人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 《倾斜角与斜率》名师课件(共37张PPT)

(共37张PPT)
直线—最简单的几何图形飞逝的流星沿不同的方向运动在空中形成美丽的直线复习引入人教A版同步教材名师课件
倾斜角与斜率
学习目标
学 习 目 标 核心素养
理解直线的倾斜角 数学抽象
理解直线的斜率 数学抽象
数学运算
学习目标
学习目标：
1.理解直线的斜率和倾斜角的概念.
2.理解直线的方向向量和向量坐标表示.
3.了解斜率公式的推导过程,会应用斜率公式求直线的斜率.
学科核心素养：
1.通过倾斜角概念的学习,提升直观想象的数学素养.
2.通过斜率和直线方向向量的学习,培养逻辑推理和数学运算的数学素养.
O
y
x
思考一、直线的倾斜角
1.确定直线的条件
(1)过一点能确定多少条直线
(2)这些直线有怎样的区别
(3)怎样准确的表示它们的区别呢
2.直线倾斜角的定义
直线与x轴相交时,直线向上的方向与x轴正方向所成的角叫做这条直线的倾斜角.
l
P
探究新知
练习.下列四图中,表示直线的倾斜角的是( )
A
B
C
D
A
思考练习
规定：当直线和x轴平行或重合时,它的倾斜角为0°
0°≤<180°
3.直线倾斜角的范围
探究新知
x
P
y
O
P
x
y
O
o
x
P
y
O
o
x
P
y
O
想一想：
哪条路上去得容易呢
A
B
思考二、直线的斜率
探究新知
日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量
前进量
升
高
量
问题:
探究新知
探究新知
对于问题(1),如图,向量,且直线的倾斜角为.由正切函数的定义,有
在平面直角坐标系中,设直线的倾斜角为.
(1)已知直线经过与的坐标有什么关系
(2)类似地,如果直线经过(-1,1), ( ,0),与,的坐标又有什么关系
(3)一般地,如果直线经过两点( , ), , , ≠,那么与,的坐标有怎样的关系
思考
探究新知
在平面直角坐标系中,设直线的倾斜角为.
(1)已知直线经过与的坐标有什么关系
(2)类似地,如果直线经过(-1,1), ( ,0),与,的坐标又有什么关系
(3)一般地,如果直线经过两点( , ), , , ≠,那么与,的坐标有怎样的关系
思考
对于问题(2),如图,向量平移向量到,则点P的坐标为,且直线的倾斜角为.由正切函数的定义,有
探究新知
在平面直角坐标系中,设直线的倾斜角为.
(1)已知直线经过与的坐标有什么关系
(2)类似地,如果直线经过(-1,1), ( ,0),与,的坐标又有什么关系
(3)一般地,如果直线经过两点( , ), , , ≠,那么与,的坐标有怎样的关系
思考
一般地,如图,当向量的方向向上时,.平移向量到,则点P的坐标为,且直线的倾斜角为.由正切函数的定义,有
探究新知
在平面直角坐标系中,设直线的倾斜角为.
(1)已知直线经过与的坐标有什么关系
(2)类似地,如果直线经过(-1,1), ( ,0),与,的坐标又有什么关系
(3)一般地,如果直线经过两点( , ), , , ≠,那么与,的坐标有怎样的关系
思考
同理,当向量的方向向上时,也有
定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切
叫做这条直线的斜率.斜率通常用表示,即:
直线的斜率
倾斜角是90 °的直线没有斜率.
探究新知
直线的倾斜角为120°,则斜率为：
例如：直线的倾斜角为45°,则斜率为：
斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0
探究新知
探究新知
我们知道,直线上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量.直线的方向向量的坐标为.当直线与轴不垂直时,≠.此时向量也是直线的方向向量,且它的坐标为即=,其中是直线的斜率.因此,若直线的斜率为它的一个方向向量的坐标为,则.
例1、(1)若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角,则直线l的倾斜角为(　 )
A.30°　　 B.60° C.30°或150° D.60°或120°
(2)下列说法中,正确的是(　　)
A.直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为tan α
B.直线的斜率为tan α,则此直线的倾斜角为α
C.若直线的倾斜角为α,则sin α＞0
D.任意直线都有倾斜角α,且α≠90°时,斜率为tan α
典例讲解
D
D
例2、如图已知求直线的斜率,并判断这些直线的倾斜角是什么角
∵直线AB的斜率
∵直线BC的斜率
∵直线CA的斜率
∴直线CA的倾斜角为锐角.
∴直线BC的倾斜角为钝角.
∴直线AB的倾斜角为零度角.
y
x
o
.
.
.
.
.
.
.
.
.
A
B
C
.
典例讲解
解析
求直线的倾斜角的方法及两点注意
(1)方法：结合图形,利用特殊三角形(如直角三角形)求角.
(2)两点注意：
当直线与x轴平行或重合时,倾斜角为0°;当直线与x轴垂直时,倾斜角为90°.
注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.
方法归纳
1.直线l经过第二、四象限,则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　)
A.0°≤α＜90°　 B.90°≤α＜180° C.90°＜α＜180° D.0°≤α＜180°
2.设直线l过原点,其倾斜角为α,将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°,得到直线l1,则直线l1的倾斜角为(　　)
A.α＋45° B.α-135°
C.135°-α D.当0°≤α＜135°时为α＋45°,当135°≤α＜180°时为α-135°
变式训练
C
D
典例讲解
例2、(1)若三点A(2,－3)、B(4,3)、C(5,k)在同一条直线上,则实数k＝______.
(2)已知A(3,3),B(－4,2),C(0,－2).
①求直线AB和AC的斜率；
②若点D在线段BC上(包括端点)移动时,求直线AD的斜率的变化范围.
