人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 《直线的倾斜角斜率方程交点坐标与距离公式课时1》教学设计

《直线的倾斜角斜率方程交点坐标与距离公式》教学设计
课时1直线的倾斜角与斜率
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
直线的倾斜角与斜率 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理 【考查内容】 1.掌握确定直线位置的几何要素. 2.掌握直线方程的三种形式. 3.通过直线的方程研究两条直线的位置关系,交点坐标和点到直线的距离公式. 【考查题型】 填空题,选择题,与其余章节知识结合的解答题
直线的方程 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理 数学建模
直线的交点坐标与距离公式 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理
一、本节内容分析
直线与方程作为高中平面解析几何的第一章,既是对初中所学“一次函数”的延展,又是后续学习“圆与方程,圆锥曲线与方程”的基石,它起着承上启下的作用.在用有序实数对表示点之后,直线作为平面中最简单的图形,它的坐标化既是自然延续,又是圆与圆锥曲线坐标化的前提,这体现了教材编排的系统性,以及由易到难,由浅入深的编排特点.而坐标法作为连接“形”与“数”的桥梁,集中地体现了数形结合的数学思想,这种思想贯穿全章乃至平面解析几何始末.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.直线的倾斜角与斜率 2.直线的方程 3.直线的交点坐标与距离公式 直观想象 数学抽象 逻辑推理 数学运算 数学建模 核心素养
二、学情整体分析
从认知水平和能力方面,高中二年级学生具有较强的观察、分析、概括能力,有着较丰富的学习经验及活动经验,形成了自发的参与意识和合作意识,可以很好地理解直线的倾斜角、斜率、直线的方程、直线平行与垂直、两条直线的交点及距离公式等知识.从学生特点方面,学生基础知识较扎实,具有一定的独立思考能力和反思总结能力,但对数学思想方法的体会和感悟还有待进一步加强.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.直线的倾斜角与斜率
2.两条直线平行和垂直的判定
3.直线的点斜式方程
4.直线的两点式方程
5.直线的一般式方程
6.两条直线的交点坐标
7.两点间的距离公式
8.点到直线的距离公式
9.两条平行线间的距离
【教学目标设计】
1.通过“回顾与梳理”使学生理解倾斜角等基本概念,掌握距离公式等主要知识;
2.通过知识的再现与延展使学生理解知识间的内在联系,形成系统的知识结构;
3.学生体会数形结合思想,初步形成主动在“数”与“形”之间进行转化的意识.
【教学策略设计】
根据高二学生易于控制自身注意力,乐于合作探究,勤于思考与发现的认知特点,本节课采用自主发现与合作探究的教学方法.教学中,通过回顾与梳理,多次让学生经历“独立思考—师生交流—归纳提升”的学习过程,教师在学生独立完成的基础上对基础知识和基本技能进行归纳、联系、提升,对易错、易混知识通过问题驱动的方式进行辨析梳理,让学生牢固理解掌握本节主要内容,形成系统的知识体系,并在教师的引导下体会数形结合的过程.为了突破难点,本课设计了探究与发现环节,设置了“独立思考—小组合作—交流分享”的学习过程,通过该环节,让学生体会代数问题几何化和几何问题代数化带来的美感,感受数形结合思想和化归的数学思想.整个过程中,让学生始终专注于问题解决中,处于积极思考和合作探究的积极状态中,建构自己的知识和思维体系.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式.
3.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
4.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）,体会斜截式与一次函数的关系.
5.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
6.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.
难点:
体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导中的作用.
【教学材料准备】
1.常规材料:直尺、多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:如果只知道直线过一个已知点,那么这样的直线有多少条 若要确定其中的一条直线,还需添加什么条件
生:过一个已知点的直线有无数条.若要确定其中的一条直线,还需添加另外一个点.
师:初中时我们知道确定一条直线的方法:两点确定一条直线.我们知道一次函数的图象在直角坐标系中画出来就是一条直线,那么在直角坐标系中除了两点确定一条直线外还有其他的方法吗 这就是我们本节课研究的主要内容.
【设计意图】
由熟悉的问题引入,激发学生的学习兴趣.由初中学过的实例,让学生自己探索,解决问题,引出课题.
教学精讲
探究1 直线的倾斜角
【情境设置】
直线的确定
在平面直角坐标系中过一点P能确定无数条直线,通过我们动手画出来的很多条直线,观察并思考这些直线有什么共同点和不同点呢
【教师提问,学生动手画直角坐标系并过点P作图,观察并思考】
【先学后教】
从学生实际出发,由熟悉的几何问题开始,在老师的启发下引导学生动手画出很多条直线,提出问题深入探讨,培养学生解决问题的能力.
