第四单元《一元二次方程》单元测试卷（困难）（含答案）

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青岛版初中数学九年级上册第四单元《一元二次方程》单元测试卷
考试范围：第四章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
下列方程一定是一元二次方程的是( )
A. B.
C. D.
若是关于的方程的一个根，则的值是( )
A. B. C. D.
已知一元二次方程的一个根与方程的一个根互为相反数，那么的根是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
换元法是一种重要的转化方法，如：解方程，设，原方程转化为已知，是实数，满足，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
在正方形的对角线上取一点，连结，过点作交于点，将线段向右平移个单位，使得点落在上，落在上．已知，，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为( )
A. B. C. D.
表示不超过的最大整数．若实数满足方程，则( )
A. B. C. D.
已知，如图，，，垂足为，，，则的长是( )
A.
B.
C.
D.
如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有个；( )
方程是倍根方程；
若是倍根方程，则；
若、满足，则关于的方程是倍根方程；
若方程是倍根方程，则必有．
A. B. C. D.
关于的方程有实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. D. 且
已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若，则的值是( )
A. B. C. 或 D. 不存在
某工厂计划用两年时间使产值增加到目前的倍，并且使第二年增长的百分数是第一年增长百分数的倍，设第一年增长的百分数为，则可列方程得( )
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
已知一个一元二次方程的二次项系数是，常数项是，它的一个根是，则这个方程为 ．
由可以得到用表示的式子是__________；用表示的式子是_______．
当 时，代数式和的值互为相反数。
某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的元降到元，则平均每次降价的百分率为_________．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
先阅读，然后解方程组．
解方程组
时，
可由 得，
然后再将代入得，求得，
从而进一步求得 这种方法被称为“整体代入法”，
请用这样的方法解下列方程组．
在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象过、两点，且与轴交于另一点，点为线段上的一个动点，过点作直线平行于轴交于点，交二次函数的图象于点．
求二次函数的表达式；
当以、、为顶点的三角形与相似时，求线段的长度；
已知点是轴上的点，若点、关于直线对称，求点的坐标．
在半径为的扇形中，，延长到点，使点为上的动点，点是扇形所在平面内的点，连接，，，当时，解答下列问题：
论证：如图，连接，，当时，求证：
发现：当时，的度数可能是多少
尝试：如图，当点，，三点共线时，求点到所在直线的距离
拓展：当点在的下方，且与相切时，直接写出的余弦值．
如图，矩形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图像与边、分别交于点、，并且满足是线段上的一个动点．
求的值
连接，若的面积与四边形的面积之比为，求点的坐标
设是轴上方平面内的一点，以、、、为顶点的四边形是菱形，求点的坐标．
如图，在长方形中，边、的长是方程的两个根．点从点出发，以每秒个单位的速度沿边 的方向运动，运动时间为秒．
求与的长；
当点运动到边上时，试求出使长为时运动时间的值；
当点运动到边上时，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请求出运动时间的值；若不存在，请说明理由．
已知关于的方程．
求证：不论取何实数，方程总有两个实数根；
等腰的一边长，另两边长，恰好是此方程的两个根，求的周长．
设，是一元二次方程的两根，
试推导，；
求代数式的值．
关于的一元二次方程有两个不相等的根，，
求实数的取值范围；
是否存在实数，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在求出的值，如果不存在，请说明理由．
某农村居委会以元的成本收购了一种农产品吨，目前就可以按元吨的价格全部销往外地，如果将该农产品先储藏起来，每星期的重量会损失吨，且每星期需支付各种费用共元，每星期每吨的价格能上涨元，但储藏时间不超过个星期，那么储藏多少个星期出售这种农产品可获利元？
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、是分式方程，故A错误；
B、时，是一元一次方程，故B错误；
C、是一元二次方程，故C正确；
D、是二元二次方程，故D错误；
故选：．
根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是；二次项系数不为；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是．
2.【答案】
【解析】解：把代入方程得，
因为，
所以，
则．
故选：．
根据一元二次方程的解的定义得到，然后利用等式性质求的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了相反数、一元二次方程的解，关键是根据相反数的定义得到关于的方程，解方程求得的值根据一元二次方程的一个根与方程的一个根互为相反数，可得关于的方程，解方程可求的值，将的值代入方程求解即可．
【解答】
解：一元二次方程的一个根与方程的一个根互为相反数，
，
，
，
解得舍去，，
把代入得，
解得，．
故选A．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了配方法的应用，非负数的性质：偶次方，关键是根据题意得到
先配方得到，得出，即可解答．
【解答】
解：
，

