2022-2023学年七年级数学鲁教版下册8.5 平行线的性质定理 教学设计

《8.5平行线的性质定理》教学设计
鲁教版七年级下册《8.5平行线的性质定理》教学设计
一、课题、课型
本节内容节选自山东教育出版社《义务教育教科书（五四学制）数学》（下文简称“教科书”）七年级下册第八章“平行线的有关证明”第5节——平行线的性质定理.这节课为新授课，课时安排一课时.本节课是“空间与图形”的重要组成部分，是判定直线平行的继续，它不但给三角形内角和定理的证明提供了转化的方法， 同时也是今后学习三角形、四边形、平移等知识的基础，因此本节课的教学内容在教材中有着承前启后的重要作用. 《标准》要求这节课学生探索并证明平行线的性质定理： 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等（或同旁内角互补）.学生通过测量、动手操作、实验等活动探究，得出结论.通过学习平行线的判定定理学生已经明确认识到探究的结论需要加以证明.因此这一节课学生需要进一步掌握证明的要求和格式，再次认识到证明的严谨性， 做到步步有据，发展学生的推理能力，另外要求学生可以利用这些定理解决简单问题.
二、教学目标
图形的性质是研究图形构成要素之间的关系，他和图形的判定是几何研究中的两个重要方面.平行线的性质是学生第一次对图形性质进行系统研究，对以后学习其他图形性质有示范的作用.教科书中先学习平行线的判定，后对平行线的性质进行探索证明，既渗透了图形的判定和性质之间的互逆关系，又体现了知识的连贯性.平行线的三条性质定理都是需要证明的，但是为了与学生思维发展水平相适应，《标准》中将性质定理“两直线平行，同位角相等”的证明作为选学内容，然后在这个性质定理的基础上，经过进一步推理，得到另外两条性质定理.这一过程体现了由实验几何到论证几何的过渡，渗透了简单推理，体现了数学再培养良好思维品质方面的价值.直接用反证法证明性质定理容易打击学生积极性，甚至产生厌烦情绪，为避免这种情况发生， 我选择“两阶段”（探索阶段与证明阶段）的处理方式.这种呈现处理方式方式“让学生在证明性质定理的同时，经历了一次思考的过程”“知道了一个性质定理的抽象过程”，不仅可以强化学生对数学性质的理解性掌握，而且在获知的同时，让学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养得到熏陶.
因此我确认教学目标为：
1.知识技能：理解平行线的性质定理，能明确平行线的性质与判定的区别；能初步利用平行线的性质进行有关计算和证明.
2.数学思考：经历几何命题的过程，培养学生的数学符号能力，发展抽象思维；通过观察、操作、猜想、证明等数学活动过程，提高合情推理和演绎推理能力.
3.问题解决：初步感知平行线的性质在实际生活中的应用；初步运用平行线的性质进行推理，培养了数学建模能力.
4.情感态度：在观察思考、动手操作、小组合作中，培养学生的合作交流意识和探索精神，激发学习兴趣，增强解决问题的信心，获得成功的体验.
三、教学重难点
学生通过上节课学习平行线的判定，对平行有了一定的认知，并且七年级学生正处于动手能力强，好奇心强，求知欲强的阶段，参与探索活动的热情已经具备，因此我把这节课设计成一节探索活动课.要让学生通过实验探究、操作确认得到性质定理一，借助已有的相关知识，通过推理得到另外两条性质，知道性质和判定的异同，能用自己的语言叙述获得性质的过程.平行线的性质是空间与图形领域的基础知识，在以后的学习中，这部分内容是后续学习的基础，会经常使用，引导学生用探索活动来发现结论，经历知识的再发现过程，会使学生对性质的认识和理解进一步提高，培养学生多方面的能力.
因此我确定本节课的教学重点为得到平行线的性质过程.
对于作为培养推理能力的内容——性质2和性质3的得出，学生可以做到“说理”，但推理过程从逻辑上叙述清楚，存在困难，推理过程符号化，对于刚刚接触平面几何的七年级学生而言，具有一定的难度.
因此我确定本节课的难点为性质定理二和性质定理三的推理过程的逻辑表述.
