《志鸿全优设计》2013-2014学年高中数学北师必修1单元目标检测：第四章　函数应用（含解析）

数学北师必修1第四章　函数应用单元检测
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数f(x)在区间[a，b]上满足f(a)·f(b)＜0，则关于函数f(x)在区间[a，b]上的零点的说法中正确的是(　　)．
A．可能没有零点　　　B．一定没有零点
C．一定有零点 D．以上说法都不正确
2．函数f(x)＝x2＋ln x－4的零点所在的区间是(　　)．
A．(0,1)　　　B．(1,2)　　　C．(2,3)　　　D．(3,4)
3．若一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根，则有(　　)．
A．a＜0 B．a＞0 C．a＜－1 D．a＞1
4．已知函数f(x)＝(x2－3x＋2)g(x)＋3x－4，其中g(x)是定义域为R且图像连续的函数，则方程f(x)＝0在下面哪个范围内必有实数解(　　)．
A．(0,1) B．(1,2)
C． (2,3) D．(2,4)
5．下列用图像表示的函数中，能用二分法求零点的是(　　)．
6．某列火车从潍坊站开往北京站，火车出发10分钟开出13千米后，以120千米/时的速度匀速行驶，则火车行驶的路程s(千米)与匀速行驶时间t(小时)之间的函数关系式是(　　)．
A．s＝120t(t≥0) B．s＝13＋120t(t≥0)
C．s＝13＋120(t－10)(t≥0) D．s＝13＋120(t≥0)
7．若函数f(x)是偶函数，定义域为{x∈R|x≠0}且f(x)在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有(　　)．
A．唯一一个 B．两个
C．至少两个 D．无法判断
8．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了一组实验数据如下表：
x
－1.01
3
4
5.1
6.12
y
－4.002
4.04
6.05
7.99
10.01
现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　　)．
A．y＝2x－2 B．y＝(x2－1)
C．y＝log2x D．
9．已知函数f(x)＝|lg x|－有两个零点x1，x2，则有(　　)．
A．x1x2＜0 B．x1x2＝1 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1
10．某宾馆共有客床100张，各床每晚收费10元时可全部客满，若每晚收费提高2元，便减少10张客床租出，为了获得最大利润，则每床每晚收费应提高(　　)．
A．2元　　　 B．4元　　　C．5元　　　D．8元
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
11．某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确到0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)＜0，f(2)＞0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值分别依次是__________．
12．已知二次函数f(x)＝x2＋x＋a(a＞0)有两个零点，若f(m)＜0，则在(m，m＋1)上函数零点的个数是________．
13．对于定义在R上的函数f(x)，若实数x0满足f(x0)＝x0，则称x0是函数f(x)的一个不动点．若二次函数f(x)＝x2＋2ax＋a2没有不动点，则实数a的取值范围是______．
14．某公司欲投资13亿元进行项目开发，现有以下6个项目可供选择：
项目
A
B
C
D
E
F
投资(亿元)
5
2
6
4
6
1
利润(千万元)
0.55
0.4
0.6
0.5
0.9
0.1
设计一个投资方案，使投资13亿元所获利润大于1.6亿元，则应选的项目是________．(只需写出项目的代号)
15．如图，开始时桶1中有a升水，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y1＝ae－nt，那么桶2中的水就是y2＝a－ae－nt，假设过5分钟后桶1和桶2的水相等，则再过________分钟桶1中的水只有.
三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)设函数f(x)＝求函数g(x)＝的零点．
17．(本小题满分12分)已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0，若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围．
18．(本小题满分12分)在某服装批发市场，季节性服装当季节即将来临时，价格呈现上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周(7天)涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后，当季节即将过去时，平均每周削价2元，直到16周末，该服装已不再销售．
(1)试建立价格p(元)与周次t之间的函数关系式；
(2)若此服装每周进价q(元)与周次t之间的关系为q＝－0.125(t－8)2＋12，t∈[0,16]，t∈N，试问该服装第几周每件销售利润最大？
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex＋4x－3.
