山东省潍坊市青州市2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷（含答案）

2022-2023学年山东省潍坊市青州市八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列各分式中，是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列四个图分别是第24届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建在（　　）
A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
4．如图，已知AB⊥AC，AB＝AC，DE过点A，且CD⊥DE，BE⊥DE，垂足分别为点D，E，CD＝5，BE＝3，则DE的长为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．求不出来
5．如图，设k＝（a＞b＞0），则k的值可以为（　　）
A． B．1 C． D．2
6．三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数是（　　）
A．90° B．120° C．135° D．180°
7．若关于x的方程有增根，则a的值是（　　）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
8．数学课上，老师提出一个问题：经过已知角一边上的点，做一个角等于已知角．如图，用尺规过∠AOB的边OB上一点C（图①）作∠DCB＝∠AOB（图②）．我们可以通过以下步骤作图：
①作射线CD；
②以点O为圆心，小于OC的长为半径作弧，分别交OAOB于点N，M；
③以点P为圆心，MN的长为半径作弧，交上一段弧于点Q；
④以点C为圆心，OM的长为半径作弧，交OB于点P．
下列排序正确的是（　　）
A．①②③④ B．④③①② C．③②④① D．②④③①
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。）
（多选）9．下列各式是分式的有（　　）
A． B．
C． D．
（多选）10．如图，已知AE＝AC，∠C＝∠E，下列条件中，能够判定△ABC≌△ADE的是（　　）
A．∠B＝∠D B．BC＝DE C．∠1＝∠2 D．AB＝AD
（多选）11．下列各式变形正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
（多选）12．如图，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线MD交AC于D，交AB于M，以下结论正确的有（　　）
A．△BCD是等腰三角形
B．线段BD是△ACB的角平分线
C．△BCD的周长C△BCD＝AC+BC
D．△ADM≌△BCD
三、填空题（本大题共4小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得5分）
13．已知，则的值为 　 　．
14．如图，由于受第18号台风“圆规”的影响，学校的某玻璃三角板摔成三块，派小明同学到玻璃店再配一块同样大小的三角板，让小明最省事的方法是带 　 　块去．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交边AC、AB于点M、N，分别以点M、N为圆心，以大于MN为半径作弧，两弧交于点P，射线AP交BC于点D，若CD＝2，AB＝5，则△ABD的面积为 　 　．
16．如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OB、OA的对称点P1，P2，连接P1P2交OB于M，交OA于N，若∠AOB＝40°，则∠MPN的度数是 　 　．
四、解答题（本大题共7小题，共78分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骡骤）
17．（10分）如图，小琪的作业本上有这样一道填空题，其中有一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为．
（1）求被墨水污染的部分；
（2）该题化简的结果能等于吗？为什么？
18．（10分）如图，已知坐标系内点P（4，3），在坐标轴上找一点A，使△AOP是等腰三角形（利用尺规作图，找到所有满足条件的情况，保留作图痕迹，并简单写出作图说明）．
19．（11分）如图，点E在AB上，AC与DE相交于点F，△ABC≌△DEC，∠B＝65°．
（1）求∠DCA的度数；
（2）若∠A＝20°，求∠DFA的度数．
20．（11分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F分别在AB、AC上，AE＝AF，AO是△AEF的边EF上的中线，AO的延长线交BC于点D，那么AD⊥BC吗？为什么？
21．（12分）【问题呈现】为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天，问原先每天生产多少万剂疫苗？
（1）【分析交流】
某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整；
（2）【建模解答】
（请你完整解答本题）
生产量 时间 原先 现在
生产总量（单位：万剂） 240
每天生产量（单位：万剂） x 　 　
（3）【解题收获】
通过本问题的解决，请简述你对模型观念有何感想？
22．（10分）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得x1＝a，x2＝b．又因为﹣（a+b），所以关于x的方程x+＝a+b的解为x1＝a，x2＝b．
（1）【理解应用】解方程；
（2）【知识迁移】若关于x的方程x+＝7的解为x1＝a，x2＝b，求a2+b2的值．
23．（14分）如图，已知正方形ABCD的边长为10cm，点E在AB边上，BE＝6cm．