四、教学过程
1.在导入中回顾
（1）快闪介绍小组积分制
前言：大家现在对快闪课件并不陌生吧，接下来请小伙伴们集中注意力观看.
【设计意图】现在学生比较喜欢新颖的东西，快闪课件就是不错的选择.快闪课件是用幽默的语言展现了本节课的小组积分制，既能快速吸引学生注意力、提高学习兴趣，又能向学生展示小组积分制度，一举两得.
（2）微课：生活中的平行线
导入：这个世界上每个人的眼睛里都有星辰大海，那么在数学的世界里，用数学的眼光观察世界，又会发现什么呢？请看这几位同学的疑问.
提问：平行的栅栏被第三条栅栏所截，这就组成了三线八角，那这些角之间又怎样的关系呢？
【设计意图】从学生的角度观察校园，引出问题.一方面可以激发学生的学习兴趣，让学生认识到生活中处处有数学.另一方面鼓励其他学生可以向视频中的同学学习，善于观察，养成用数学眼光观察世界的习惯.
（3）回顾平行线性质和判定
问题1：如果想要解决视频中学生的问题，那接下来让我们用数学的思维分析世界吧.上节课，我们学习了几条平行线的判定方法？在这三个判定方法中条件和结论分别是什么？
问题2：在这三种条件下，能得到两直线平行，如果反过来，两直线平行同位角、内错角、同旁内角又有什么关系呢？
【设计意图】复习上节课所学的平行线的判定方法，引出本节课要解决的问题.为学生学习平行线的性质做好铺垫.同时让学生养成用数学的思维分析世界的好习惯.
2.在合作中生成
（1）动手操作，归纳性质
教师提问：画两条平行线a//b，然后画一条截线c与这两条平行线相交，图中有哪些是同位角？ 这些同位角有怎样的数量关系？
学生口答：∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8；这些同位角相等.
教师提问：想要验证同位角是否相等，需要我们回顾六年级下册学习角比较大小的方法，谁可以回答？
学生口答：度量法和叠合法（学生可能已经遗忘，教师可以适当提醒）.
小组合作并投影展示：学生采用度量法和叠合法进行验证（在此过程中教师要关注学生能否使用恰当的工具测量出角的大小.裁剪时能否裁下其中一个同位角，对于有困难的学生，教师要及时予以帮助，鼓励学生参与动手操作的学习过程中）.
教师提问：如果改变第三条截线的位置，我们发现的结论还依然成立吗？
师生活动：让学生进行小组合作，制订方案，进行验证.有以上的探究，学生在这轮活动中会有较清晰的思路，教师稍加指点即可.最后，学生在小组共同探究的基础上发现同位角的数量关系是不变的.
教师提问：你们采用了度量法和重叠法进行了验证，接下来
我们用几何画板一起来探讨一下吧！
师生活动：教师分别改变平行线a的位置、平行线b与截线c
的位置，让学生观察结论是否依旧成立.
【设计意图】让学生充分经历动手操作——独立思考——合作交流——验证猜想的验证过程，在这一过程中，注重了学生的合情推理能力.最后几何画板的使用，既让学生认识到数学软件应用之广泛， 又让学生体会验证结论从特殊到一般的过程.
（2）微课展示，推理论证
教师提问：在数学世界里，数学需要证明，数学之外的事物，我们应该也养成追究其缘由的好习惯，平常说话办事也要有理有据.那我们刚刚通过探索得到了两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.那这句话是否可靠，需要经过严格的推理论证才可以.
【设计意图】渗透德育教育的同时，让学生明白证明的必要性.
教师提问：如果我们想要论证这句话，我们需要首先画出图形，并写出已知与求证.
师生活动：教师引导学生画出图形，结合图形写出已知和求证.
教师提问：你能否完成证明？
学生活动：先独立思考，再小组讨论，然后学生展示以及微课展示（因为这些结论在六年级时已经应用过，所以在学生自己思考证明时，可能会出现循环论证的现象，此时教师应该加以引导）.
