宁夏六盘山重点中学
2022-2023学年第一学期高三期中测试卷
学科:数学(理科普通班)考试时间:120分钟满分:150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．3
4．如图，在中，，，设，，则（ ）
A． B． C． D．
5．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至 小寒 大寒 立春 雨水 惊蛰 春分 清明 谷雨 立夏 小满 芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，立夏当日日影长为2.5尺，则春分当日日影长为（ ）
A．4.5尺 B．5尺 C．5.5尺 D．6尺
6．设函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．设函数的图象在点处的切线为，当的斜率最大时，切线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．在中，若，则是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
9．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
10．设函数，则函数是( )
A．奇函数，其图象关于点对称 B．奇函数，其图象关于直线对称
C．偶函数，其图象关于点对称 D．偶函数，其图象关于直线对称
11．已知定义在R上的函数（为实数）为偶函数，记，
，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
12．定义在R上的函数满足，，当时，，则方程在上解的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)
13．若与平行，则_____________．
14．已知中，，，，则的外接圆面积为___________.
15．已知数列的前项和，那么它的通项公式为__．
16．已知只有一个零点，且此零点为正数，则实数的取值范围为_____.
三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.)
17．(12分)已知各项均为正数的等差数列的首项为，前项和为，且满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明:数列是等差数列．
18．(12分)已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值，并指出此时的值．
19．(12分)设函数.
(1)若曲线在点处与直线相切，求的值；
(2)讨论函数的单调区间.
20．(12分)中，角所对的边分别为，且
(1)求角C的大小；
(2)若c，求的面积的取值范围．
21．(12分)已知函数，，，且．
(1)若，，求函数的极值；
(2)设，当时，对任意，都有成立，求的最大值．
选考题：共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．
22．在直角坐标系中，直线的参数方程为(是参数)，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求直线的普通方程和的直角坐标方程；
(2)若点的直角坐标为，且直线与交于两点，求的值;
23．已知函数
(1)求不等式的解集；
(2)若的最小值为，且，求的最小值．
答案第10页，共11页理科普通班试卷参考答案：
1．C
【分析】由并集和补集的定义即可求解.
【详解】由题意得：，
所以.
故选：C
2．A
【分析】解不等式，根据命题的充分必要性直接判断.
【详解】由，解得或，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
3．D
【分析】利用两角和的正切恒等变换公式可求得=，对所求式子利用诱导公式进行化简，再利用弦化切即可求解.
【详解】因为，所以，解得=，
则，
故选：D.
4．D
【分析】根据向量的加法法则，即可求解.
【详解】解：由题意得：，
故选：D.
5．D
【分析】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，利用等差数列的性质即可求解.
【详解】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，则立春当日日影长为，立夏当日日影长为，所以春分当日日影长为.
故选：D
6．A
【分析】根据题意分类讨论、，结合指数函数、幂函数的单调性解不等式
【详解】当时，则，解得
当时，则，解得
综上所述：的取值范围是
故选：A.
7．C
【分析】先利用导数求得切线的斜率关于的关系式，进而求得切点，再求得切线方程即可.
【详解】依题意得，，
故切线的斜率，
所以当时，取得最大值12，
此时，即切点为，
所以切线的方程为，即.
故选：C.
8．B
【分析】由已知利用平面向量数量积的运算，余弦定理可求c2=a2+b2，利用勾股定理即可判断得解．
【详解】解：
，化简可得：，
∴△ABC是直角三角形．
故选B．
【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想．
9．D
【分析】先判断函数的单调性，结合函数的特值可得结果.
【详解】由，则
当 时，，则，
所以函数在上单调递增，排除选项A，C
又 ，排除除选项B
故选：
【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数单调性以及特值是解决本题的关键．比较基础．
10．D
【分析】化简三角函数式可得，据此考查函数的奇偶性和函数的对称性即可.
【详解】由题意可得：
.
故函数为偶函数，
且当时，，其图像不关于点对称，
且当时，，其图像关于直线对称.
故选D.
【点睛】本题主要考查三角函数式的化简，三角函数的周期性，三角函数的对称性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11．B
【分析】先求出m＝0，进而判断出的图像过原点，且关于y轴对称，在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增．由0＜log23＜log25，即可得到c＜a＜b．
【详解】由函数为偶函数，
所以，即，解得m＝0，
即f（x）＝2|x|－1，其图像过原点，且关于y轴对称，在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增．
又a＝f（log0．53）＝f（－log23）＝f（log23），b＝f（log25），
c＝f（0），且0＜log23＜log25，所以c＜a＜b．
故选：B
12．B
【分析】首先将问题转化为与在上的交点个数，然后根据的对称性和周期性以及已知条件作出的图像，再利用导函数作出的大致图像，结合图像即可求解.
【详解】由题意可知，方程在上解的个数可转化为与在上的交点个数，
因为，所以的图像关于对称；
又由，故，
从而是周期为2的周期函数，
又由可得，，
从而；，
故在上单调递增，在单调递减，且，
当时，，
故与在上的图像如下：
从而与在上的交点个数为4，
故方程在上解的个数为4.