(1)求证：函数f(x)在[0,1]上有唯一零点．
(2)用二分法求函数取到这一唯一零点时相应的x的近似值．(误差不超过0.2)．(参考数据e≈2.7，，e0.25≈1.3)
20．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝ax－＋1(a＞1)．
(1)当a＝3时，证明方程f(x)＝0在区间有实数解；
(2)探究函数f(x)在(－1，＋∞)上的单调性，并证明你的结论；
(3)证明方程f(x)＝0没有负实数解．
21．(本小题满分14分)如图，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB＝a(a＞2)，BC＝2，且AE＝AH＝CF＝CG，设AE＝x，绿地面积为y.
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；
(2)当AE为何值时，绿地面积y最大？

参考答案
1．A　点拨：若函数f(x)在区间[a，b]上的图像是连续曲线，且f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，f(x)至少有一个零点．当函数f(x)在区间[a，b]上满足f(a)·f(b)＜0，而不是连续曲线时，f(x)在区间(a，b)内可能存在零点，也可能不存在零点．
2．B　点拨：∵f(1)＝12＋ln 1－4＝－3＜0，f(2)＝22＋ln 2－4＝ln 2＞0，即f(1)·f(2)＜0，又∵ 函数f(x)的图像是连续曲线，∴函数f(x)＝x2＋ln x－4的零点在区间(1,2)内．
3．A　点拨：因为二次函数y＝ax2＋2x＋1恒过点(0,1)，所以，当a＜0即抛物线开口向下时，其图像与x轴的正半轴和负半轴各有一个交点，即方程ax2＋2x＋1＝0恒有一个正根和一个负根．
4．B　点拨：判断方程在某个区间上有无实数解，只需要判断相应的函数在该区间端点处的函数值是否反号．
∵f(x)＝(x－1)(x－2)g(x)＋3x－4，∴f(1)＝－1＜0，f(2)＝2＞0，即函数在(1,2)上必有零点，方程f(x)＝0在(1,2)内必有实数解．
5．D　点拨：当函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，且在区间端点处函数值符号相反时，才能用二分法求零点，由此可排除A，B，C.
6．B　点拨：注意时间指的是匀速行驶时间．
7．B　点拨：由已知条件得f(－2)＝f(2)＝0，画出函数f(x)的大致图像如下图所示，可知f(x)有两个零点．
8．A　点拨：由表中数据可以看出，在(－2，7)内y值随着x的增大而增大，排除B，D；又x的取值可以是负数，从而排除C.
9．D　点拨：不妨设x1＜x2，则lg x1＜lg x2，由y＝2－x单调递减，知|lg x1|＞|lg x2||lg x1|2＞|lg x2|2(lg x1＋lg x2)·(lg x1－lg x2)＞0lg x1＋lg x2＜0lg(x1x2)＜00＜x1x2＜1，选D.
10．C　点拨：设每床每晚收费提高x元时，获得利润为y元，则y＝(10＋x)·＝－5x2＋50x＋1 000＝－5(x－5)2＋1 125.
∴当x＝5时，y取得最大值，即当每床每晚收费提高5元时，获得最大利润．
11．1.5,1.75,1.875,1.812 5　点拨：第一个应该取1.5；由于近似解为1.8，故第二个应取区间(1.5,2)的中点1.75，第三个应取(1.75,2)的中点1.875，第四个应取区间(1.75,1.875)的中点1.812 5.
12．1　点拨：设函数f(x)的两个零点为x1，x2，则x1＋x2＝－1，x1·x2＝a.
∵|x1－x2|＝＝＜1，
又f(m)＜0，
∴f(m＋1)＞0.
∴f(x)在(m，m＋1)上零点的个数是1.
13．　点拨：∵函数f(x)＝x2＋2ax＋a2没有不动点，∴方程x2＋2ax＋a2＝x无实数根，即方程x2＋(2a－1)x＋a2＝0无实数根．∴Δ＝(2a－1)2－4a2＜0，解得．
14．A，B，E或B，D，E，F　点拨：当投资13亿元时，有以下五种组合可供选择：(C，E，F)，(A，B，C)，(A，B，E)，(B，D，E，F)，(B，C，D，F)．它们所获利润依次是f(C，E，F)＝0.6＋0.9＋0.1＝1.6，f(A，B，C)＝0.55＋0.4＋0.6＝1.55，f(A，B，E)＝0.55＋0.4＋0.9＝1.85，f(B，D，E，F)＝0.4＋0.5＋0.9＋0.1＝1.9，f(B，C，D，F)＝0.4＋0.6＋0.5＋0.1＝1.6.
