人教版数学八年级上册 14.2.1平方差公式 课件(共20张PPT)

(共20张PPT)
14.2.1　平方差公式
乘法公式
八年级上册 RJ
初中数学
知识回顾
1.单项式乘以多项式法则：
p(a+b+c)=pa+pb+pc (p，a，b，c都是单项式).
2.多项式乘以多项式法则：
(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq (a，b，p，q分别是单项式).
1.了解并掌握平方差公式.
2.理解平方差公式的推导过程，并会应用平方差公式进行计算.
学习目标
课堂导入
喜洋洋在计算980×1020时，觉得这道题的计算量很大，灰太狼得意的对喜洋洋说:“你把980×1 020变成形 (1 000-20)(1 000+20)不就简单多了吗？
“你知道灰太狼运用了什么知识吗？
计算下列多项式的积：
(1) (x+1)(x-1)=_________=_____；
(2) (m+2)(m-2)=_____________=_____；
(3) (2x+1)(2x-1)=_____________=______.
x·x-x+x-1
x2 -1
m·m-2m+2m-4
m2 -4
= m2 -22
2x·2x-2x+2x-1
4x2 -1
=(2x)2 -12
观察计算结果，你能发现什么规律？
=x2 -12
猜想：(a+b)(a-b)= .
a2 -b2
知识点 平方差公式
新知探究
如何证明这个等式呢？
(1) 用多项式乘法证明
(a+b)(a-b)=
a2
-ab
+ab
-b2
=a2-b2.
(2) 借助几何图形证明
图中有两个边长分别为a，b的正方形，两个正方形的面积之差可以表示为a2- b2.
b
a
(2) 借助几何图形证明
b
a
将图中右下方的长方形移动位置后，拼得一个长为(a+b)，宽为(a-b)的长方形，其面积为(a+b)(a-b).
a-b
b
(a+b)(a-b)=a2-b2.
平方差公式：
(a+b)(a-b)=a2-b2.
特点：(1) 等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
(2) 等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方.
两个数的和
两个数的差
积
平方差
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
例1 运用平方差公式计算：
(1) (3x+2)(3x-2)； (2) (-x+2y)(-x-2y) .
解：(1) (3x+2)(3x-2)
=(3x)2-22
=9x2-4.
(2) (-x+2y)(-x-2y)
=(-x)2-(2y)2
=x2-4y2 .
跟踪训练
新知探究
分析：(1) 3x相当于a，2相当于b.
(2) -x相当于a，2y相当于b.
例2 计算：
(1) (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)； (2) 102×98.
解：(1) (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)
=y2-22-(y2+4y-5)
=y2-4-y2-4y+5
=-4y+1；
(2) 102×98
=(100+2)(100-2)
=1002-22
=9 996.
只有符合公式条件的乘法，才能运用公式简化运算，其余的运算仍按乘法法则进行.
平方差公式的变化及应用
变化形式 应用举例
位置变化
符号变化
系数变化
指数变化
增项变化
连用公式变化
(b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b2
(-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b)2-a2=b2-a2
(3a+2b)(3a-2b)=(3a)2-(2b)2=9a2-4b2
(a2+b2)(a2-b2)=(a2)2-(b2)2=a4-b4
(a-b+c)(a-b-c)=(a-b)2-c2
(a+b)(a-b)(a2+b2)=(a2-b2)(a2+b2)=a4-b4
(1) 平方差公式的字母a，b可以是单项式，也可以是多项式，只要符合这个公式的结构特征就可以运用这个公式；
(2) 在运用公式时，要分清楚哪个相当于公式中的a，哪个相当于公式中的b，不要混淆.
1.（2020·郴州）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（　）
A. x2-2x+1=(x-1)2
B. x2-1=(x+1)(x-1)
C. x2+2x+1=(x+1)2
D. x2-x=x(x-1)
x2-1
(x+1)(x-1)
B
随堂练习
2.计算下列式子：
(1) (5m+3n)(5m-3n) ; (2) (-3y-4x)(3y-4x) ;
解：(1) (5m+3n)(5n-3n)
=(5m)2-(3n)2
=25m2-9n2 ;
(2) (-3y-4x)(3y-4x)
=[(-4x)+3y][(-4x)-3y]
=(-4x)2-(3y)2
=16x2-9y2 ;
(3) (-2a2+5b)(-2a2-5b)
=(-2a2)2-(5b)2
=4a2-25b2 ;
2.计算下列式子：
(3) (-2a2+5b)(-2a2-5b) ; (4) ( x+y)(- x+y) .

3.计算下列式子：
(1) 210×190 ; (2) 2 020×2 022-2 0212 .
解：(1) 210×190
=(200+10) (200-10)
=2002-102
=40 000-100
=39 900 ;
(2) 2 020×2 022-2 0212
=(2 021-1) (2 021+1)- 2 0192
=2 0212-1-2 0212
=-1.
平方差公式
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
(a+b)(a-b)=a2-b2
课堂小结
1.计算：(-3a+1) (-3a-1) (9a2+1).
解： (-3a+1) (-3a-1) (9a2+1)
= [(-3a)2-1][(3a)2+1]
=[(3a)2-1] [(3a)2+1]
=(3a)4-1
=81a4-1.
分析：观察可知，变形之后可连用两次平方差公式.
拓展提升
2.已知(a-b)2=3,(a+b)2=4,则ab= .
_________
解：因为 (a-b)2-(a+b)2
=(a-b+a+b) (a-b-a-b)
=2a· (-2b)
=-4ab，
而(a-b)2-(a+b)2=3-4=-1，
所以-4ab =-1，
所以ab= .

平方差公式的逆用