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正方形的判定和性质，平移的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程的解法，添加辅助线构造全等三角形是关键．
过点作于，交于，先证明四边形和是矩形，再证明，
得，，得和重合，，最后利用勾股定理根据，
得，解方程求得即可解答．
【解答】
解：过点作于，交于，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
四边形和是矩形，
四边形是正方形，，
，
，
，
，
，
线段向右平移个单位，使得点落在上，落在上．
，，，
，
，
，
在和中
，
，，
和重合，，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
两边平方得：，
，
，
，
负数已舍去，
．
故选B．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．
通过把一元二次方程变形为用一次式表示二次式，从而达到“降次”的目的，这是解决本题的关键．先利用得到，再利用的一次式表示出和，则化为，然后解方程得，从而得到的值．
【解答】
解：，
，
，
，
，
解方程得，，
，
，
．
故选：．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是二次根式的非负性、解一元二次方程，对已知条件变形整理并平方，解方程即可得出的值，
求出后即可选择答案．
【解答】
解：由题意得：
，
解得：，
原方程可变形为：，
两边平方得：，
，
，
解得：，
，解得：或舍去，
所以．
故选A．

8.【答案】
【解析】解：如图，过作，垂足为交于，
，
，
，，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
∽，
：：，
设长为，
即：：，
解得或舍去，
，
．
答：长为．
故选：．
如图，过作，垂足为交于，由可以得到，再根据已知条件可以证明≌，可以得到，而，又，由此可以证明∽，所以：：，设长为，则可建立关于的方程，解方程即可求出的长，进而可得的长．
此题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，解决本题的关键是得到∽．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键．
求出方程的解，再判断是否为倍根方程，
根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到、之间的关系，而、之间的关系正好适合，
当，满足，则，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程，
用求根公式求出两个根，当，或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．
【解答】
解：解方程得，，，得，，
方程不是倍根方程；
故不正确；
若是倍根方程，，
因此或，
当时，，
当时，，
，
故正确；
，则：，
，，
，
因此是倍根方程，
故正确；
方程的根为：，，
若，则，，
即，
，
，
，
．
若时，则，，
则，
，
，
，
，
．
故正确，
正确的有：共个．
故选C
10.【答案】
【解析】解：当时，方程化为，解得：，符合题意；
当时，得到，解得：，
综上，的取值范围是．
故选：．
分两种情况考虑：当时，方程为一元一次方程，有实数根，符合题意；当不为时，方程为一元二次方程，得到根的判别式大于等于，求出的范围，综上，得到满足题意的范围．
此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，根的判别式的值大于，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于，方程没有实数根．
11.【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，先由二次项系数非零及根的判别式，得出关于的不等式组，解之得出的取值范围，再根据根与系数的关系可得出
，
，结合
，即可求出的值．
【解答】
解：由一元二次方程根与系数的关系可得，，
，
解得，．
该方程有两个不相等的实数根，
，
解得，
．
故选A．

12.【答案】
【解析】解：设第一年增长的百分数为，则第二年增长的百分数为，
根据题意，得．
故选：．
设第一年增长的百分数为，则第二年增长的百分数为，根据“计划用两年时间使产值增加到目前的倍”列出方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的概念根据一元二次方程的二次项系数是，常数项是，得到方程为，再根据它的一个根是，代入计算得到的值．
【解答】
解：一元二次方程的二次项系数是，常数项是，它的一个根是，
这个一元二次方程可以为．
把代入得，
，
故答案为．
14.【答案】；
【解析】略
15.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
两式互为相反数，它们的和为，则可列出方程，化为一般形式以后，利用因式分解法即可求解．
【解答】
解：依题意得：
即
解得或．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，此题列方程的依据是：商品原来价格每次降价的百分率现在价格，设出未知数，列方程解答即可．
【解答】
解：设这种商品平均每次降价的百分率为，根据题意列方程得，
，
解得，不合题意，舍去；
故答案为：．