15．10　点拨：若y1＝y2，即a·e－5n＝a－a·e－5n，则e－5n＝．设再过x分钟，桶1中的水只有，则a·e－n(5＋x)＝，所以e－nx＝＝(e－5n)2＝e－n·10，故x＝10.
16．解：求函数g(x)＝f(x)－的零点，即求方程f(x)－＝0的根．当x≥1时，由2x－2－＝0得；
当x＜1时，由x2－2x－＝0得(舍去)或．∴函数g(x)＝f(x)－的零点是或．
17．解：令f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，条件说明抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，画出示意图，
由图像得
，
解得．
∴为所求．
18．解：(1)当t∈[0,5]时，p＝10＋2t；
当t∈(5,10]时，p＝20；
当t∈(10,16]时，p＝40－2t.
所以，t∈N.
(2)由于每件销售利润＝售价－进价，所以每件销售利润L＝p－q.
所以，当t∈[0,5]时，
L＝10＋2t＋0.125(t－8)2－12＝0.125t2＋6，
当t＝5时，L取最大值9.125；
当t∈(5,10]时，L＝0.125t2－2t＋16＝(t－8)2＋8，
当t＝6或t＝10时，L取最大值8.5；
当t∈(10,16]时，
L＝0.125t2－4t＋36＝(t－16)2＋4，
当t＝11时，L取最大值7.125.
因此，该服装第5周每件销售利润最大．
19．解：(1)∵f(0)＝e0－3＝－2＜0，f(1)＝e＋1＞0，
∴f(0)·f(1)＜0.
又函数y1＝ex，y2＝4x－3在R上均为增函数，
∴f(x)在[0,1]上单调递增．
∴f(x)在[0,1]上存在唯一零点．
(2)用二分法得函数f(x)的有解区间如下表：
次数
左端点
左端点函数值
右端点
右端点
函数值
区间
长度
1
0
－2
1
3.7
1
2
0
－2
0.5
0.6
0.5
3
0.25
－0.7
0.5
0.6
0.25
由上表可知区间[0.25,0.5]的长度为0.25，∴该区间的中点x0＝0.375到区间端点的距离小于0.2，因此可作为误差不超过0.2的一个零点的相应x的值．
∴函数y＝f(x)取到唯一零点时相应的x≈0.375.
20．解：(1)当a＝3时，函数f(x)＝.
∵f(0)＝30－＋1＝－1＜0，，即.
又∵函数f(x)在上是连续曲线，
∴函数f(x)在上有零点，即方程f(x)＝0在区间内有实数解．
(2)任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1＜x2，则x1－x2＜0，x1＋1＞0，x2＋1＞0，(a＞1)．
∴f(x1)－f(x2)＝＝，即f(x1)＜f(x2)，
∴函数f(x)在(－1，＋∞)上是增函数．
(3)由f(x)＝0，得.
在同一直角坐标系中作出函数y1＝ax，的图像．
由图可知，它们在第一象限内有唯一一个交点，交点的横坐标x0即为方程f(x)＝0的实数解，此时x0＞0，所以，方程f(x)＝0没有负实数解．
21．解：(1)由题意可知，S△AEH＝S△CGF＝，S△DHG＝S△BEF＝(a－x)(2－x)，
所以y＝－2S△AEH－2S△BEF＝2a－x2－(a－x)(2－x)＝－2x2＋(a＋2)x.
故函数解析式为y＝－2x2＋(a＋2)x(0＜x≤2)．
(2)因为y＝－2x2＋(a＋2)x＝(0＜x≤2)，
当，即a＜6时，则时，y取最大值，
当，即a≥6时，y＝－2x2＋(a＋2)x在x∈(0,2]上是增函数，
则x＝2时，y取最大值2a－4.
综上所述：当a＜6时，AE＝时，绿地面积取最大值；
当a≥6时，AE＝2时，绿地面积取最大值2a－4.