高中数学人教A版（2019）必修第一册5.7 三角函数的应用（教学课件）-湖北省广水市实验高级中学(共18张PPT)

(共18张PPT)
5.7 三角函数的应用
情境引入
周期现象——是自然界中常见的现象之一
　　现实生活中有很多现象在进行周而复始地变化，用数学语言可以说这些现象具有周期性，而我们所学的三角函数就是刻画周期变化的典型函数模型，比如下列现象就可以用正弦型函数模型来研究，这节课我们就来探讨三角函数模型的简单应用.
正弦型函数
y=Asin(ωx+φ)
情境引入
3.心理、生理现象
4.日常生活现象
①简谐运动
②星体的环绕运动
①气温变化规律
②月圆与月缺
①情绪的波动
②智力变化状况
③体力变化状况
①涨潮与退潮
②股票变化
…………
2.地理情景
1.物理情景
T 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60
y －20.0 －17.8 －10.1 0.1 10.3 17.7 20.0 17.7 10.3 0.1 －10.1 －17.8 －20.0
问题1 某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间t (单位s)与位移y (单位mm)之间的对应数据如表所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式．
问题探究
根据散点图(如图)，分析得出位移y随时间t的变化规律可以用y＝Asin(ωx＋φ)这个函数模型进行刻画．
问题1 画出散点图并观察，位移y随时间t的变化规律可以用怎样的函数模型进行刻画？
新知探究
问题2 由数据表和散点图，你能说出振子振动时位移的最大值A，周期T，初始状态(t＝0)时的位移吗？根据这些值，你能求出函数的解析式吗？
A＝20，T＝0.6 s，初始状态的位移为－20 mm．
函数的解析式为
例1　某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间t (单位s)与位移y (单位mm)之间的对应数据如表所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式．
问题探究
可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0,+∞)表示，其中A>0， ω >0．描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：
归纳总结
现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动．
在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．
A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；
ωx＋φ称为相位；x=0时的相位φ称为初相.
这个简谐运动的周期是 ，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；
这个简谐运动的频率由公式 给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；
C
小试牛刀
[错因分析]注意满足定义中的前提条件是“A>0，ω>0”，若不满足，则必须先利用诱导公式转换为“A>0，ω>0”再求．
问题2 图(1)是某次实验测得的交变电流i(单位:A)随时间t(单位:s)变化的图象.将测得的图象放大，得到图(2).
(1) 是某求电流 i 随时间 t 变化的函数解析式；
(1)
(2)
(2) 当 时，求电流 i.
问题探究
解：(1)由交变电流的产生原理可知，电流 i 随时间 t 的变化规律可用i=Asin(ωt+φ)来刻画，其中 表示频率，A表示振幅，φ表示初相.
由图(2)可知，电流最大值为5A，因此A=5；
电流变化的周期为 s，频率为50Hz，即 ，解得ω=100π；
再由初始状态(t=0)的电流为4.33A，可得sin φ=0.866，因此φ约为 .
所以电流随时间变化的函数解析式是
(2)
问题探究
(2)
（1）求这一天6～14时的最大温差；
（2）写出这段曲线的函数解析式．
例1 如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数
典例分析
（2）从图中可以看出，从6时到14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象，所以
因为点(6,10)是五点法作图中的第四点，故
故所求函数解析式为
解：（1）观察图象可知，这段时间的最大温差是20 C。
若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)+b，则在观察图象的基础上可按以下规律来确定A，ω，φ，b.
（1）A：图象上的最高点和最低点的距离的一半，即
（3）ω：因为 ，故往往通过求周期T来确定ω.可通过已知曲线与x轴的交点来确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为 ；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.
归纳总结
（2）b：图象上的最高点和最低点的中点的纵坐标，即
由图象确立三角函数的解析式的方法
（4）φ：从“五点法”中的最高点 作为突破口，即 ；或从“五点法”中的第一个点 (也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个点的位置．
归纳总结
由图象确立三角函数的解析式的方法
①“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为 ；
②“第二点”(即图象曲线的“峰点”)为 ；
③“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为 ；
④“第四点”(即图象曲线的“谷点”)为 ；
⑤“第五点”(即图象第二次上升时与x轴的交点)为 .
在用以上方法确定φ的值时，还要注意题目中给出的φ的范围，不在要求范围内的要通过周期性转化到要求范围内．
依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系如下：
应用知识
B
D
题型一　由图象确定函数的解析式
例 3
典例分析
A
巩固练习
题型二　函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用
例2 设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(-π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线 x＝ .
(1)求φ；(2)求函数y＝f(x)的单调区间及最值；
(3)画出函数y＝f(x)在区间[0,π]上的图象．
典例分析
题型二　函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用
典例分析
例2 设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(-π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线 x＝ .
(1)求φ；(2)求函数y＝f(x)的单调区间及最值；
(3)画出函数y＝f(x)在区间[0,π]上的图象．
故函数y＝f(x)在区间[0,π]上的图象如右图所示.
解：(3)由y＝sin(2x－ )知，
典例分析
题型二　函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用
例2 设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(-π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线 x＝ .
(1)求φ；(2)求函数y＝f(x)的单调区间及最值；
(3)画出函数y＝f(x)在区间[0,π]上的图象．