴50＝30＋25－card(A∩B)，
∴card(A∩B)＝5，即两项都参加的学生有5名，
∴仅参加一项活动的学生人数为50－5＝45.
10．C　点拨：∵A＝{0,2}，B＝{1,2}，∴AB＝{0,4,5}，
又∵C＝{1}，∴(AB)C＝{0,8,10}．
故(AB)C的所有元素之和为18.
11．{(2，－2) }　点拨：解方程组，得，
∴A∩B＝{(2，－2)}．
12．1　点拨：由已知得a2＋4a＋2＝7，解得a＝1或－5.当a＝1时，A＝{2,3,7}，B＝{0,7,3,1}，满足条件；但当a＝－5时，A＝{2,3,7}，B＝{0,7,3,7}，显然，集合B不满足互异性的要求，因此a＝－5不合题意，只有a＝1.
13．8　点拨：∵A∩B＝{4}，∴4∈A，且4∈B.
∴
解得∴A＝{x|x2－5x＋4＝0}＝{1,4}，B＝{x|x2＋x－20＝0}＝{－5,4}．
∴A∪B＝{1,4，－5}．
∴A∪B的所有子集有23＝8个，即满足题意的集合C有8个．
14．D　点拨：由于M∩N＝N，所以NM，而M＝{a}，N＝{x|ax－1＝0}，当a＝0时，N＝，符合题意；当a≠0时，，依题意有，所以得a＝±1.综上实数a的值为0或1或－1.
15．(不唯一)　点拨：∵集合A＝{x|2x－1＞0}＝，B＝＝{x|x＞1}．∴A∪B＝.要使(A∪B)∩C＝，集合C可为，注意答案不唯一．
16．解：(1)在数轴上画出集合A和B，可知A∩B＝{x|1＜x≤2}．
(2)UA＝{x|x≤0，或x＞2}，UB＝{x|－3≤x≤1}，
在数轴上画出集合UA和UB，可知(UA)∩(UB)＝{x|－3≤x≤0}．
(3)由(1)中数轴可知，A∪B＝{x|x＜－3，或x＞0}．
∴U(A∪B)＝{x|－3≤x≤0}．
(注：也可由公式U(A∪B)＝(UA)∩(UB)，利用第(2)问计算的结果求U(A∪B)．)
17．解：由x2－5x＋6＝0得，x＝2或x＝3，∴M＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}．
∵NM，∴N＝或{2}或{3}．
当N＝时，方程ax＝12无实数根，此时a＝0；
当N＝{2}时，2是方程ax＝12的根，∴2a＝12，a＝6；
当N＝{3}时，3是方程ax＝12的根，∴3a＝12，a＝4.
∴实数a所构成的集合A＝{0,4,6}，其所有非空真子集有{0}，{4}，{6}，{0,4}，{0,6}，{4,6}．
点拨：先确定集合M，再由NM得出集合N所有可能的情况进行讨论即可．
18．解：∵集合A，B为全集U的子集，∴画出Venn图可知，集合A，B把全集U分为四个区域A∩B，A∩(UB)，(UA)∩B，U(A∪B)．
∵(UA)∩B＝{1,9}，A∩B＝{2}，(UA)∩(UB)＝U(A∪B)＝{4,6,8}，且U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，
∴A∩(UB)＝{3,5,7}．
把各数字填入相应的区域，易知A＝{2,3,5,7}，B＝{1,2,9}，
∴UB＝{3,4,5,6,7,8}．
19．解：∵A∩R＋＝，R＋＝{x∈R|x＞0}，A＝{x∈R|x2＋(p＋2)x＋1＝0}，
∴方程x2＋(p＋2)x＋1＝0没有正实数根．
∴Δ＝(p＋2)2－4＜0或
即p(p＋4)＜0或.
解得－4＜p＜0或p≥0，
∴实数p的取值范围是p＞－4.
20．解：(1)由题意可知，若集合S中含有一个元素，则应满足10－x＝x即x＝5，故S＝{5}．
若集合S中含有两个元素，设S＝{a，b}，则a，b∈N＋，且a＋b＝10，故S可以是下列集合中的一个：
{1,9}，{2,8}，{3,7}，{4,6}，
若集合S中含有3个元素，由集合S满足的性质可知5∈S，故S是{1,5,9}或{2,5,8}或{3,5,7}或{4,5,6}中的一个．
(2)存在含有6个元素的非空集合S如下所示：
S＝{1,2,3,7,8,9}或S＝{1,2,4,6,8,9}或S＝{1,3,4,6,7,9}或S＝{2,3,4,6,7,8}共4个．
(3)答案不唯一，如：①S{1,2,3,4,5,6,7,8,9}；
②若5∈S，则S中元素个数为奇数个，若5S，则S中元素个数为偶数个．
21．解：设A，B，C分别表示解出第一、二、三题的学生组成的集合，a，b，c表示只解出第一、二、三题的学生数，d表示只解出第一和第三题的人数，e表示只解出第一和第二题的人数，f表示只解出第二和第三题的人数，g表示解出三道题的人数．
依题意有
②代入①得
a＋2b－c＋d＋e＋g＝25，⑤
③代入⑤得
2b－c＋2d＋2e＋2g＝24，⑥
④代入⑤得3b＋d＋e＋g＝25，⑦
⑦×2－⑥得4b＋c＝26.⑧
由于c≥0，所以.
利用②⑧消去c，得f＝b－2(26－4b)＝9b－52，
因为f≥0，所以，
则有b＝6，即只解出第二题的学生有6个．