《志鸿全优设计》2013-2014学年高中数学北师必修1单元目标检测：第二章　函数（含解析）

数学北师必修1第二章　函数单元检测
参考完成时间：120分钟　　 实际完成时间：______分钟　　总分：150分　　 得分：______
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数f(x)＝的定义域为(　　)．
A．[1,3)∪(3，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[1,2) D．[1，＋∞)
2．给定映射f：(x，y)→(x＋2y,2x－y)，在映射f下，(3,1)的原像为(　　)．
A．(1,3) B．(1,1)
C．(3,1) D．
3．已知f(x)＝则的值为(　　)．
A．－0.5 B．4.5
C．－1.5 D．1.5
4．函数y＝x|x|的图像大致是(　　)．
5．函数f(x)＝，x∈[2,4]的最小值是(　　)．
A．3 B．4 C．5 D．6
6．幂函数f(x)过点，则f(x)的单调递减区间是(　　)．
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(－∞，0)，(0，＋∞)
7．定义在R上的偶函数f(x)在区间[－2，－1]上是增函数，将f(x)的图像沿x轴向右平移2个单位，得到函数g(x)的图像，则g(x)在下列区间上一定是减函数的是(　　)．
A．[3,4] B．[1,2]
C．[2,3] D．[－1,0]
8．函数f(x)＝x2－2ax，x∈[1，＋∞)是增函数，则实数a的取值范围是(　　)．
A．R B．[1，＋∞)
C．(－∞，1] D．[2，＋∞)
9．f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，且f(3)＞f(1)，则下列各式一定成立的是(　　)．
A．f(0)＜f(6) B．f(3)＞f(2)
C．f(－1)＜f(3) D．f(2)＞f(0)
10．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是(　　)．
A．3 B．2 C．1 D．0
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
11．函数f(x)在R上为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝，则它的解析式为f(x)＝________.
12．二次函数y＝x2－ax－1在区间[0,3]上有最小值－2，则实数a的值为________．
13．将二次函数y＝x2＋1的图像向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得二次函数的解析式是________．
14．若函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，则不等式f(x)＞f(3x－4)的解集为________．
15．函数f(x)对任意正整数a，b满足条件f(a＋b)＝f(a)·f(b)，且f(1)＝2，则的值是________．
三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x|x－2|.
(1)求作函数y＝f(x)的图像；
(2)写出f(x)的单调区间，并指出在各个区间上是增函数还是减函数？(不必证明)
(3)已知f(x)＝，求x的值．
17．(本小题满分12分)二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈[－1,1]时，不等式f(x)＞2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
18．(本小题满分12分)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋2x.
(1)求f(0)的值；
(2)求此函数在R上的解析式；
(3)若对任意t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(k－2t2)＜0恒成立，求实数k的取值范围．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝，且f(1)＝2.
(1)求a的值；
(2)判断函数f(x)的奇偶性；
(3)探求f(x)在区间(0，＋∞)的单调性．
20．(本小题满分13分)已知函数f(x)为定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上为减函数．
(1)证明函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数；
(2)若f(a－1)＞f(1)，试求实数a的取值范围．
21．(本小题满分14分)某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆汽车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车辆会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大
参考答案
1．A　点拨：要使函数f(x)＝有意义，需满足，
∴x≥1，且x≠3.
2．B　点拨：∵∴
3．D　点拨：∵，
∴.
∵，∴，即.
4．C　点拨：y＝x|x|为奇函数，排除A，B，又y＝x|x|＝排除D，选C.
5．A　点拨：在区间[2,4]上是减少的，故f(x)min＝f(4)＝3.
6．D　点拨：设幂函数f(x)＝xα，则f(2)＝，即2α＝，
∴α＝－1，故f(x)＝x－1＝.
∴函数f(x)的单调递减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)．
7． A　点拨：偶函数f(x)在[－2，－1]上为增函数，则在[1,2]上为减函数，f(x)向右平移2个单位后在[3,4]上是减函数．
8．C　点拨：函数f(x)＝x2－2ax的图像开口向上，对称轴为直线x＝a.若f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则a≤1.
9．C　点拨：∵f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，
∴f(－1)＝f(1)．由f(3)＞f(1)可知，f(3)＞f(－1)．
10．C　点拨：由甲、乙两图可以看出，1个进水口1小时的进水量为1,1个出水口1小时的出水量为2.在丙图中，0点到3点的蓄水量为6，应只打开2个进水口；3点到4点的蓄水量减少了1，应打开一个进水口和一个出水口；4点到6点的蓄水量不变，可能不进水不出水，也可能同时打开2个进水口和1个出水口．综上可知，正确的论断只有①.
11．　点拨：∵奇函数f(x)的定义域为R，∴f(0)＝0.
