天津市第七高级中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题（Word版含解析）

2022~2023学年度天津七中第一学期高三期中考试 数学学科试卷
一、选择题（本大题共9小题，共45分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.设全集，集合，，则集合等于（ ）
A. B. C. D.
2.若，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
3.将函数的图象向右平移单位，所得图象对应的函数的最小值等于（ ）
A. B. C. D.
4.函数的部分图象大致为（ ）
A.B.C.D.
5.在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中有误的是（ ）
A.成绩在分的考生人数最多 B.不及格的考生人数为1000人
C.考生竞赛成绩的平均分约为70.5分 D.考生竞赛成绩的中位数为75分
6.一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为（ ）
A. B. C. D.
7.已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.2022年第二十四届北京冬奥会开幕式上由96片小雪花组成的大雪花惊艳了全世界，数学中也有一朵美丽的雪花—“科赫雪花”.它可以这样画，任意画一个正三角形，并把每一边三等分：取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线；重复上述两步，画出更小的三角形.一直重复，直到无穷，形成雪花曲线，，…，，….设雪花曲线的边长为，边数为，周长为，面积为，若，则下列说法正确的是（ ）
A.， B.
C.，，，均构成等比数列 D.
9.定义在上的偶函数，其导函数，当时，恒有，若，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
10.i是虚数单位，复数的虚部是______.
11.在的二项展开式中，所有项的系数之和为81，则常数项为______.
12.已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，，如果甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，则的最大值是______.
13.已知，则的最小值为______.
14.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，展现中国文化阴阳转化、对立统一的哲学理念.定义：图象能将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”，则下列命题正确的是______.
①函数可以同时是无数个圆的“太极函数”；
②函数可以是某个圆的“太极函数”；
③若函数是某个圆的“太极函数”，则函数的图象一定是中心对称图形；
④对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个.
15.若对任意，都有（其中为自然对数的底数）恒成立，则实数的最小值为______.
三、解答题（本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.（本小题14分）
已知函数，.
（1）求的值；
（2）求的单调递减区间及图象的对称轴方程.
17.（本小题15分）
中，角、、的对边分别为、、，且，
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
18.（本小题15分）
如图，矩形和梯形，，，平面平面，且，，过的平面交平面于.
（1）求证：；
（2）当为中点时，求点到平面的距离；
（3）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值.
19.（本小题15分）
已知数列的前项和为，且.
（1）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使得包括与在内的这个数成等差数列，其公差为，求数列的前项和.
20.（本小题16分）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，证明：.
2022~2023学年度天津七中第一学期高三期中考试 数学学科试卷
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵全集，集合，，
∴，∴.故选B.
由全集，集合，，先求出，再求.
本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题.
2.【答案】C
【解析】解：，∴
而，∴，即，因此，故选C.
根据，因此要比较，的大小，作差，通分，利用对数的运算性质，即可求得，的大小；利用对数函数的单调性，可知，然后利用不等式的可乘性，即可得出，的大小.
本题考查不等式比较大小，其中作差法是常用方法，以及对数的运算性质和对数函数的单调性的考查，熟练掌握基础知识是解题的关键，属中档题.
3.【答案】C
【解析】解：将函数的图象向右平移单位，
所得图象对应的函数的解析式为，
故所得函数的最小值为，故选：C.
利用诱导公式化简函数的解析式，再利用函数的图象变换规律求得的解析式，根据正弦函数的值域，得出结论.
本题主要考查诱导公式，函数的图象变换规律，正弦函数的值域，属于基础题.
4.【答案】D
【解析】
【分析】本题考查函数图象的识别，一般从函数的奇偶性，单调性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.
由函数的定义域可排除选项A，根据函数的奇偶性可判断为奇函数，排除B，再计算时，函数的零点个数，即可得解.
【解答】解：由函数解析式可得，不在定义域内，故无意义，排除选项A；
令，
∵，
∴为奇函数，故函数的图象关于原点对称，排除选项B；
当时，令，则或，即或，
所以，函数在上有两个零点，排除选项C.故选：D.
