第四单元《一元二次方程》单元测试卷（标准难度）（含解析）

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青岛版初中数学九年级上册第四单元《一元二次方程》单元测试卷
考试范围：第四章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
下列命题：方程是一元二次方程；与方程是同解方程；方程与方程是同解方程；由可得或其中正确的命题有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
已知一元二次方程的两根分别为，，则方程的两根分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
用配方法解方程，将其化为的形式，正确的是( )
A. B. C. D.
用配方法解下列方程时，配方有错误的是( )
A. 化为
B. 化为
C. 化为
D. 化为
欧几里得的几何原本中记载了形如的方程根的图形解法：如图，画，使，，，以为圆心为半径画圆，交射线于点、，则该方程较大的根是( )
A. 的长度 B. 的长度 C. 的长度 D. 的长度
一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，且的面积为，则的值是( )
A. B. C. D.
方程的解为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. 且 D. 且
已知的小数部分是方程的一个根，则该方程另一根的整数部分是．( )
A. B. C. D.
关于的方程为常数根的情况，下列结论中正确的是( )
A. 有两个相异正根 B. 有两个相异负根
C. 有一个正根和一个负根 D. 无实数根
疫情期间居民为了减少外出时间，更愿意使用在线上购物，某购物今年二月份用户比一月份增加了，三月份用户比二月份增加了，则二、三两个月用户的平均每月增长率是( )
A. B. C. D.
某商场销售某种水果，第一次降价，第二次又降价，则这两次平均降价的百分比是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
若 是方程 的一个根，则 的值为 ．
一元二次方程的解为______．
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
如图，某生物兴趣小组要在长米、宽米的矩形园地种植蔬菜，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽小路，若蔬菜种植面积为平方米，则小路的宽为______米．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式有一根长的铁丝，怎样用它围成一个面积为的矩形？
根据下列问题，列出关于的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：
个完全相同的正方形的面积之和是，求正方形的边长；
一个矩形的长比宽多，面积是，求矩形的长；
把长为的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长．
已知方程组的解满足为非正数，为负数．
求的取值范围．
在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解为．
解下列方程：
；
．
如图所示，在中，于点，，，，求的长．
阅读下列材料并解决问题
【问题】解方程：；
【提示】可以用“换元法”解方程．
解：设，则原方程为，解得，舍去
所以，，．
【解决问题】
解方程．
关于的方程恰好有个不相等的实数根满足此方程，求的值．
已知关于的方程．
求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
若方程有一个根是，求的值以及方程的另一个根．
为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为元时，每天可售出个；若销售单价每降低元，每天可多售出个．已知每个电子产品的固定成本为元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利元？
年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得某县的一个电子器件厂扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑显卡，年该类电脑显卡的成本是元个，年与年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，年该电脑显卡的成本降低到元个．
若这两年此类电脑显卡成本下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率；
年某商场以高于成本价的价格购进若干个此类电脑显卡，以元个销售时，平均每天可销售个，为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低元，每天可多售出个，如果每天盈利元，单价应降低多少元？
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：方程当时才是一元二次方程，故错误；
与方程不是同解方程，故错误；
方程与方程不是同解方程，故错误；
由可得，故错误．
故其中正确的命题有个．
故选：．
利用方程、方程的解的有关定义进行判断后即可得到结论．
本题考查了命题与定理及一元二次方程的定义，解题的关键是了解有关的定义．
2.【答案】
【解析】解：一元二次方程的两根分别为，，
方程中或，
解得：或，
即方程的两根分别为和，
故选：．
本题考查了一元二次方程的解的意义，将看成整体根据已知方程的解得出或是解此题的关键．根据已知方程的解得出或，然后解这两个一元一次方程即可求出的值．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查解一元二次方程配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．把常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，把方程变化为左边是完全平方的形式．
【解答】
解：，
，
，
．
故选C．
4.【答案】
【解析】解：、，，，，故A选项正确．
B、，，，，故B选项错误．
C、，，，，，故C选项正确．
D、，，，，故D选项正确．
故选：．
配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．根据以上步骤进行变形即可．
此题考查了配方法解一元二次方程，选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了解一元二次方程，勾股定理，圆的相关知识，求出的长是解此题的关键．
先解一元二次方程，求出方程的解，再根据勾股定理求出长，求出长，再得出选项即可．
【解答】
解：，
，
较大的根为，
在中，，
，
的长是方程的较大的根，
故选D．
6.【答案】
【解析】解：在中，令，得，
，
在一次函数的图象上，
，即，
，
的面积为，，
，即，
解得或舍去，
，
故选：．
由已知得，而在一次函数的图象上，可得，即，根据的面积为，可列方程，即可解得．
本题考查反比例函数与一次函数的应用，解题的关键是根据的面积为列方程．
7.【答案】
【解析】解：原方程可变形为：
即
，
故选：．
本题应对方程进行因式分解．将原式化为两式相乘值为的形式，再根据“两式相乘值为，这两式中至少有一式值为”来解题．
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．
8.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：且．
故选：．
利用一元二次方程有实数根的条件得到关于的不等式组，解不等式组即可得出结论．
本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，利用已知条件得到关于的不等式组是解题的关键．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了估算无理数的大小及一元二次方程的根与系数的关系，首先估算出的整数部分，再确定小数部分，然后根据一元二次方程的根与系数的关系求出方程的另一个根，再确定整数部分即可．
【解答】
解：，
，
的整数部分为，
则的小数部分为，
的小数部分是方程的一个根，
设方程的另一个根为，
，
，
，
，
则．
该方程另一根的整数部分是．
故选B．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．先把方程化为，再根据，可得方程有两个不相等的实数根，由即可得出结论．
【解答】
解：关于的方程为常数，
，
，
方程有两个不相等的实数根，
两个根的积为，
一个正根，一个负根，
故选C．
11.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了一元二次方程的应用，关键是注意利用单位来进行计算，设一月份使用的人数为可以使计算简便．要求二、三两月的平均增长率如何，就要先设出一个未知数，表示出一月份和三月份的使用的人数，然后列方程计算即可．
【解答】
解：设一月份使用的人数为，则二月份使用的人数，三月份就是，
设二、三两个月用户的平均每月增长率是，根据题意得
，
解得不合题意，舍去，．
故二、三两个月用户的平均每月增长率是．
故选C．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查一元二次方程的运用，即平均增长率问题，根据题意列出方程是解题的关键．
设这两次平均降价的百分比是，则两次降价后的价格是，根据第一次降价，第二次又降价表示出两次降价的价格列出方程求解即可．
【解答】
解：设这两次平均降价的百分比是，
则
解得，舍去，
则这两次平均降价的百分比是．
13.【答案】
【解析】
【分析】
由题意可知：，然后将整体代入原式即可求出答案．
【详解】
解：由题意可知：，
，
原式．
故答案为：．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．