【设计意图】让学生感受命题证明中的一些细节问题，如，怎么画图，怎么写已知和求证.为后面两个性质定理的证明做下铺垫.后面之所以让学生先思考再展示微课，是因为学生出现循环论证在所难免，敢于把这种现象展示在课堂上，才能彻底解决学生心中的疑惑.另外，这一部分是选学内容，学生又是刚刚学习逻辑论证，所以这一部分对于大部分学生比较困难，所以我采用微课展示方式完成证明.
小结：刚刚我们经过严格推理论证的结论，称为平行线性质定理一，以后可以当做论证的理论依据了.我们可以简称为：两直线平行，同位角相等（板书并画图）.我们要学会用数学的语文表达世界，数学语言分为文字语言、图形语言和符号语言，谁能用符号语言来表述一下性质1？（板书：∵a∥b，∴∠1=∠2.）
刚刚微课展示的方法我们平常在证明中不常用，一般先采用由已知推结论的方法.
【设计意图】让学生清楚平行线的性质在几何推理时需要严密的数学符号语言，同时让学生加深理解和记忆，以便后面几何问题解决中能够使用.之所以强调反证法不常用，是为了避免学生在后面证明性质定理时任然采用反证法证明.
（3）应用转化，推出性质
教师提问：我们可以参考“两直线平行，同位角相等”的过程，根据“两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.”的文字叙述（1）作出相关的图形；（2）写出已知、求证；（3）并尝试进行证明.
学生活动：先独立思考，再小组讨论（投影展示第（1）（2）步）.
教师提问：上节课中，我们利用“同位角相等，两直线平行”推出“内错角相等，两直线平行”.类似的，咱们能由性质1 “两直线平行，同位角相等”推出“性质2两直线平行，内错角相等”吗？
　　师生讨论：学生独立完成，投影展示并讲解，接着师生共同评析论证过程.在这个环节中教师应该注重推理过程，格式慢慢改正，最后师生共同完成证明过程.
　　教师提问：谁能用文字语言表述一下你刚才发现的结论？（性质2：两直线平行，内错角相等.）谁能用符号语言来表述一下性质2？（板书：∵a∥b，∴∠1=∠2.）
【设计意图】在教师的引领和指导下逐渐建构研究思路，循序渐进的让学生从“说思路”到“证推理”过渡.本章是证明的起始阶段，要让学生初步掌握证明的要求和格式，认识到证明的严谨性，做到步步有据.
小组讨论：命题证明的一般步骤是什么？
【设计意图】通过前面的学习，对于命题的证明已有了一定的经验，及时的整理经验是十分必要的，由此引导学生回顾证明过程，梳理证明活动中的经验，以提升学生的证明能力.后面证明性质定理3时，正好可以应用巩固如何进行命题证明.
教师提问：我们已经得出了平行线的两条性质，那么，你能根据这两条性质定理推出“性质3两直线平行，同旁内角互补”吗？
　　学生活动：这次推理由学生单独完成，当学生完成后，教师用多媒体展示推理过程，并作出指点和纠正.
共同得出结论：文字语言：性质3，两直线平行，同旁内角互补.符号语言：如果a∥b，那么∠1+∠2=180°.
师生讨论：平行线的“判定”与“性质”有什么不同？
【设计意图】逐步培养学生的推理能力，使学生逐步养成言之有理、言之有据说的好习惯，从而进行简单的推理证明.让学生明确平行线判定方法和性质定理的异同以及互逆关系，以提高学生的理解以及加强学生的记忆.
3.在把握中巩固
问题1.已知：如图，直线a、b被直线c所截，且a∥b.
求证：∠1=∠3.
问题2.已知：如图，AD∥BC,∠ABD=∠D.
求证：BD平分∠ABC.
变式：已知：如图，AD∥BC,BD平分∠ABC.
求证：∠ABD=∠D.
【设计意图】问题1的设计让学生清晰平行线性质定理的应用，也为学生能够进行后续的复杂图形的推理奠定基础.问题2以及变式训练可以再次巩固性质定理.
