辽宁省县级重点高中联合体2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题（含解析）

高三期中考试数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则集合的子集个数为（ ）
A．32 B．16 C．8 D．15
2．若，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知命题p：已知，则，，则：（ ）
A．已知，则， B．已知，则，
C．已知，则， D．已知，则，
4．已知，，，则（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b
5．鲸是水栖哺乳动物，用肺呼吸，一般分为两类：须鲸类，无齿，有鲸须；齿鲸类，有齿，无鲸须，最少的仅具1枚独齿．已知甲是一头鲸，则“甲的牙齿的枚数不大于1”是“甲为须鲸”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．钝角的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a＝3，b＝2c，且，则的周长为（ ）
A．9 B． C．6 D．或9
7．若正实数x，y满足x＋2y＋xy＝7，则x＋y的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
8．《乌鸦喝水》是《伊索寓言》中的一个寓言故事，通过讲述一只乌鸦喝水的故事，告诉人们遇到困难要运用智慧、认真思考才能让问题迎刃而解的道理．如图所示，乌鸦想喝水，发现有一个锥形瓶，已知该锥形瓶上面的部分是圆柱体，下面的部分是圆台，瓶口的直径为3cm，瓶底的直径为9cm，瓶口距瓶颈，瓶颈到水位线的距离和水位线到瓶底的距离均为．现将1颗石子投入瓶中，发现水位线上移，当水位线离瓶口不大于时，乌鸦就能喝到水，则乌鸦共需要投入的石子数量至少是（石子体积均视为一致）（ ）
A．2颗 B．3颗 C．4颗 D．5颗
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．正方体的棱长为2，则（ ）
A．异面直线和所成的角为 B．异面直线和所成的角为
C．点A到平面的距离为 D．点A到平面的距离为
10．函数的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
11．已知，则（ ）
A．曲线在x＝e处的切线平行于x轴 B．的单调递减区间为
C．的极小值为e D．方程没有实数解
12．已知函数的定义域为，，且，当时，，则（ ）
A．
B．是偶函数
C．当A，B是锐角的内角时，
D．当，且，时，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若，，则______．
14．设等差数列的前n项和为，若，则______．
15．已知向量，，若，则m＝______．
16．若过x轴上一点所作的曲线C：的切线有且只有一条，则的一个可能值为______，此时的切线方程为______．（本题第一空3分，第二空2分）
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知函数是奇函数．
（1）求a的值；
（2）若，求m的取值范围．
18．（12分）
函数的部分图象如图所示，将的图象先向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数的图象．
（1）求的解析式；
（2）求在上的值域．
19．（12分）
设等比数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）记，若，求m．
20．（12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，PA＝PD，，，AD＝CD＝2，AB＝3，E是棱AD的中点．
（1）证明：平面PCE．
（2）若，求平面PCE与平面PAB所成角的余弦值．
21．（12分）
人类从未停下对自然界探索的脚步，位于美洲大草原点C处正上空的点P处，一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍，此时位于点C西南方向的草丛A处潜伏着一只饥肠辘辘的猎豹，猎豹正目不转睛地盯着其东偏北15°方向上点B处的一只羚羊，且无人机拍摄猎豹的俯角为45°，拍摄羚羊的俯角为60°．假设A，B，C三点在同一水平面上．
（1）求此时猎豹与羚羊之间的距离．
（2）若此时猎豹到点C处比到点B处的距离更近，且开始以28m/s的速度出击，与此同时机警的羚羊以20m/s的速度沿北偏东15°方向逃跑，已知猎豹受耐力限制，最多能持续奔跑600m，试问猎豹这次捕猎是否有成功的可能？若有可能，求猎豹狩猎成功的最短时间；若不能，请说明原因．
22．（12分）
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当a＝1时，若函数有两个零点，求实数t的取值范围．
高三期中考试数学试卷参考答案
1．B 因为，所以其子集有个．
2．D 因为，所以，故z在复平面内对应的点位于第四象限．
3．C 存在量词命题的否定是全称量词命题，有大前提的命题，其否定中大前提不变．