（1）如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动，点Q同时在线段CD上由C点向D点运动，
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△COP是否全等？并说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，△BPE与△CQP全等？
（2）若点？以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次相遇？相遇点在何处？
2022-2023学年山东省潍坊市青州市八年级（上）期中数学试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列各分式中，是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【解答】解：A．是最简分式；
B．＝＝x﹣y，不符合题意；
C．＝＝，不符合题意；
D．＝，不符合题意；
故选：A．
2．下列四个图分别是第24届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用轴对称图形的定义进行判断．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
3．如图，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建在（　　）
A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出即可．
【解答】解：
根据作图可知：EF是线段MN的垂直平分线，
所以EF上的点到M、N的距离相等，
即发射塔应该建在C处，
故选：C．
4．如图，已知AB⊥AC，AB＝AC，DE过点A，且CD⊥DE，BE⊥DE，垂足分别为点D，E，CD＝5，BE＝3，则DE的长为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．求不出来
【分析】根据垂线的定义和三角形的内角和定理求出∠DAC＝BAE＝∠DCA，证出△ADC≌△BEA，推出AD＝BE，CD＝AE，即可求出答案．
【解答】解：∵∠CAB＝90°，
∴∠DAC+∠BAE＝90°，
∵CD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠D＝∠E＝90°，
∴∠DAC+∠DCA＝90°，
∴∠BAE＝∠DCA，
∵AB＝AC，
∴△ADC≌△BEA（ASA），
∴AD＝BE，CD＝AE，
∵CD＝5，BE＝3，
∴AD＝3，AE＝5，
∴DE＝8，
故选：A．
5．如图，设k＝（a＞b＞0），则k的值可以为（　　）
A． B．1 C． D．2
【分析】分别表示出两个阴影部分的面积，然后结合分式的约分法则进行约分化简．
【解答】解：由题意，S甲阴影＝a2﹣b2，S乙阴影＝a2﹣ab，
∴k＝＝＝，
又∵a＞b＞0，
∴2a＞a+b＞a，
∴1＜＜2，
故选：C．
6．三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数是（　　）
A．90° B．120° C．135° D．180°
【分析】直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出∠4+∠9+∠6＝180°，∠5+∠7+∠8＝180°，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：
由图形可得：∠1+∠4+∠5+∠8+∠6+∠2+∠3+∠9+∠7＝540°，
∵三个全等三角形，
∴∠4+∠9+∠6＝180°，
又∵∠5+∠7+∠8＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+180°+180°＝540°，
∴∠1+∠2+∠3的度数是180°．
故选：D．
7．若关于x的方程有增根，则a的值是（　　）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
【分析】先把分式方程化为整式方程，再把增根代入整式方程求出a的值．
【解答】解：关于x的方程有增根，则x＝3是增根，
将原分式方程去分母得，
2x﹣6+a＝x，
∴x＝6﹣a，
∴6﹣a＝3，
所以a＝3，
故选：A．
8．数学课上，老师提出一个问题：经过已知角一边上的点，做一个角等于已知角．如图，用尺规过∠AOB的边OB上一点C（图①）作∠DCB＝∠AOB（图②）．我们可以通过以下步骤作图：
①作射线CD；
②以点O为圆心，小于OC的长为半径作弧，分别交OAOB于点N，M；
③以点P为圆心，MN的长为半径作弧，交上一段弧于点Q；
④以点C为圆心，OM的长为半径作弧，交OB于点P．
下列排序正确的是（　　）
A．①②③④ B．④③①② C．③②④① D．②④③①
【分析】根据作一个角等于已知角的尺规作图可得．
【解答】解：正确的排序是：②以O为圆心，以任意定长为半径作弧，分别交OA、OB于N、M；
④以点C为圆心，OM的长为半径作弧，交OB于点P．
③以点P为圆心，MN的长为半径作弧，交上一段弧于点Q；
①作射线CD；
故选：D．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。）
（多选）9．下列各式是分式的有（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据分式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．分母中没有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
B．分母中有字母，是分式，故本选项符合题意；
C．分母中有字母，是分式，故本选项符合题意；
D．分母中有字母，是分式，故本选项符合题意；
故选：BCD．
（多选）10．如图，已知AE＝AC，∠C＝∠E，下列条件中，能够判定△ABC≌△ADE的是（　　）