14.【答案】，
【解析】
【分析】
本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的求根公式．
先化为一般形式，再用一元二次方程求根公式即可得到答案．
【解答】
解：，
化为一般形式得：，
，
，
，，
故答案为：，．
15.【答案】
【解析】解：由已知得：，
解得：．
故答案为：．
由方程有两个不等实数根可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式或不等式组是关键．
16.【答案】
【解析】解：小路的宽为米．
由题意可得：，
解得：，不合题意，舍去，
答：小路的宽为米，
故答案为：．
根据题意和图形，可以将小路平移到最上端和对左端，则阴影部分的长为米，宽为米，然后根据长方形的面积长宽，即可列出相应的方程．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是把原图形可以与平移后的图形建立关系，将复杂问题简单化．
17.【答案】解：设围成的矩形的长为 ，则宽为
根据题意，得
整理，得．
【解析】见答案
18.【答案】解：，一般形式为．
，一般形式为．
，一般形式为．

【解析】见答案
19.【答案】解：解方程组，得：，
根据题意，得：，
解得；
由的解为知，
解得，
则在中整数符合题意．
【解析】解方程组得出、，由为非正数，为负数列出不等式组，解之可得；
由不等式的性质求出的范围，结合中所求范围可得答案．
本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组的能力，熟练掌握加减消元法和解不等式组的能力是解题的关键．
20.【答案】解：，
，
，
或，
解得：，；
，
，
配方，得，
，
开方得：，
解得：，．
【解析】先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
21.【答案】解：如图，过点作于，交于，
设，
，
，
，
，
，
∽，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
设，则原方程可化为：，
，
或，
当时，，
此种情况不是锐角，因为边，
当时，，
，
综上，的长为．
【解析】如图，过点作于，交于，设，证明∽，列比例式可得，根据是等腰直角三角形，则，由面积法列式可得方程，解方程可得结论．
本题主要了勾股定理，相似三角形的性质和判定，三角形的面积，解一元二次方程等知识，正确作辅助线构建直角三角形，利用参数表示线段的长，并结合方程是解题的关键．
22.【答案】解：，
设，则原方程为，
解得：，舍去，
当时，，
，
，
，
所以，
解得：，，
经检验：，是原方程的解．
设，，
原方程有三个实数解，
，的图象有三个交点，
由图知，．
【解析】先换元，转化为一元二次方程求解．
数形结合，将方程的解转化为函数图象相交问题，求的值．
本题考查方程的解法，换元法和图象法是求解本题的关键．
23.【答案】证明：，，，
，
，
，即，
不论为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
解：设方程的另一个为，
根据题意得，，，
，解得，
，
的值为，另一个根为．
【解析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，
也考查了判别式的意义．
先计算判别式的值得到，然后根据判别式的意义得到结论；
设方程的另一个为，利用根与系数的关系得到，，然后解方程组即可．
24.【答案】解：设降价后的销售单价为元，则降价后每天可售出个，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：．
，符合题意．
答：这种电子产品降价后的销售单价为元时，公司每天可获利元．
【解析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设降价后的销售单价为元，则降价后每天可售出个，根据总利润每个产品的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
25.【答案】解：设平均下降率为，
依题意，得．
解得，不合题意，舍去．
答：平均下降率为．
设单价应降低元，则每个的销售利润为元，每天可售出个，
依题意得：．
整理，得．
解得，．
为了减少库存，
，
答：单价应降低元．
【解析】设平均下降率为，利用年该类电脑显卡的出厂价年该类电脑显卡的出厂价下降率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
设单价应降低元，则每个的销售利润为元，每天可售出个，利用每天销售该电脑显卡获得的利润每个的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
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