5.【答案】D
【解析】
【分析】本题考查频率分布直方图和平均数、中位数、众数的计算，属基础题.
逐项进行分析判断即可得到答案.
【解答】解：通过频率分布直方图可看到成绩在70分~80分的人的比重最大，所以人数也最多，所以A正确；
不及格的人数为人，所以B正确；
根据公式算出平均分为
，故C正确；
∵，故中位数在70~80之间，设为，则，解得，故中位数是71.67，故D错误；故选D.
6.【答案】A
【解析】解：设圆锥的度面半径为，母线长为，圆锥的高为，内切球的半径为，其轴截面如图所示，设为内切球的球心为，
因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，所以，得，即，
所以，所以，
因为，所以，所以，得，
所以圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为.故选：A.
设圆锥的度面半径为，母线长为，圆锥的高为，内切球的半径为，则由题意可得，从而可求得，作出轴截面，如图，利用与相似可求出，从而可求出圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比.
本题考查空间几何体的内切球问题，属中档题.
7.【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查椭圆的几何性质，属于中档题.
根据题意，可得，即可得解.
【解答】解：依题意，，，由为等腰三角形，
可得，过作轴，可知，
所以，，，因为，
所以所在直线方程可设为，所以，
可得：，故选A.
8.【答案】B
【解析】解：根据题意得：，，，
∴，，故A错误；，
当时，，故D错误；
∴
，
∵也满足上式，∴，
∴不构成等比数列，故C错误；
由上，，，∴，故B正确.故选：B.
根据已知条件写出，，的通项公式，且时，，应用累加法求出，由此能判断各命题的对错.
本题考查命题真假的判断，考查简单的归纳推理、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.
9.【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了函数的奇偶性，不等式恒成立问题，利用导数来研究函数的单调性，属于中档题.
依题意，易得，当时，恒有，可知，又，对函数进行求导，利用导数来研究该函数的单调性，进而得到，解得不等式，即可得出答案.
【解答】解：∵定义在上的偶函数，∴，
∵当时，恒有，∴，
∵，∴当时，，∴在上单调递减，
∵是偶函数，∴是偶函数，∴在上单调递增，
∵，∴，∴，即：，
解得：，故选A.
10.【答案】2
【解析】解：，即，故答案为：.
由复数模的运算，结合复数的运算求解即可.
本题考查了复数的模和复数的运算，属基础题.
11.【答案】8
【解析】解：由题得，所以，二项展开式的通项为，
令，∴.所以常数项为.故答案为：8
由题得，所以，再利用二项式展开式的通项求常数项得解.
本题主要考查二项式展开式的系数和问题，考查二项式展开式特定项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力，属中档题.
12.【答案】0.79
【解析】
【分析】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.
由甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，利用对立事件概率计算公式列出方程，由此能求出的最大值.
【解答】解：甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，，
∵甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，
∴，解得.∴的最大值是0.79.
13.【答案】
【解析】
【分析】本题考查了利用基本不等式求最值，属于中档题，难度一般.
根据所求式子凑出定值，然后利用基本不等式求解.
【解答】解：，
∵，∴，当且仅当时取等号，
，当且仅当时取等号，
联立解得
∴当时，，
即取得最小值.故答案为.
14.【答案】①④
【解析】解：对于①，以的零点为圆心，半径小于的圆，
周长和面积都被平分，故①正确；
对于②，由为偶函数，如图所示：
由于其图像向上凸起，故而不可能平分圆的周长，故②错误；
对于③，取圆，被函数平分周长和面积，而非对称，故③错误；
对于④，对于任意一个圆，过圆心的直线平分周长和面积，故④正确；故答案为：①④
根据所给定义，对各项逐个分析判断，即可得解.
本题考查了三角函数，对数函数的图像和性质，考查了在分段函数的图像和性质.