4.在应用中拓展
过渡：大数学家欧拉曾说过“数学是依靠观察得到的”，请观察：
问题1.如图所示，AB//CD,猜想∠BPD与∠ABP、∠CDP的关系，
并说明理由.（几何画板展示）
活动：在学案上作图，通过测量验证猜想，并尝试证明；
提问：你的猜想是什么？你是怎么证明的？
若学生不能说明理由，则教师予以提示，过P点作AB的平行线（选“平行”的学生）；若学生能说明理由，则给出及解题思路并板书，教师交代：特别的，为了证明的需要，需要在原图上添画的线，叫做辅助线，在平面几何中，辅助线通常画成虚线.
教师相机提问：为什么过P点作AB的平行线？
小结：看来，当两条平行之间没有直截线时，我们可以通过添加平行线，构造平行，打通看似无法直接使用平行线的性质定理的三线八角模型图．
模型的开放：上述条件不变，选择一个P点位置，∠BPD与∠ABP、∠CDP的关系又是什么？（几何画板展示，留作选做题）
课堂小游戏：如图,这是一付“角棋”.“棋盘”是一些平行线，
“棋子”是用彩纸做成的两个角（∠1和∠2）.规则如下:从两头
开始“跳”角, ∠ 1往下往右跳, ∠ 2往上往右跳,以跳到对方初
始位置为胜，双方轮流进行，每“跳”一步要说出“跳”的根据
（即平行线的性质等），看看谁“跳”得快，理由说得准确.
师生活动：师生一起探究游戏的玩法.
【设计意图】问题1模型建立的过程也是学生对已有知识再次加工重组的过程，也蕴含了对新知的初步体验；模型的开放环节充分的放手，在自主探索的过程中体会到模型虽然不同，但是解题的策略确是殊途同归，模型开放引出的问题稍有难度，可以当做选做题留给学生.课堂小游戏让既再次巩固了新知，又激发了学生的兴趣让课堂气氛再次活跃.
5.在总结中升华
师生总结：这节课从知识上和思想上收获了什么？
教师：华罗庚说过：数学是最宝贵的研究精神之一，希望同学们能将本课的研究方法与思想坚持下去，勤能补拙，你也会越来越聪明！
【设计意图】通过学生总结归纳本节课收获，锻炼了学生的语言表达能力及归纳总结的能力.
6.在作业中实践
必做题：在校园里去寻找能体现平行线性质应用的实际例子，并讲给你的同桌听.
选做题：AB//CD,猜想∠BPD与∠ABP、∠CDP的关系，并说明理由（你能用几种方法求解）.
【设计意图】作业则以“分层作业+实践作业”的形式呈现，分层作业意在践行“让不同的学生在数学上得到不同的发展”这一课程理念；实践作业则意在培养学生的动手实践能力，体会“数学源于生活，又服务于生活”.
时间分配
1.在导入中回顾——————1分钟
2.在合作中生成——————22分钟
3.在把握中巩固——————8分钟
4.在应用中拓展——————6分钟
5.在总结中升华——————2分钟
6.在作业中实践——————1分钟
五 板书设计
《变中的不变——当平行线遇到折线问题的探究》学习辅助单
姓名： 自我评价：
【设计意图】在板书性质定理时，没有采用三条性质定理的文字语言、图形语言与符号语言分别陈列，因为如果分别陈列那么后面还要与判定方法进行比较时，还要再写一遍，这样既浪费时间板书也不整洁.第一个图是引导学生如何画图，第二个图是让学生进行板演，符号语言是学生完成证明时，再进行板书.整个板书凸显了整节课的重难点：掌握平行线的性质定理1，证明性质定理2、3；体会判定方法与性质定理的互逆思维；学生板演证明过程，在展示一起纠正过程中让学生更好的理解证明的步骤、格式和方法.作为传统的教学媒体在教学过程中发挥着新兴教学媒体所不可替代的作用，在板书设计时，力求做到结构清晰，重点突出，便于学生课上记录和学生课下复习.
8.5 平行线的性质定理
性质定理
同位角相等
内错角相等 两直线平行
同旁内角互补
二、命题证明步骤
学生板演区（投影）
角的关系
线的关系
平行线的判定方法
平行线的性质定理
线的关系
角的关系
互逆关系
9
9
∵ a∥b ∴∠1=∠2
∵ a∥b ∴∠1+∠2=180°
∵ a∥b ∴∠1=∠2
9