青海省海东市2021-2022学年高二下学期期末考试数学（文）试题（含解析）

海东市2021-2022学年高二下学期期末考试
数学试卷（文科）
考生注意：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.
2.请将各题答案填写在答题卡上.
3.本试卷主要考试内容：人教A版选修1-1，选修1-2，选修4-4.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（ ）
A. B. C. D.
2.点的极坐标为（ ）
A. B. C. D.
3.关于下面演绎推理：
大前提：指数函数均为单调函数.
小前提：是指数函数.
结论：是单调函数.
下列表述正确的是（ ）
A.大前提错误导致结论错误 B.小前提错误导致结论错误
C.推理形式错误导致结论错误 D.此推理结论正确
4.已知复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
5.执行如图所示的程序框图，则输出的（ ）
A. B. C.3 D.
6.“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.给出下列类比推理命题，其中类比结论正确的是（ ）
A.由“已知，为实数，若，则”类比推出“已知，为复数，若，则”
B.由“已知，，为实数，若，则”类比推出“已知，，为平面向量，若，则”
C.由“在平面内，若直线，，满足，，则”类比推出“在空间内，若直线，，满足，，则”
D.由“若圆的半径为，则圆的面积为”类比推出“若球的半径为，则球的表面积为”
8.已知直线的参数方程为（为参数），则的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
9.已知函数在上有零点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
10.若复数满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
11.同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为，转盘乙得到的数为，构成数对，则所有数对中满足的概率为（ ）
甲 乙
A. B. C. D.
12.已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于，两点，与准线交于点，若，且，则（ ）
A.4 B.12 C.4或16 D.4或12
第II卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.曲线上任意一点到直线的距离的最大值为_______.
14.已知双曲线：的左、右焦点分别是，，点在双曲线上，且，则_______
15.已知某商品的广告费（万元）与销售额（万元）之间的数据如下：
3 4 5 6 7
5.2 5.9 6.8 7.1 8
根据上表数据可得线性回归方程为，则当投入8万元广告费时，销售额约为_______万元.
16.小张、小明、小红三人去选报课外社团活动，每人选报的活动不是篮球就是围棋，且每人只能选报其中一种.
①如果小张选报的是篮球，那么小明选报的是围棋.
②小张或小红选报的是篮球，但是不会两人都选报篮球.
③小明和小红不会两人都选报围棋.
同时满足上述三个条件的不同选报方案有_______种.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
“双十一”发展至今，已经从一个单纯的网络促销活动变成社会经济重大现象级事件.为了了解市民“双十一”期间网购情况，某统计小组从网购的消费者中，随机抽取了当天100名消费者，其中男女各半.若消费者当天消费金额不低于1000元，则称其为网购达人.已知抽取的100名消费者中，网购达人中女性消费者人数是男性消费者人数的2倍，且女性消费者中，网购达人占.
（1）请完成答题卡上的列联表；
（2）能否有99%的把握认为是否为网购达人与性别有关？
参考公式：，其中
参考数据：
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
18.（12分）
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于，两点，点，求的值.
19.（12分）
随着人们生活水平的提高，私家车占比越来越大，汽车使用石油造成的空气污染也日益严重.新能源汽车不仅降低了对石油进口的依赖，也减少了对整个地球环境的污染，某新能源车2016~2021年销量统计表如下：
年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021
年份编号 1 2 3 4 5 6
销量/万辆 2.7 3.3 3.6 4 4.6 5.2
通过数据分析得到年份编号与对应的新能源车销量（单位：万辆）具有线性相关关系.
（1）求该新能源车销量（单位：万辆）关于年份编号的线性回归方程；
（2）根据（1）中的线性回归方程预测2025年和2026年该新能源车销量的平均值.
参考公式：，
20.（12分）
在各边长均不相等的中，内角，，的对边分别为，，，且满足
（1）用分析法证明；
（2）用反证法证明为锐角.