生:如图,过点P在直角坐标系中可以作出无数条直线.
这些直线的主要的共同点是都过点P,不同点是这些直线与x轴的倾斜程度不同.
师:过点P与x轴形成45°角的直线有几条
【学生可能答一条或两条,投影演示结果】
生:
师:如何区分清楚这两条直线呢
生:需要确定方向.
【情境学习】
学生在熟悉的问题情境中,逐步探究实践,最后探索出新的知识,使学生自然地理解和接受.
【教师引导学生选取不同的方向来描述角,并区分与】
师:选择哪个角来描述直线的倾斜程度,就能保证坐标系下的任何一条直线都有唯一的角与它对应呢 由此可以引入直线的倾斜角的概念来描述直线的倾斜程度.
【要点知识】
直线的倾斜角
当直线与轴相交时,我们以轴为基准,轴正方向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.
师:如图,为直线的倾斜角:
生:直线的倾斜角分别为锐角、直角、钝角、角.
【简单问题解决能力】
通过倾斜角概念的学习,能够标出图形中的倾斜角.提升学生对概念的理解和认知,同时也能找出学生理解上的误区,提高学生的简单问题解决能力.
【要点知识】
直线倾斜角的取值范围
直线的倾斜角的取值范围为.
规定:当直线与轴平行或重合时,规定直线的倾斜角为.
师:通过前面的分析,我们发现所有直线都有唯一确定的倾斜角,倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度.倾斜程度相同的直线,其倾斜角相等;倾斜程度不同的直线,其倾斜角不相等.
【概括理解能力】
通过对常见问题的解决和总结,探索概括出倾斜角的范围,培养学生的概括理解能力.
探究2 直线的斜率
【情景设置】
斜率与坡度
日常生活中我们描述人走的快慢、汽车行驶的快慢都是用速率来表示的,也就是用路程与时间的比来表示的,我们又如何刻画山坡的坡面的倾斜程度呢
【学生思考,合作交流,回答问题,教师予以肯定】
师:如图,一个山坡的坡度可近似看作一个直角三角形.
如果我们以前进量所在的直线为轴,点为原点建立平面直角坐标系,就是直线的倾斜角,也就是说我们可以用倾斜角的正切值来刻画直线的倾斜程度.
师:坡度(比).
即坡度就是倾斜角的正切值,这个正切值我们称为直线的斜率,因此我们引入直线的斜率的概念.
【以学定教】
通过教学,使学生从生活中的坡度,自然迁移到数学中直线的斜率,定义了一个从“形”的角度用倾斜角刻画平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度.让学生感受数学概念来源于生活实际,数学概念的形成是自然的,从而渗透辩证唯物主义思想.
【要点知识】
直线的斜率
我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.常用小写字母表示,即.
师:所有的直线都有倾斜角,但是所有的直线都有斜率吗
生:结合正切函数的定义域,我们可以清楚地知道不是所有的直线都有斜率,倾斜角为时没有斜率,因为的正切不存在.
师:当为钝角时,直线的斜率如何求 例如,当直线的倾斜角时,斜率,当时,我们知道,因此.根据倾斜角的范围,我们探究一下斜率的符号由倾斜角怎样确定
【深度学习】
让学生在教师引导下,积极探索,亲身经历概念的形成与发现过程,体验公式的运用过程,主动构建自己的认知结构.
生:当为锐角时,斜率;
当为钝角时,斜率;
当为直角时,不存在,所以斜率也就不存在;
当时,斜率.
师:反过来,
当直线的斜率时,直线的倾斜角为锐角;
当直线的斜率时,直线的倾斜角为钝角;
当直线的斜率时,直线的倾斜角为0度角;
当直线的斜率不存在时,直线的倾斜角为直角;
师:当在内变化时,斜率如何变化
【学生思考,合作交流,回答问题,教师予以肯定】
生:
【概括理解能力】
充分利用倾斜角和斜率是从形与数两方面,刻画直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实,渗透数形结合思想,同时提高学生的概括理解能力.
【要点知识】
斜率与倾斜角的对应关系
师:倾斜角与斜率都能刻画直线的倾斜程度,倾斜角能从形的角度刻画倾斜程度,而斜率是比值,实质是数值,它能从数的角度反映倾斜的程度,显然用斜率更细致入微些.