15.【答案】
【解析】
【分析】本题考查了导数的综合应用，不等式恒成立问题的求解，属于难题.
将不等式进行等价转化为对任意恒成立，构造函数，则不等式转化为对任意恒成立，利用导数确定函数的单调性，从而转化为对任意恒成立，构造，利用导数研究函数的单调性，求解的最大值，即可得到的取值范围，从而得到答案.
【解答】解：∵对任意，
等价于，
令，则，
易得函数在上单调递增，
∵等价于，∴，
则，即，令，则，
易得函数在上单调递增，在上单调递减，
∴，∴，∴实数的最小值为.故答案为：.
16.【答案】解：（Ⅰ）因为；
∴；
（Ⅱ）令，得，
即函数的单调递减区间是.
令，得，
即为函数图象的对称轴方程.
【解析】本题结合三角恒等变换考查正弦型函数的对称轴与单调区间的求法，属于基础题.
（Ⅰ）通过三角恒等变换，将原函数解析式变形为正弦型函数，进而求解.
（Ⅱ）借助正弦函数的对称轴与单调区间求解.
17.【答案】解：（1）在中，，
由，得，
由正弦定理得，即，
由余弦定理得，∵，∴；
（2）在中，∵，
∴，，
∵，由正弦定理得，
又，
∴的面积.
【解析】本题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键.
（1）在中，由题意得，利用正弦定理化简得到，再由余弦定理得，根据的范围即可确定的值；
（2）根据，得到，，由正弦定理得到的值，再根据两角和的正弦公式得到的值，进而利用三角形的面积公式即可求出面积.
18.【答案】（Ⅰ）证明：因为矩形，所以，
平面，平面，所以平面.
因为过的平面交平面于，由线面平行性质定理，得；
（Ⅱ）解：由平面平面其交线为，平面，所以平面，
又四边形为矩形，所以以为原点，以、、为，，轴建立空间直角坐标系.
由，，得，，，，，
则，，
设平面法向量，则，取得.
因为，所以点到平面的距离；
（Ⅲ）解：设，因为，即，
则，，
设平面法向量，则，
取得记平面与平面的夹角为，
因为平面，所以，
解得或2（舍去）.即.
【解析】（Ⅰ）先证明线面平行，再由线面平行的性质定理可证；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，用向量法求解；
（Ⅲ）利用比值设点坐标，然后用向量法可得.
本题主要考查点面距离的求解，空间向量及其应用，直线与直线平行的证明等知识，属于中等题.
19.【答案】解：（1）数列的前项和为，且①，
当时，，解得，当时，②，
①-②得：，整理得，
故数列是以6为首项，2为公比的等比数列，则，
当时，上式也成立，所以，.
（2）在与之间插入个数，故，所以，
所以①，
所以②，
①-②得：
，整理得.
【解析】本题考查了数列的递推关系，数列的通项公式的求法，错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于较难题.
（1）利用数列的递推关系式得到时，，即，结合等比数列的通项公式可得求出数列的通项公式；
（2）根据等差数列的通项公式求出，利用错位相减法在数列求和中的应用求出数列的和.
20.【答案】解：（1）的定义域为，.
①时，；②时，由，得；
由，得，所以当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1），可知，在上单调递减，在上单调递增，
不妨设，先证.设，
则，所以在上单调递减.
因为，所以，所以.
又，，由（1）得，即，得证.
再证，由（1）知，是唯一极小值点，所以.
因为，所以，即，所以，
要证，即证，又，，在上单调递增，
所以只要证，即证.
因为，所以，所以，
所以即证.
设，则.
设则，
所以在上单调递减，所以，
所以，所以在上单调递减，
所以，即，
所以，得证.所以.
【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性及单调性的应用。属于较难题.
（1）求得，对分类讨论：及，结合导数的正负，即可判断函数的单调性；
（2）设，先证，构造函数，结合及的单调性即可证明；再证，由（1），将问题转化为证，结合的单调性，转化为证，设，结合的单调性即可证明.