故选：B.
13．
【分析】由向量平行的坐标表示可直接构造方程求得结果.
【详解】，，解得：.
故答案为：.
14．
【分析】利用余弦定理求解边长，再利用正弦定理求解外接圆半径，即可得外接圆面积.
【详解】解：根据题意，由余弦定理可得
，
该的外接圆的半径为r，
则由正弦定理得：.
故答案为：.
15．##
【分析】结合已知条件，利用与之间的关系即可求解.
【详解】∵数列的前项和，
∴，
当时，，
故，
当时，也成立
故对，.
故答案为：．
16．.
【分析】对函数求导，并求出极值点，列表分析函数的单调性与极值情况，由题意得出，由此可解出实数的取值范围.
【详解】，.
令，得或，当变化时，、的变化情况如下表：
极大值 极小值
由于函数只有一个零点，且该零点为正数，
所以，，，化简得，
解得，因此，实数的取值范围是，故答案为.
【点睛】本题考查三次函数的零点问题，解题时要利用导数分析函数单调性与极值，结合题意转化为极值的符号等价处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
17．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设等差数列的公差为，，，利用等差数列的通项公式和前项和公式列出方程，即可求出和，由此即可求出结果；
（2）由（1）即可求出，即，再根据等差数列的定义即可证明结果.
(1)
解：设各项均为正数的等差数列的公差为，
因为，
所以，解得，即，
所以； 即.
(2)
解：由（1）知，所以，
因为，（若用，则需）又因为，
所以数列是首项为，公差为的等差数列．
18．(1)，;
(2) 当时，函数取得最小值为；当时，函数取得最大值为 2．
【分析】（1）利用正弦，余弦的二倍角公式及辅助角公式变形，再结合周期公式求出的值，利用正弦函数的性质求出单调递增区间；
（2）根据平移关系求出的解析式，结合函数的最值和角的关系求解即可.
（1）
故，
令，解得，
故的单调递增区间为.
（2），
由，可得，
故当，即当时，函数取得最小值为；
当，即当时，函数取得最大值为 2．
19．(1)
(2)见解析.
【分析】（1）已知函数的解析式，把点代入，再根据在点处与直线相切，求出，的值；
（2）由题意先对函数进行求导，解出极值点，然后再根据极值点的值讨论函数的增减性及其增减区间.
（1）
，
曲线在点处与直线相切，
，
∴
（2）
，
当时，，函数在上单调递增．
当时，由，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
即函数的增区间为，，减区间为.
20．(1)C
(2)
【分析】（1）由三角函数二倍角公式化简2sin21+cos2C，可得，求出cosC，即可求得答案;
（2）由余弦定理得到，结合均值不等式可求得，利用三角形面积公式即可求得答案.
（1）
由题意得，2sin21+cos2C，
∴ ，
又，
∴ ，解得cosC或1，
∵ ，∴cosC，则C；
（2）
∵C，c，
∴由余弦定理得， ，
所以，解得 ，
∴ ，解得 ，当且仅当a=b=1时取等号，
∴△ABC的面积，
∴△ABC的面积S的取值范围是．
21．(1)极大值为，极小值为；
(2).
【分析】（1）求出，时函数的导数，解不等式，，求得函数的单调区间，结合单调性求极值；(2)化简不等式，并分离变量可得，利用导数求函数的最小值可得的最大值．
（1）
当a＝2，b＝1时， ，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）．
∴．
令，得或，
由，得或；由，得或，
∴时取得极大值，时取得极小值；
（2）
∵，
当时，，
∵在上恒成立，
∴在上恒成立，
记，则，
当时，，在上是减函数；
当时，，在上是增函数．
∴，
∴，即的最大值为.
【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
(1)恒成立 ；
(2)恒成立 .
22．(1)，
(2)
【分析】（1）首先消去参数即可得到直线的普通方程，再根据，即可得到C的直角坐标方程.
（2）首先直线l的参数方程代入C的直角坐标方程中，再根据直线参数方程的几何意义求解即可.
（1）
因为直线l的参数方程为（t是参数），消去参数t，
得，
即直线l的普通方程为．
将，代入C的极坐标方程，得，
即，
所以C的直角坐标方程为．
（2）
因为点P的直角坐标为，所以直线l过点P．
将直线l的参数方程代入C的直角坐标方程中，
得，
设A，B两点对应的参数分别为，，又，
所以，，
所以．
23．(1)
(2)16
【分析】（1）分类讨论去绝对值解不等式；
（2）根据求的最小值，再根据题意结合基本不等式求的最小值
(1)∵，则有：
当时，则，解得：
当时，则，即成立
当时，则，解得：
综上所述：不等式的解集为
（2）∵，当且仅当时等号成立
∴的最小值为，即
则，当且仅当，即时等号成立
∴的最小值为16.