探究3 直线上两点的斜率公式
【情景设置】
已知两点求斜率
在平面直角坐标系中,已知直线上两点且,能否用的坐标来表示直线斜率
【学生探究各种图形并尝试推导,可以先特殊再一般,也可先一般再特殊地去分析.教师可适当引导其将斜坡截面图迁移到坐标系中,类似升高量、前进量,用点的坐标表示线段长,并请同学叙述各个图的推导过程与结果】
生:在坐标系中画两点及直线,设直线的倾斜角为,当直线方向向上时,过点作轴的平行线,过点作轴的平行线,两线交于点,则点为.
【发现创新能力】
类比坡度,结合直线的图形,引进倾斜角的正切值来刻画直线的倾斜程度,让学生体会数形结合和分类讨论的思想.
具体情况如下:
【情景设置】
两点在坐标系中的各种情形
【先学后教】
先解决直线上已知两点求斜率问题,经过分析推导掌握解决此类问题的方法,然后教师总结斜率的公式.
【师生合作探究,可让学生分组推导,选一位学生汇报实践结果】
生:(1)当为锐角时,,
在Rt中,;
(2)当为钝角时,(设),,
,
在Rt中,,
∴.
同理,当直线方向向上时,无论为锐角或钝角,也有,即.
【活动学习】
经历用代数方法刻画直线斜率的过程,初步掌握过已知两点的直线的斜率计算公式,渗透几何问题代数化的解析几何研究思想.
【要点知识】
直线的斜率公式
如果直线经过两点,则直线的斜率公式为
师:运用上述公式计算直线的斜率时,与两点的顺序有关吗
生:没有关系.
师:当直线平行于轴或与轴重合时,上述公式适用吗
生:当直线与轴平行或重合时,,所以.
生:当直线与轴平行或重合时,倾斜角,所以.
师:公式适用.
师:当直线平行于轴或与轴重合时,上述公式适用吗
生:当直线与轴平行或重合时,,所以不存在.
生:当直线与轴平行或重合时,倾斜角,因为的正切值不存在,所以不存在.
师:公式不适用.
【少教精教】
通过问题串,启发引导学生发现、总结出直线斜率公式的适用条件.
师:下面我们根据本节课知识巩固练习.
【巩固练习】
直线的斜率公式的应用
1.如图所示,已知,求直线,的斜率,并判断它们的倾斜角是锐角还是钝角.
2.(1)已知直线的倾斜角,求直线的斜率:
①;②;③;④.
(2)若直线过和两点,则直线的斜率为____________,倾斜角为___________.
(3)已知两点,并且直线的斜率为,则________.
【简单问题解决能力】
运用斜率公式,解决简单问题,在夯实基础的前提下,探索发现倾斜角与斜率的关系.
【学生独立作答,教师公布答案】
师解:1.直线的斜率;
直线的斜率;
直线的斜率.
由及可知,直线与的倾斜角均为锐角;由可知,直线的倾斜角为钝角.
2.(1)不存在;
(2)
(3)
师:同学们回顾一下,本节课都学习了哪些知识呢
【教师引导,学生回答,师生合作,共同总结本节知识点】
【课堂小结】
直线的倾斜角与斜率
【设计意图】
提炼本节课的主要内容,利于学生对本节所学知识的掌握.
教学评价
直线作为常见的简单几何图形,在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.直线的方程是解析几何的基础知识,对直线的方程的理解,直接影响学生能否培养起解析几何的思想方法,对后续研究的圆、直线与圆的位置关系、圆锥曲线及直线与圆锥曲线的位置关系等内容有着很重要的作用.本部分首先在平面直角坐标系中,介绍直线的倾斜角、斜率等概念;然后建立直线的方程:点斜式、斜截式、两点式、截距式等:通过直线的方程,研究直线间的位置关系:平行和垂直,以及两条直线的交点坐标、点到直线的距离公式等.
根据本部分的教学内容特点,为了更有效地突出重点、突破难点,按照学生的认知规律,遵循教师为主导,学生为主体,训练为主线的指导思想,在教师的指导下,分析、启发、诱导学生,创设数学学习情境,让学生自主回忆直线方程的不同形式、局限性以及其中所涉及的公式,使他们能积极主动地参与到数学学习活动中来.学生对本部分的知识体系有一个总体的把握,对几块知识的重点题型有一个良好的掌握,初步掌握用代数去研究几何问题这一新的思想方法.本部分知识之间内部联系非常大,在复习过程中难点比较容易突破,因此,采用自学加点拨的方式,培养学生学习和分析问题、解决问题的能力,在合作学习中培养学生的探究意识和数学思维.