A．∠B＝∠D B．BC＝DE C．∠1＝∠2 D．AB＝AD
【分析】根据全等三角形的判定方法一一判断即可．
【解答】解：A、添加∠B＝∠D，由“AAS”可证△ABC≌△ADE，故选项A符合题意；
B、添加BC＝DE，由“SAS”可证△ABC≌△ADE，故选项B符合题意；
C、添加∠1＝∠2，∠BAC＝∠DAE，由“ASA”可证△ABC≌△ADE，故选项C符合题意；
D、添加AB＝AD，不能证明△ABC≌△ADE，故选项D不符合题意；
故选：ABC．
（多选）11．下列各式变形正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据分式的基本性质、分式的加减运算即可求出答案．
【解答】解：A、原式＝＝，故A符合题意．
B、原式＝＝，故B不符合题意．
C、原式＝＝，故C符合题意．
D、原式＝＝，故D不符合题意．
故选：AC．
（多选）12．如图，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线MD交AC于D，交AB于M，以下结论正确的有（　　）
A．△BCD是等腰三角形
B．线段BD是△ACB的角平分线
C．△BCD的周长C△BCD＝AC+BC
D．△ADM≌△BCD
【分析】由AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线MN交AB于点D，可得AD＝BD，继而求得∠ABD＝∠DBC＝∠A＝36°，∠BDC＝∠C＝72°，即可得△BCD是等腰三角形，△BCD的周长C△BCD＝AC+BC，线段BD是△ACB的角平分线．
【解答】解：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝36°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝36°，
∴∠ABD＝∠DBC，
即线段BD是△ACB的角平分线，故B正确；
∴∠BDC＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴△BCD是等腰三角形，故A正确；
∴△BCD的周长C△BCD＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC，故C正确；
∵△ADE是直角三角形，△BCD是顶角为36°的等腰三角形，
∴△ADE与△BCD不可能全等，故D错误．
故选：ABC．
三、填空题（本大题共4小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得5分）
13．已知，则的值为 　　．
【分析】利用设k法，进行计算即可解答．
【解答】解：设＝＝＝k，
则a＝5k，b＝4k，c＝3k，
∴＝＝＝，
故答案为：．
14．如图，由于受第18号台风“圆规”的影响，学校的某玻璃三角板摔成三块，派小明同学到玻璃店再配一块同样大小的三角板，让小明最省事的方法是带 　③　块去．
【分析】在三块玻璃中，编号为③的玻璃有两个角和它们所夹的边是完整的，所以符合三角形全等的判定定理“ASA”．
【解答】解：带③去玻璃店，根据全等三角形的判定定理“ASA”可以配一块同样大小的三角板，
故答案为：③．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交边AC、AB于点M、N，分别以点M、N为圆心，以大于MN为半径作弧，两弧交于点P，射线AP交BC于点D，若CD＝2，AB＝5，则△ABD的面积为 　5　．
【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE＝DC＝2，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：作DE⊥AB于E，
由基本作图可知，AP平分∠CAB，
∵AP平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝2，
∴△ABD的面积＝×AB×DE＝×5×2＝5，
故答案为：5．
16．如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OB、OA的对称点P1，P2，连接P1P2交OB于M，交OA于N，若∠AOB＝40°，则∠MPN的度数是 　100°　．
【分析】首先证明∠P1+∠P2＝40°，可得∠PMN＝∠P1+∠MPP1＝2∠P1，∠PNM＝∠P2+∠NPP2＝2∠P2，推出∠PMN+∠PNM＝2×40°＝80°，可得结论．
【解答】解：∵P点关于OB的对称点是P1，P点关于OA的对称点是P2，
∴PM＝P1M，PN＝P2N，∠P2＝∠P2PN，∠P1＝∠P1PM，
∵∠AOB＝40°，
∴∠P2PP1＝140°，
∴∠P1+∠P2＝40°，
∴∠PMN＝∠P1+∠MPP1＝2∠P1，∠PNM＝∠P2+∠NPP2＝2∠P2，
∴∠PMN+∠PNM＝2×40°＝80°，
∴∠MPN＝180°﹣（∠PMN+∠PNM）＝180°﹣80°＝100°，
故答案为：100°．
四、解答题（本大题共7小题，共78分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骡骤）
17．（10分）如图，小琪的作业本上有这样一道填空题，其中有一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为．
（1）求被墨水污染的部分；
（2）该题化简的结果能等于吗？为什么？
【分析】（1）根据分式的乘除混合运算的法则计算即可；
（2）根据分式有意义的条件即可得到结论．
【解答】解：（1）设被墨水污染的部分是A，
由题意得：÷＝，
＝，
＝1，
解得：A＝x﹣4；
故被墨水污染的部分为x﹣4；
（2）解：不能，理由如下：
若＝，
则x＝4，
由分式，÷＝ ，
当x＝4时，原分式无意义，
所以不能．
18．（10分）如图，已知坐标系内点P（4，3），在坐标轴上找一点A，使△AOP是等腰三角形（利用尺规作图，找到所有满足条件的情况，保留作图痕迹，并简单写出作图说明）．