设x＜0，则－x＞0，
∴f(－x)＝.
又f(x)为奇函数，
∴－f(x)＝，f(x)＝.
∴f(x)＝.
12．2　点拨：.
∵x∈[0,3]，
∴当0≤≤3，即0≤a≤6时，
ymin＝＝＝－2，解得a＝2.
当＜0，即a＜0时，ymin＝f(0)＝－1不合题意；
当＞3，即a＞6时，ymin＝f(3)＝8－3a＝－2，
∴(舍去)．故a＝2.
13．y＝x2＋4x＋2　点拨：y＝(x＋2)2＋1－3＝(x＋2)2－2＝x2＋4x＋2.
14．　点拨：由得＜x＜2.
15．2 014　点拨：∵函数f(x)对任意正整数a，b都满足f(a＋b)＝f(a)·f(b)，
∴令a＝n，b＝1(n∈N＋)，得f(n＋1)＝f(n)·f(1)，
即．由n的任意性得
…
．
故
＝
＝1 007f(1)＝1 007×2＝2 014.
16．解：(1)f(x)＝，
即f(x)＝.
作出函数y＝f(x)的图像(图中实线部分)．
(2)函数f(x)的单调区间有(－∞，1]，[1,2]，[2，＋∞)，其中，在区间(－∞，1]，[2，＋∞)上是增加的，在区间[1,2]上是减少的．
(3)当x≥2时，f(x)＝x2－2x.
若f(x)＝，则x2－2x＝，即4x2－8x－1＝0，解得或(舍去)；
当x＜2时，f(x)＝－x2＋2x.
若f(x)＝，则－x2＋2x＝，即4x2－8x＋1＝0，解得或.
综上可知，当f(x)＝时，x∈.
17．解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c，则f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c.
从而，f(x＋1)－f(x)＝[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c]－(ax2＋bx＋c)＝2ax＋a＋b，
又f(x＋1)－f(x)＝2x，
∴
又f(0)＝c＝1，∴f(x)＝x2－x＋1.
(2)由(1)及f(x)＞2x＋mm＜x2－3x＋1，
令g(x)＝x2－3x＋1，x∈[－1,1]，则当x∈[－1,1]时，g(x)＝x2－3x＋1为减函数，∴当x＝1时，g(x)min＝g(1)＝－1，从而要使不等式m＜x2－3x＋1恒成立，则m＜－1.
18．解：(1)∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0.
(2)设x＜0，则－x＞0，则
f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＝x2－2x＝－f(x)，
∴x＜0时，f(x)＝－x2＋2x，
∴f(x)＝
(3)∵f(x)＝x2＋2x在(0，＋∞)上为增函数，且f(0)＝0，f(x)为R上的奇函数，
∴f(x)在R上为增函数，
∴原不等式可变形为t2－2t＜2t2－k，对任意t∈R恒成立，
∴k＜(t2－2t)min＝－1.
19．解：(1)∵f(x)＝，且f(1)＝2，∴1＋a＝2，即a＝1.
(2)由(1)可知，f(x)＝.
∵函数f(x)的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，
f(－x)＝＝－f(x)．
∴函数f(x)是奇函数．
(3)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，则x1－x2＜0，
∴f(x1)－f(x2)＝＝.
当0＜x1＜x2＜1时，x1x2＜1，
∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，
∴函数f(x)在(0,1)上是减少的．
当x2＞x1≥1时，x1x2＞1，∴f(x1)－f(x2)＜0，
即f(x1)＜f(x2)，
∴函数f(x)在[1，＋∞)上是增加的．
20．解：(1)证明：任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1＜x2，
则0＞－x1＞－x2，∵f(x)在(－∞，0]上为减函数，
∴f(－x1)＜f(－x2)．
∵f(x)为偶函数，∴f(x1)＜f(x2)．
∴f(x)在[0，＋∞)上为增函数．
(2)当a－1＞0，即a＞1时，∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数，∴若f(a－1)＞f(1)，则a－1＞1，∴a＞2；
当a－1＜0，即a＜1时，∵f(x)为R上的偶函数，且在(－∞，0]上为减函数，∴若f(a－1)＞f(1)，即f(a－1)＞f(－1)，则a－1＜－1，∴a＜0.
综上所述，a的取值范围是{a|a＞2，或a＜0}．
21．解：(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，
∵3 600－3 000＝600(元),100－＝88(辆)，
∴此时能租出88辆车．
(2)设每辆车的月租金定为x(3 000≤x＜5 000)元时，租赁公司的月收益为y元，则
y＝＝＋162x－21 000＝(x－4 050)2＋307 050，
∴x＝4 050元时，函数有最大值307 050元．
∴当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大为307 050元．