《志鸿全优设计》2013-2014学年高中数学北师必修1单元目标检测：第三章　指数函数和对数函数（含解析）

数学北师必修1第三章　指数函数和对数函数单元检测
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．给定函数①，②，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是(　　)．
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
2．若0＜x＜y＜1，则(　　)．
A．3y＜3x B．logx3＜logy3
C．log4x＜log4y D．
3．下列各组函数，在同一直角坐标中，f(x)与g(x)有相同图像的一组是(　　)．
A．f(x)＝，g(x)＝
B．f(x)＝，g(x)＝x－3
C．f(x)＝，g(x)＝2log2x
D．f(x)＝x，g(x)＝lg 10x
4．若xlog23＝1，则3x＋9x的值为(　　)．
A．3　　　　B．　　　　C．6　　　　D．
5．若a＜0，则函数y＝(1－a)x－1的图像必过点(　　)．
A．(0,1) B．(0,0) C．(0，－1) D．(1，－1)
6．f(x)＝lg(10x＋1)＋ax是偶函数，g(x)＝是奇函数，那么a＋b的值为(　　)．
A．1 B．－1 C． D．
7．若函数f(x)＝loga(x＋b)(其中a，b为常数)的图像如下图所示，则函数g(x)＝ax＋b的大致图像是(　　)．
8．已知函数f(x)＝在R上为减函数，则a的取值范围为(　　)．
A．(0,1) B．
C． D．
9．设函数f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，若f(x1x2…x2 010)＝8，则f(x12)＋f(x22)＋…＋f(x20102)的值等于(　　)．
A．4 B．8 C．16 D．2loga8
10．如果一个点是一个指数函数的图像与一个对数函数的图像的公共点，那么称这个点为“好点”，在下面的五个点M(1,1)，N(1,2)，P(2,1)，Q(2,2)，G中，“好点”的个数为(　　)．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
11．已知函数f(x)＝若f(a)＝，则a＝________.
12．若函数f(x)＝logax在区间[2，＋∞)上恒有f(x)＞1，则a的取值的集合为________．
13．在同一平面直角坐标系中，函数y＝g(x)的图像与y＝ex的图像关于直线y＝x对称，而函数y＝f(x)的图像与y＝g(x)的图像关于y轴对称，若f(m)＝－1，则m的值为________．
14．已知函数f(x)＝，若f(x)为奇函数，则a＝________.
15．已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调增函数，则不等式f(2)＜f(log2x)的解集为________．
三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2x的定义域是[0,3]，设g(x)＝f(2x)－f(x＋2)．
(1)求g(x)的解析式及定义域；
(2)求函数g(x)的最大值和最小值．
17．(本小题满分12分)计算下列各式的值：
(1)；
(2).
18．(本小题满分12分)已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求b的值；
(2)判断函数f(x)的单调性；
(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒立，求k的取值范围．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝，
(1)若函数f(x)的值域为(－∞，－1]，求实数a的值；
(2)若函数f(x)在(－∞，1]内为增函数，求实数a的取值范围．
20．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝log2(2x＋1)．
(1)求证：函数f(x)在(－∞，＋∞)内单调递增；
(2)若关于x的方程log2(2x－1)＝m＋f(x)在[1,2]上有解，求m的取值范围．
21．(本小题满分14分)有一个湖泊受污染，其湖水的容量为V立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量．现假设降雨量和蒸发量平衡，且污染物和湖水均匀混合．
用(P≥0)，表示某一时刻一立方米湖水中所含污染物的克数(我们称其为湖水污染质量分数)，g(0)表示湖水污染初始质量分数．
(1)当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染初始质量分数；
(2)分析g(0)＜时，湖水的污染程度如何．

参考答案
1．B　点拨：和y＝|x－1|在区间(0,1)上单调递减，和y＝2x＋1在区间(0,1)上单调递增．
2．C　点拨：∵y＝3x在R上是增函数，且0＜x＜y＜1，
∴3x＜3y，故A错误．
∵y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，且0＜x＜y＜1，
∴log3x＜log3y＜log31＝0.
∴，即logx3＞logy3，故B错误．
∵y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数，且0＜x＜y＜1，
∴log4x＜log4y，故C正确．
∵在R上是减函数，且0＜x＜y＜1，
∴，故D错误．
3．D　点拨：选项A中，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为[0，＋∞)；选项B中，f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(－3，＋∞)，g(x)的定义域为R；选项C中，f(x)＝＝x，x∈[0，＋∞)，g(x)＝2log2x，x∈(0，＋∞)，定义域和对应关系都不同；选项D中，g(x)＝lg 10x＝xlg 10＝x，故选D.
4．C　点拨：∵x·log23＝1，
∴x＝＝log32.
∴3x＋9x＝3x＋ (3x)2＝＝2＋22＝6.