由直线上两点的斜率公式得.
又因为所以解得
解析
①由斜率公式可得：
直线的斜率直线的斜率
典例讲解
例2、(1)若三点A(2,－3)、B(4,3)、C(5,k)在同一条直线上,则实数k＝______.
(2)已知A(3,3),B(－4,2),C(0,－2).
①求直线AB和AC的斜率；
②若点D在线段BC上(包括端点)移动时,求直线AD的斜率的变化范围.
解析
②如图,当点由B运动到时,直线AD的斜率由增大到,所以直线AD的斜率的变化范围是
方法归纳
求直线的斜率的途径有两个:一是利用斜率公式;二是利用倾斜角.我们必须熟练掌握这两种形式
应用两点斜率公式时,两点的横坐标不能相等.否则直线斜率不存在,造成错解.
若均在斜率存在的直线上,那么任意两点的坐标都可表示直线的斜率即
(4)用斜率公式可解决三点共线问题
(5)斜率与倾斜角的关系如图：
方法归纳
3.(1)如图,已知直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则 (　　)
A.k1(2)经过两点A(m,2),B(-m,2m-1)的直线的倾斜角为45°.若点C(m＋1,n)在直线AB上,求m、n的值.
D
变式训练
(2),解得.所以.
又三点共线，所以.
所以.即的值分别为和 .
解析
典例讲解
例3、(1) 已知点直线过点且与线段相交,则直线的斜率的取值范围是( )
A. B. C. D.
(2) 已知实数满足试求的大值和最小值.
A
(1) 如图所示,过作直线⊥轴交线段于点.作出直线
①直线与线段的交点在线段(除去点)上时,直线的倾斜角为钝角,斜率的范
围是
②直线与线段的交点在线段(除去点)上时,直线的倾斜角为锐角,斜率的范
围是
因为
所以直线的斜率的取值范围是.
解析
典例讲解
例3、(1) 已知点直线过点且与线段相交,则直线的斜率的取值范围是( )
A. B. C. D.
(2) 已知实数满足试求的大值和最小值.
A
解析
(2)由的几何意义和已知条件,可知它表示经过定点与曲线上任
意一点的直线的斜率如图所示,
由已知可得所以
所以,故的最大值为,最小值为.
方法归纳
(1) 数形结合是解决数学问题常用的思想方法,求解直线斜率问题也常用数形结合的方法.当直线绕定点由与轴平行(或重合)位置按逆时针方向旋转到与轴垂直时，斜率由逐渐增大到(即斜率不存在)；按顺时针方向旋转到与轴垂直时,斜率由0逐渐减小至(即斜率不存在).
(2) 处理代数式的最大(小)值间题时,一般利用斜率的意义,将其转化为几何问题求解,即将看成是动点与点连线的斜率.
变式训练
4.(1)直线经过两点,那么直线的倾斜角α的取值范围是( )
(2) 已知实数满足且求的最大值和最小值
解析
(1) 直线的斜率为,又直线的倾斜角为,则有即或，所以或.
B
(2) 如图所示，由于点满足关系式,且,可知点在线段上移动，并且两点的坐标可分别求得为,
由于的几何意义是直线OP的斜率,由图可知,
且, ,故的最大值为,最小值为.
1.倾斜角是一个几何概念,它直观地描述并表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度.
素养提炼
2.直线的斜率k和倾斜角α都反映了直线的倾斜程度,二者紧密相连,如下表：
素养提炼
素养提炼
3.运用两点求直线斜率应注意的问题
斜率公式与,两点的位置无关,而与两点横、纵坐标之差的顺序有关(即 中与对应, 与对应).
运用斜率公式的前提条件是也就是直线不与轴垂直,而当直线与轴垂直时,直线的倾斜角为,斜率不存在.
当堂练习
1.直线的倾斜角是( )
D.90°
C
直线的斜率为该直线的倾斜角是.
解析
2.若两直线的倾斜角分别为,则下列四个命题中正确的是( )
.若,则两直线的斜率：
.若,则两直线的斜率：
.若两直线的斜率：,则
.若两直线的斜率： ,则
选项中,因为当倾斜角为度,则可知斜率不存在.故错误.选项中,如果两个倾斜角中有一个为90度,也不能满足斜率相等,故错误.选项中,利用斜率的大小关系,进而得到倾斜角的不等关系,当时,倾斜角为钝角, ,倾斜角为锐角,那么命题不成立.故错误.选项中,只要斜率相等,则必有倾斜角相等.故选项成立,答案为.
解析
当堂练习
3.过点的直线的斜率等于,则的值为 ( )
. . .
由题意得,且,解得.
解析
A
4.已知直线过点,,则直线的斜率为( )
因为直线过点,,所以由过两点的直线斜率的计算公式，得直线的斜率
解析
C
5.若直线的一个方向向量为,则直线的斜率=______.
6.若直线的方程为:,则其倾斜角为______.
当堂练习
7.已知直线经过两点,,当取何值时,满足：
(1)直线与轴平行 (2)直线与轴平行 (3)直线的斜率为
(4)直线的倾斜角为45° (5)直线的倾斜角为钝角
(1)若直线与轴平行,则直线的斜率=0,.
(2)若直线与轴平行,则直线的斜率不存在, .
(3)当直线的斜率存在时,则,, .
(4)由题意,可知直线的斜率=1,即,解得.
(5)由题意,可知直线的斜率<0,即解得或.
解析
1. 倾斜角的定义.　
2. 斜率的定义及计算公式.
3. 理解倾斜角和斜率的概念,并能解决与之相关的计算问题.　
归纳小结
P57 习题2.1：1、2、3
作 业