人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 2.1.1_直线的倾斜角与斜率课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
第二章 2.1.1直线的倾斜角与斜率
1.理解直线的斜率和倾斜角的概念；
2.理解直线倾斜角的惟一性及直线斜率的存在性；
3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率.
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
问题导学 　　　　新知探究 点点落实
知识点一　直线的倾斜角
思考1　在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条直1线呢？
答案　不能.
思考2　在平面直角坐标系中，过定点P的四条直线
如图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同？
答案　不同.
1.倾斜角的定义
(1)当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴 与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
2.倾斜角的范围
直线的倾斜角α的取值范围为 .
3.确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个 以及它的 .
正向
0°≤α<180°
定点
倾斜角
知识点二　直线的斜率与倾斜角的关系
思考1　在日常生活中，我们常用“ ” 表示“坡度”，图(1)(2)中的坡度相同吗？
前进量
升高量
答案　不同，因为≠
思考2　思考1中图的“坡度”与角α，β存在等量关系吗？
答案　存在，图(1)中，坡度＝tan α，
图(2)中，坡度＝tan β.
1.直线的斜率
把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝ .
2.斜率与倾斜角的对应关系
正切值
tan α
图示
倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0
知识点三　过两点的直线的斜率公式
直线过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k＝(x1≠x2).
题型探究 　　　　
类型一　直线的倾斜角
例1　设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l1，则直线l1的倾斜角为(　　)
A.α＋40°
B.α－140°
C.140°－α
D.当0°≤α<140°时为α＋40°，当140°≤α<180°时为α－140°
解析 根据题意，画出图形，如图所示：
因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意.
通过画图(如图所示)可知：
当0°≤α<140°时，l1的倾斜角为α＋40°；
当140°≤α<180°时，l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故选D.
答案　D
反思与感悟
(1)解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答.
(2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.
跟踪训练1　已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为___________.
解析 有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.
②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.
60°或120°
类型二　直线的斜率
例2 直线l1，l2，l3都经过点P(3,2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3,2)，计算直线l1，l2，l3的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
解 设k1，k2，k3分别表示直线l1，l2，l3的斜率.
由于Q1，Q2，Q3的横坐标与P点的横坐标均不相等，
所以k1 ＝ ＝ ， k2 ＝ ＝－4 ，k3＝ ＝0.
由k1>0知，直线l1的倾斜角为锐角；
由k2<0知，直线l2的倾斜角为钝角；
由k3＝0知，直线l3的倾斜角为0°.
反思与感悟
应用斜率公式时应先判定两定点的横坐标是否相等，若相等，直线垂直于x轴，斜率不存在；若不相等，再代入斜率公式求解.
跟踪训练2　(1)若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m＝___.
解析 tan 45°＝，得m＝2.
2
(2)经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是_________ (其中m≥1).
解析 当m＝1时，直线与x轴垂直，
此时斜率不存在，倾斜角为90°.
当m>1时，直线的斜率为k＝＝ ＝
因为m>1，所以k>0，
故直线的倾斜角的取值范围为0°<α<90°.
综上可知：
直线的倾斜角α的取值范围是0°<α≤90°.
0°<α≤90°
类型三　斜率与倾斜角的综合应用
例3 (1)已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2 , 5)，P3(3,1)是此直线上的三点，求x2，y1的值；
解 ∵α＝45°，
∴直线l的斜率k＝tan 45°＝1，
∵P1，P2，P3都在直线l上，
∴k ＝k ＝k，
∴ ＝ ＝1 ，
解得x2＝7，y1＝0.
(2)已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2).若点D在线段BC上(包括端点)移动，求直线AD的斜率的变化范围.
解 如图所示：
当点D由B运动到C时，
直线AD的斜率由kAB增大到kAC，
所以直线AD的斜率的变化范围是 .
反思与感悟
(1)用斜率公式可解决三点共线问题
(2)斜率与倾斜角的关系如图：
跟踪训练3　(1)已知A(1,1)，B(3,5)，C(a,7)，D(－1，b)四点在同一条直线上，求直线的斜率k及a，b的值.
解 由题意可知kAB＝＝2，kAC＝＝ ，kAD＝＝.
因为A，B，C，D四点在同一条直线上，
所以k＝2＝ ＝ ，
解得a＝4，b＝－3，
所以直线的斜率k＝2，a＝4，b＝－3.
(2)已知直线l过点P(1,1)且与线段MN相交，其中M(2，－3)，N(－3，－2)，求直线l的斜率k的取值范围.
解 如图所示，直线l绕着点P在直线PM与PN间旋转，l′是过P点且与x轴垂直的直线.
当l在PN位置转到l′位置时，
当l在l′位置转到PM位置时，
倾斜角大于90°，k≤kPM＝－4.
1
2
3
达标检测 　　　　
4
1.对于下列命题：
①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；
②若k是直线的斜率，则k∈R；
③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；
④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角.
其中正确命题的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析　①②③正确.
C
1
2
3
4
2.m，n，p是两两不相等的实数，则点A(m＋n，p)，B(n＋p，m)，C(p＋m，n)必(　　)
A.在同一条直线上 B.是直角三角形的顶点
C.是等腰三角形的顶点 D.是等边三角形的顶点
解析　
∴A，B，C三点共线.
A
1
2
3
4
3.已知A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直线AC的斜率是直线BC的斜率的3倍，则m的值为____.
解析 由题意知，kAC＝3kBC，
4
1
2
3
4
4.求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.
(1)(1,1)，(2,4)；
解
所以倾斜角是锐角；
所以倾斜角是钝角；
(2)(－3,5)，(0,2)；
解
1
2
3
4
(3)(2,3)，(2,5)；
(4)(3，－2)，(6，－2).
解 由x1＝x2＝2得：k不存在，倾斜角是90°；
所以倾斜角为0°.
解
直线情况 平行于x轴 垂直于x轴 0
α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
k的范围 0 k>0 不存在 k<0
k的增减情况 k随α的增大而增大 k随α的增大而增大
规律与方法
直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：