福建省长乐二中等五校2014届高三上学期期中联考数学（文）试题

长乐二中、闽侯二中、闽清高级中学、永泰二中、连江侨中
等五校2014届高三上学期期中联考
数学文试题
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：（本题共１2小题，每小题５分，共6０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1. 设集合，集合，则=（ ）
A.{0，1} B.{1} C.1 D.{-1，0，1，2}
2．已知复数（为虚数单位）则复数在复平面对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C.第三象限 D．第四象限
3．“△的三个角A，B，C成等差数列”是“△为等边三角形”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4. 等差数列中，若，则等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5. 函数的零点所在的区间为（ ）
A.（1,2） B.（2,3） C.（3,4） D.（4,5）
6.在△ABC中，角A，B，C的对边为,若，则角A= （ ）
A．30° B．30°或105° C．60° D．60°或120°
7．在中, ,，为的中点 ,则=（ ）
A．3 B． C．-3 D．
8. 、为平面向量，已知，则、夹角的余弦值等于（ ）.
A． B． C． D．
9.在△ABC中，若，则△ABC是( )
A.等边三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形
10.已知定义在上的函数是偶函数，对 时，的值为（ ）
A．－2 B. 2 C.4 D.－4
11. 在数列中，，，则 =( )
A．2+(n－1)lnn B 2+lnn C． 2+nlnn D．1+n+lnn
12. 式子满足，则称为轮换对称式．给出如下三个式子：①； ②； ③
是的内角）．其中，为轮换对称式的个数是（ ）
A． B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡相应横线上。）
13. 如果复数为纯虚数，那么实数的值为
14. 抛物线在点的切线方程是____________
15.已知数列的递推公式，则 ；数列中第8个5是该数列的第 项
16．如图所示，是定义在区间上的奇函数，令，并有关于函数的四个论断：
①若，对于内的任意实数，恒成立；
②函数是奇函数的充要条件是；
③任意，的导函数有两个零点；
④若，则方程必有3个实数根；
其中，所有正确结论的序号是________
三、解答题：(本大题共6小题，共74分.解答应在答题纸对应区域内写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. (本小题满分12分)
已知向量
（1）求，并求在上的投影
（2）若，求的值，并确定此时它们是同向还是反向？
18．（本小题满分12分）在中，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的面积．
19．（本小题满分12分）
已知等差数列的前项和为，且.
(I)求数列的通项公式；
(II)设等比数列，若，求数列的前项和
(Ⅲ)设，求数列的前项和
20.（本小题满分12分）设＝(2cos,1),＝(cos,sin2),＝·，R.
⑴ 若＝0且[,],求的值；
⑵ 若函数＝ ()与的最小正周期相同，且的图象过点(，2)，求函数的值域及单调递增区间.
21．（本小题满分12分） 岛A观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度向东南方向航行，观察站即刻通知在岛A正南方向B处巡航的海监船前往检查．接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东75°方向且相距10海里的C处，随即以每小时10 海里的速度前往拦截．
（I）问：海监船接到通知时，距离岛A多少海里？
（II）假设海监船在D处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间．
22．(本小题满分14分)已知函数，是大于零的常数．
（Ⅰ）当时,求的极值；
（Ⅱ）若函数在区间上为单调递增，求实数的取值范围；
(Ⅲ)证明：曲线上存在一点，使得曲线上总有两点，且成立
2013-2014学年第一学期高三数学(文)半期试卷参考答案
一.选择题：
二、填空题：
三、解答题：
17.解：（1）………1分 …………2分
，…………4分 在上的投影为………6分
（2）法一： …………8分
…………10分
…12分
法二：…………8分
…………10分…12分
18.解：（Ⅰ）在中，因为，
所以. …………………………（3分）
所以
. ……………………（6分）
（Ⅱ）根据正弦定理得：，
所以. ……………………（9分）
. ……………12（分）
19．解：（Ⅰ）法一： 解得……………（2分）
………………………………（4分）
法二：由，得，所以． ……………………（2分）
又因为，所以公差． ………………………（3分）
从而． …………………（4分）
（Ⅱ）由上可得，，所以公比，
从而， …………………………（6分）
所以． …………………（8分）
(Ⅲ)由（Ⅰ）知，.
∴ …………10分
……………………………（12分）
20 解： （1）＝·=
=………3分
由得=0
∴∵[,]∴∴
∴…………6分
（2）由（1）知∴ ∴……8分
∴＝
∴的值域为，单调递增区间为.…………12分
------4分
（Ⅱ），若函数在区间上为单调递增，
则在上恒成立，
当，即时，由得；
当，即时，，无解；
当，即时，由得．
综上，当函数在区间上为单调递增时，或．--------10分
（Ⅲ），，
令，得，
在区间，，上分别单调递增，单调递减，单调递增，
于是当时，有极大值；
当时，有极小值．
记,, 的中点,
设是图象任意一点,由，得，
因为
，
由此可知点在曲线上，即满足的点在曲线上．
所以曲线上存在一点，使得曲线上总有两点，且成立 ． ----------------------------------14分