5．B　点拨：根据指数函数y＝ax恒过定点(0,1)知，函数y＝(1－a)x－1恒过定点(0,0)．
6．D　点拨：f(x)＝lg(10x＋1)＋ax是偶函数，则lg(10x＋1)＋ax＝lg(10－x＋1)－ax2ax＝lg(10－x＋1)－lg(10x＋1)＝－lg(10x＋1)，∴2ax＝＝－x(2a＋1)x＝0，∴.∵g(x)＝是奇函数，故g(0)＝＝0b＝1.于是a＋b＝.
7．D　点拨：由题意知
∴则选D.
8．B　点拨：由，
得0＜a＜.
又f(x)在R上为减函数，需满足，即a2－2a≤0，a(a－2)≤0.∴0≤a≤2.综上，知0＜a＜.
9．C　点拨：f(x12)＋f(x22))＋…＋f(x20102)
＝logax12＋logax22＋…＋logax20102
＝loga(12·x22·…·x20102)
＝loga(x1x2…x2 010)2
＝2loga(x1x2…x2 010)
＝2f(x1x2…x2 010)＝2×8＝16.
10．C　点拨：∵指数函数过定点(0,1)，对数函数过定点(1,0)，
∴指数函数不过(1,1)，(2,1)点，对数函数不过点(1,2)．
∴点M，N，P一定不是好点．
可验证：过指数函数，且过对数函数y＝log4x.Q(2,2)在和的图像上．
11．或－1　点拨：当a＞0时，若f(a)＝，则log2a＝，∴；
当a≤0时，若f(a)＝，则2a＝，∴a＝－1.
综上可知，或a＝－1.
12．{a|1＜a＜2}　点拨：若函数f(x)＝logax在区间[2，＋∞)上恒有f(x)＞1，则，即.∴1＜a＜2.
13．　点拨：由题意知y＝g(x)应为y＝ex的反函数，即y＝g(x)＝ln x，而y＝f(x)与y＝g(x)＝ln x的图像关于y轴对称，故可得y＝f(x)＝ln(－x)，又f(m)＝－1，所以ln(－m)＝－1，得－m＝e－1，即.
14．　点拨：函数f(x)的定义域为R，若f(x)为奇函数，则f(0)＝0，即，∴.
15．∪(4，＋∞)　点拨：因为函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调增函数，且f(2)＜f(log2x)，所以2＜log2x，解得x＞4；因为函数f(x)为偶函数，所以log2x＜－2，解得0＜x＜，所以不等式f(2)＜f(log2x)的解集为∪(4，＋∞)．
16．解：(1)∵f(x)＝2x，∴g(x)＝f(2x)－f(x＋2)＝22x－2x＋2.
∵f(x)的定义域是[0,3]，
∴解得0≤x≤1.
∴g(x)的定义域是[0,1]．
(2)g(x)＝(2x)2－4×2x
＝(2x－2)2－4.
∵x∈[0,1]，
∴2x∈[1,2]．
∴当2x＝1，即x＝0时，g(x)取得最大值－3；
当2x＝2，即x＝1时，g(x)取得最小值－4.
17．解：(1)原式＝
＝
＝
＝.
(2)原式＝log2.52.52＋lg 10－2＋
.
18．解：(1)∵f(x)在定义域R上是奇函数，∴f(0)＝0，即，∴b＝1.
(2)由(1)知f(x)＝，
设x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝.
∵函数y＝2x在R上是增函数且x1＜x2，
∴.
又，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，
∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．
(3)因f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0，
等价于f(t2－2t)＜－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，
因f(x)为减函数，由上式推得t2－2t＞k－2t2.
即对一切t∈R有3t2－2t－k＞0，
从而判别式Δ＝4＋12k＜0k＜.
19．解：(1)设g(x)＝x2－2ax＋3＝(x－a)2＋3－a2.
∵f(x)的值域为(－∞，－1]，
∴，即，
∴g(x)≥2.
由3－a2＝2，得a＝1或a＝－1.
(2)要使f(x)在(－∞，1]内是增函数，需g(x)在(－∞，1]上为减函数且g(x)＞0对于x∈(－∞，1]恒成立，
∴，即.
∴1≤a＜2.
故实数a的取值范围是[1,2)．
20．(1)证明：任取x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝
＝，
∵x1＜x2，∴.
∴，.
∴f(x1)＜f(x2)，即函数f(x)在(－∞，＋∞)内单调递增．
(2)∵m＝log2(2x－1)－log2(2x＋1)
，
当1≤x≤2时，，
∴.
∴m的取值范围是.
21．解：(1)当湖水污染质量分数g(t)为常数时，g(t)的值与t无关，故有g(0)－＝0，
∴g(0)＝，即湖水污染初始质量分数为.
(2)当g(0)＜时，g(0)－＜0.
又∵随t的增大逐渐增大，∴g(t)为减函数．故湖水的污染程度越来越轻．