【设计意图】
引导学生整理知识,使其体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,让学生在运用课程教学过程中所学到的学科能力（概括理解、简单问题解决、分析计算）解决问题,从而达到数学抽象、数学直观、数学运算、逻辑推理的核心素养目标要求.
应用所学知识,完成下面各题:
1.已知直线倾斜角的范围是,则此直线的斜率的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解析:根据直线的倾斜角和斜率的关系:,联系三角函数的正切函数图象可得.具体解题过程如下:
因为直线倾斜角的范围是,又直线的斜率.故或.
故.
答案:
【分析计算能力】
解决直线的倾斜角与斜率的计算问题,明确二者的关系后要尽量充分地利用三角函数中正切函数的图象的性质,利用几何法解题要比解析方法来得简捷.
2.已知直线与互相平行,则的值是________.
解析:本题考查两直线平行与系数的关系,考查学生的运算求解能力.两直线平行,则;两直线垂直,则.具体解题过程如下:
直线与互相平行,
∴,整理得,解得或5.
当时,直线,两直线平行;
当时,直线,两直线平行.
因此,或5.
答案:3或5
3.在平面直角坐标系中,已知的顶点.
(1)求边上的高所在直线的方程;
(2)求的面积.
解析:(1)根据斜率公式,结合两直线垂直时斜率之间的关系,用直线的点斜式方程进行求解即可;(2)利用点到直线距离公式和两点间距离公式,结合三角形面积公式进行求解即可.具体解题过程如下:
(1)由题意,,
因此边上的高所在直线的斜率为,
所以边上的高所在直线的方程为,即.
(2),
边所在直线方程为,即,
点到的距离,所以的面积.
【概括理解能力】
学生从具体问题中归纳总结出一般问题的解决方法,便于今后再遇到此类问题时能用通性、通法解决,提高学生的概括理解能力.
4.已知直线的倾斜角是直线的倾斜角的,且过点.
(1)求的方程;
(2)若直线与直线平行,且点到直线的距离为3,求直线的方程.
解析:本题考查直线方程和倾斜角的关系和直线的点斜式方程、点到直线的距离转化为两条平行线间的距离.具体解题过程如下:
(1)∵直线的方程为,
∴,倾斜角,
由题知所求直线的倾斜角为,即斜率为,
∵直线经过点,
∴所求直线的方程为,
即.
(2)∵直线与平行,可设直线的方程为,
∴,
即,
∴或,
∴所求直线的方程为或.
【简单问题解决能力】
通过习题及时进行总结,同时检查学生本节课的学习效果,主要是为了让学生查漏补缺,巩固提升.
【综合问题解决能力】
习题考查点到直线的距离公式,分类讨论斜率存在和不存在时分别求出直线方程,可以培养学生分类讨论的思想和化归与转化的思想.通过此练习,学生今后对易错点会更加注意.
5.已知直线过点.
(1)若原点到直线的距离为2,求直线的方程;
(2)当原点到直线的距离最大时,求直线的方程.
解析:本题考查求直线方程,讨论直线斜率存在和不存在两种情况;当原点到直线的距离最大时,直线.计算可得答案.具体解题过程如下:
(1)①当直线的斜率不存在时,方程符合题意;
②当直线的斜率存在时,设斜率为,则方程为,即.根据题意,得,解得,则直线的方程为.
故直线的方程为或.
(2)当原点到直线的距离最大时,直线.
因为,所以直线的斜率,
所以其方程为,即.
【以学定教】
本节首先探究确定直线位置的几何要素和它们在平面直角坐标系中的表示,建立直线的方程,然后通过方程,用代数方法研究有关的几何问题:判定两直线的位置关系、求两条直线的交点坐标、计算点到直线的距离等.代数方法研究直线问题的基本思路是在平面直角坐标系中建立直线的方程,通过方程,用代数方法解决几何问题,具备了一定的抽象概括、推理论证、运算求解和数据处理能力.
教学反思
高二学生具备探索精神,有了一定学科素养基础,对于直线以及方程的概念理解、概括有优势,对于建立坐标系、用代数方法研究几何问题,是初步接触,需要强化这一思想,培养数学建模的核心素养,为今后其他解析几何知识的学习打下基础.
【以学论教】
根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中的方法和策略的成功之处、不足之处及改进方法.
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