4．D 因为，，，所以a＞c＞b．
5．B 若甲的牙齿的枚数不大于1，则甲可能是独齿鲸也可能是须鲸．若甲为须鲸，则甲的牙齿的枚数为0，所以它的牙齿的枚数不大于1．故“甲的牙齿的枚数不大于1”是“甲为须鲸”的必要不充分条件．
6．A 因为b＝2c，所以，又，所以，从而，由，解得c＝2或（舍去），所以的周长为2＋4＋3＝9．
7．D 因为x＋2y＋xy＝7，所以，所以．
因为，当且仅当，即x＝1，y＝2时，等号成立，所以x＋y的最小值为3．
8．B 如图所示，因为AB＝9cm，EF＝GH＝3cm，，所以∠A＝60°．因为原水位线的直径CD＝6cm，投入石子后，水位线的直径IJ＝5cm，则由圆台公式得到，．
因为需要填充的石子的体积是由圆台加圆柱体得到，即，则需要石子的个数为，所以至少共需要3颗石子．
9．BC 如图，连接，AC，，，则，所以异面直线和所成的角为．因为，所以为等边三角形，即，故A错误，B正确．
因为，所以．
因为，，所以，所以点A到平面的距离为，故C正确，D错误．
10．ABD 由题意知，则，当时，，，，所以的大致图象不可能为C，而当为其他值时，A，B，D均有可能出现．
11．AC 因为（x＞0且），得，所以，，所以曲线在x＝e处的切线平行于x轴，故A正确；
令，得x＞e，令，得0＜x＜1或1＜x＜e，所以在上单调递增，在和上单调递减，所以的极小值为，故B错误，C正确；
因为当0＜x＜1时，的图象与直线y＝－1有一个交点，所以方程有一个实数解，故D错误．
12．AD 令x＝y＝0，得，故A正确．
令x＝0，则，所以为奇函数，故B错误．
任取，，且，则．
因为，所以，所以．
因为，，所以，，即在上单调递增．
因为A，B是锐角的内角，所以，所以，所以．因为，，所以，故C错误．
因为，且，所以．令y＝－x，则，令，则，所以．因为，所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以，故D正确．
13． 因为，所以，故．
14．45 由等差数列的性质可知，则，故．
15．5 因为，所以，所以，所以，所以2（m－2）＝3×2，解得m＝5．
16．－3；x＋ey＋3＝0或1；ex－y－e＝0（注意：只需从这两组答案中选择一组作答即可）
设切点，因为，所以切线方程为．
因为切线l经过点P，所以,
则关于的方程只有一个实数解．
即只有一个实数解，由，解得或．
当时，，此时切线方程为x＋ey＋3＝0；
当时，，此时切线方程为ex－y－e＝0．
17．解：（1）因为，所以．
因为为奇函数，所以，故a＝－1．
（2）由（1）知，
因为为上的增函数，所以在上单调递增，
所以不等式，等价于，
即，故－3＜m＜1，即m的取值范围是．
18．解：（1）由图可知，，则，所以．
由，，得，所以．
将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，
再向上平移1个单位长度后，得到的图象，所以．
（2）因为，所以．令，则．
因为，所以，所以．
19．解：（1）设的公比为q，则解得
所以的通项公式为．
（2）因为，所以，，．
由，整理得，
解得m＝4或（舍去），故m＝4．
20．（1）证明：在棱AB上取点F，使得AF＝2BF＝2，连接CF，BE．
易证四边形AFCD是正方形，则，，
从而，故．因为PA＝PD，且E是棱AD的中点，所以．
因为平面平面ABCD，且平面平面ABCD＝AD，所以平面ABCD．
因为平面ABCD，所以．
因为平面PCE，平面PCE，且，所以平面PCE．
（2）解：以E为原点，分别以，的方向为x，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意可知，，，，则，．
设平面PAB的法向量为，则令x＝2，得．
由（1）可知平面PCE，则平面PCE的一个法向量为．
设平面PCE与平面PAB所成角为，则．
21．解：（1）由题意可知，∠APC＝45°，∠CBP＝60°，∠BAC＝45°－15＝30°，
，，
由正弦定理，可得，因此∠ABC＝60°或120°，
当∠ABC＝60°时，∠ACB＝90°，猎豹与羚羊之间的距离为；
当∠ABC＝120°时，∠ACB＝30°＝∠BAC，猎豹与羚羊之间的距离为AB＝BC＝100m．
（2）由（1）可知，若猎豹到点C处比到点B处羚羊的距离更近，则
∠ABC＝60°，∠ACB＝90°，AB＝200m．
设猎豹在最短时间内捕猎成功的地点为点Q，∠ABQ＝60°＋45°＋15°＝120°，AQ＝x m，则．则，
整理得，解得（负根舍去），
因为，所以猎豹这次捕猎有成功的可能，
且狩猎成功的最短时间为．
22．解：（1）因为，所以．
当时，，所以在上单调递增；
当0＜a＜1时，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减．
（2）当时，，则，
所以关于x的方程有两个不同的实根，
即关于x的方程有两个不同的实根．因为x＞0，所以．
令，则，所以在上单调递增．
要使有两个不同的实根，则需有两个不同的实根．
令，则．
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以．当t＜1时，，没有零点；
当t＝1时，，当且仅当x＝1时，等号成立，只有一个零点；
当t＞1时，，，．
令，则，即在上单调递增，
所以，即．
所以在上有一个零点，在上有一个零点，符合条件．
综上，实数t的取值范围是．