21.（12分）
已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆相交于，两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为.
（1）求椭圆的焦距；
（2）若，求椭圆的方程.
22.（12分）
已知函数
（1）当时，求的最大值；
（2）若对任意的恒成立，求的取值范围.
海东市2021-2022学年高二下学期期末考试
数学试卷参考答案（文科）
1.A
2.B 在直角坐标系中，点对应的极径，极角满足.因为点在第四象限，所以，所以点的极坐标为
3.B 因为是幂函数，而非指数函数，所以是小前提错误导致结论错误.
4.D 因为，所以，所以的虚部为.
5.B 当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.
故输出的
6.A 由，得，则；由，得.故“”是“”的充分不必要条件.
7.B 若复数，，虽然满足，但是，不能比较大小，故A错误；
若空间中直线，，满足，，则，可能平行，也可能相交、异面，故C错误；
若球的半径为，则球的表面积为，故D错误.
8.B 由题意知（为参数），设直线的倾斜角为，，则，所以.
9.D 函数在上有零点，等价于关于的方程在上有解，即在上有解.令，则.由，得；由，得.
则在上单调递增，在上单调递减.因为，，所以，则，即的最小值为.
10.B 设，则.
因为表示以为圆心，2为半径的圆，所以可理解为圆上的点到的距离，故的最大值为.
11.C 满足的所有数对有，，，则所求概率
12.A 如图过，向作垂线，垂足分别为，.则
设，，因为，
所以.因为，所以，.
设直线的方程为，
联立方程组得，则.
因为，
所以或.
因为，所以，故.
13.5 曲线的直角坐标方程为，即，是圆心为，半径的圆，直线的直角坐标方程为，则点到直线的距离的最大值为
14.13 由题意可得，.因为，所以点在双曲线的左支上，则.
15.8.64 由题意可得，，
则，解得，
故.
当时，.
16.2 假设小张选报的是篮球，由①知小明选报的是围棋，由②知小红选报的是围棋，与③矛盾，不合题意；假设小张选报的是围棋，由②知小红选报的是篮球，则小明可选报篮球，也可选报围棋.共2种方案.
17.解：（1）由题意可得女性消费者中，网购达人有人，非网购达人有人，
则男性消费者中，网购达人有人，非网购达人有人
得到列联表如下：
性别 是否为网购达人 合计
网购达人 非网购达人
男性 15 35 50
女性 30 20 50
合计 45 55 100
（2）由（1）可得
则有99%的把握认为是否为网购达人与性别有关联
18.解：（1）由（为参数），得
故曲线的普通方程为，即.
由，得，
即直线的直角坐标方程为
（2）由题意可知直线的参数方程为（为参数）
将直线的参数方程代入曲线的普通方程并整理得，
设，对应的参数分别是，，则，
故
19.解：（1）由题意可得，
，，
则，
从而，
故该新能源车销量（单位：万辆）关于年份编号的线性回归方程为
（2）当时，；
当时，.
则2025年和2026年该新能源车销量的平均值为万辆.
20.证明：（1）欲证，只需证
只要证.
因为，所以
所以，当且仅当时，等号成立.
因为，，不相等，所以成立，
故成立.
（2）假设，则.
因为，所以
因为，所以，
这与矛盾，所以假设不成立，
所以，即为锐角.
21.解：（1）由题意知直线的方程为.
因为到直线的距离为，所以，
解得，
所以椭圆的焦距为2.
（2）由（1）知直线的方程为，设，，
联立方程组
消去得，
所以，
因为，所以，
所以，
消去得
解得，从而，
所以椭圆的方程为.
22.解：（1）当时，，
则
由，得；
由，得.
则在上单调递增，在上单调递减，
故的最大值为.
（2）对任意的恒成立，
等价于对任意的恒成立.
设，则
由，得；
由，得.
则在上单调递增，在上单调递减.
从而
故，即的取值范围是.