【分析】根据等腰三角形的定义画出图形即可．
【解答】解：如图，以O为圆心，OP为半径作⊙O，与坐标轴有4个交点，以P为圆心，OP为半径作⊙P，与坐标轴有2个交点（点O除外），连接两圆的交点，与坐标轴有2个交点，
观察图象可知，满足条件的点A有8个．
19．（11分）如图，点E在AB上，AC与DE相交于点F，△ABC≌△DEC，∠B＝65°．
（1）求∠DCA的度数；
（2）若∠A＝20°，求∠DFA的度数．
【分析】（1）利用全等三角形的性质可得CB＝CE，∠DCE＝∠ACB，然后再利用等边对等角和三角形内角和定理可得∠DCA的度数；
（2）利用全等三角形的性质可得∠D的度数，然后再利用三角形外角与内角的关系可得答案．
【解答】（1）证明：∵△ABC≌△DEC，
∴CB＝CE，∠DCE＝∠ACB，
∴∠CEB＝∠B＝65°，
在△BEC中，∠CEB+∠B+∠ECB＝180°，
∴∠ECB＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
又∠DCE＝∠ACB，
∴∠DCA＝∠ECB＝50°；
（2）解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠D＝∠A＝20°，
在△DFC中，
∠DFA＝∠DCA+∠D＝50°+20°＝70°．
20．（11分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F分别在AB、AC上，AE＝AF，AO是△AEF的边EF上的中线，AO的延长线交BC于点D，那么AD⊥BC吗？为什么？
【分析】由AB＝AC，AE＝AF，得，推断出△AEF∽△ABC，那么∠AEF＝∠ABC，即EF∥BC．根据平行线的性质，得∠AOE＝∠ADB，那么△AEO∽△ABD，进而推断出，那么．再根据等腰三角形三线合一的性质，得AD⊥BC．
【解答】解：AD⊥BC，理由如下：
∵AB＝AC，AE＝AF，
∴．
∵∠EAF＝∠BAC，
∴△AEF∽△ABC．
∴∠AEF＝∠ABC．
∴EF∥BC．
∴∠AOE＝∠ADB．
∴△AEO∽△ABD．
∴．
∴．
∴．
∴D是BC的中点．
∵AB＝AC，
∴AD⊥BC．
21．（12分）【问题呈现】为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天，问原先每天生产多少万剂疫苗？
（1）【分析交流】
某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整；
（2）【建模解答】
（请你完整解答本题）
生产量 时间 原先 现在
生产总量（单位：万剂） 240
每天生产量（单位：万剂） x 　（1+20%）x　
（3）【解题收获】
通过本问题的解决，请简述你对模型观念有何感想？
【分析】（1）由题意即可得出结论；
（2）设原先每天生产x万剂疫苗，则现在每天生产（1+20%）x万剂疫苗，由题意：现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天，列出分式方程，解方程即可；
（3）构建分式方程即可．
【解答】解：（1）由题意得：原先生产x万剂疫苗，则现在每天生产（1+20%）x万剂疫苗，
故答案为：（1+20%）x；
（2）设原先每天生产x万剂疫苗，则现在每天生产（1+20%）x万剂疫苗，
由题意得：﹣＝0.5，
解得：x＝40，
经检验：x＝40是原方程的解，且符合题意，
答：原先每天生产40万剂疫苗．
（3）通过本问题的解决，我的收获是：构建分式方程解决问题，
故答案为：构建分式方程解决问题．
22．（10分）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得x1＝a，x2＝b．又因为﹣（a+b），所以关于x的方程x+＝a+b的解为x1＝a，x2＝b．
（1）【理解应用】解方程；
（2）【知识迁移】若关于x的方程x+＝7的解为x1＝a，x2＝b，求a2+b2的值．
【分析】（1）根据给定的方法解方程即可；
（2）根据给定的方法可得a+b＝7，ab＝3，再根据完全平方公式进一步计算a2+b2即可．
【解答】解：（1）∵，
即＝5+，
∴x1＝5，；
（2）∵关于x的方程x+＝7的解为x1＝a，x2＝b，
∴a+b＝7，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝49﹣6＝43．
23．（14分）如图，已知正方形ABCD的边长为10cm，点E在AB边上，BE＝6cm．
（1）如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动，点Q同时在线段CD上由C点向D点运动，
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△COP是否全等？并说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，△BPE与△CQP全等？
（2）若点？以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次相遇？相遇点在何处？
【分析】（1）①由“SAS”可证△BPE≌△CQP；
②由全等三角形的性质可得BP＝PC，列出方程可求t的值，即可求解；
（2）设经过x秒时，点P与点Q第一次相遇，由点P与点Q的路程差＝30，列出方程可求解．
【解答】（1）①△BPE≌△CQP，理由如下：
经过1秒后，BP＝4cm，CQ＝4cm，
∴BP＝CQ，PC＝6cm，
∴BE＝PC，
在△BPE和△CQP中，
，
∴△BPE≌△CQP（SAS）；
②设经过t秒后，△PBE≌△PCQ，
当点Q与点P速度不相同时，BP＝PC，此时△PBE≌△PCQ，
∴4t＝10﹣4t，
解得t＝，
又CQ＝BE＝6cm，
∴cm/s；
（3）设经过x秒时，点P与点Q第一次相遇，由题意可得：4.8x﹣4x＝30，
解得：x＝，
∴点P运动的路程＝＝150（cm），
∴经过秒点P与点Q第一次相遇，相遇点在点A处．