17.【答案】解：，
由得，，
代入得，
解得，
把代入得，，
解得．
故原方程组的解为．
【解析】仿照所给的题例先把变形，再代入中求出的值，进一步求出方程组的解即可．
本题考查的是在解二元一次方程组时整体思想的应用，利用整体思想可简化计算．
18.【答案】解：在中，令得，令得，
，，
把，代入得：
，解得，
二次函数的表达式为；
如图：
在中，令得或，
，
，，
，，，
，
以、、为顶点的三角形与相似，和为对应点，
设，则，
，，
∽时，，
，
解得或舍去，
，
∽时，，
，
解得舍去或，
，
综上所述，或．
连接，如图：
点、关于直线对称，
，，
轴，
，
，
，
由知：
设，则，，，
，解得舍去或，
，
．
【解析】由得，，代入即得二次函数的表达式为；
由得，，，，故，以、、为顶点的三角形与相似，和为对应点，设，则，，，∽时，，可得，∽时，，可得；
连接，由点、关于直线对称，可得，故，解得舍去或，即得，．
本题考查二次函数的综合应用，涉及解析式、三角形相似的判定与性质、对称变换等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关的线段长度，根据已知列方程求解．
19.【答案】解：论证：证明：，，
，
，
四边形是平行四边形，
；
发现 ：当点，，三点共线时，如图，
则，
，
即为等边三角形，
；
当点，，三点不共线时，连接，如图，
，，
为等边三角形，
，
，
四边形为菱形，
，
；
尝试：过点作于，作于，如图，
，
四边形为矩形，
，
设，则，
在中， ，
在中，，，
，
，
即，
，
点到所在直线的距离为；
拓展：的余弦值为．
【解析】
【分析】
本题主要考查了等边三角形的性质与判定，勾股定理，锐角三角函数的定义，平行线分线段成比例定理，一元二次方程的解法，平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定等知识，解题的关键是利用换元法解拓展里列的方程，从而达到解决问题的目的．
解：论证：利用条件证明四边形是平行四边形，即可得到答案；
发现 ：分两种情况讨论：当点，，三点共线时，如图，当点，，三点不共线时，连接，如图，即可得到答案；根据勾股定理列出方程即可得到答案；
拓展：过点作，并延长，再过点作，过点作，设与交于点，如图所示，设，根据锐角三角函数的定义表示出，，，，
，，求出，
最后根据勾股定理列出，通过换元法解方程，即可得到答案．
【解答】
解：论证：见答案；
发现 ：见答案；
尝试：见答案；
拓展：过点作，并延长，再过点作，过点作，设与交于点，如图所示，
，
设，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
整理得，
，
解得不合题意，舍去，
的余弦值为．
20.【答案】解：矩形的顶点的坐标为，
，．
在中，令，得，点的坐标为．．
，．点的坐标是．
点在直线上，，
，解得．
答：的值为．
由，得点、的坐标分别为、，
，．．
的面积与四边形的面积之比为，
．
设线段上的点的坐标为，易知，则点到的距离为．
，解得．点的坐标为
答：点的坐标为
设线段上的点的坐标为由，得点、的坐标分别为、，，．
分两种情况讨论：当作为菱形的对角线时，如图，得菱形，
，、互相平分．，解得，
点的坐标为，此时点的坐标为
当作为菱形的一边时，如图，得菱形，
，根据点的坐标为，可得点的坐标为．
过点作轴于点，则在中，，．
由勾股定理，得，
化简，得．
由题意，点不在轴上，即，
在等式两边同时除以，得，解得．
此时点的坐标为
综上所述，满足题意的点的坐标为或
【解析】本题考查大道行思求一次函数的解析式，一次函数图像是点的坐标特征，三角形的面积，矩形的性质，菱形的性质，一元一次方程和一元二次方程的解法，分类讨论的数学数学法，平面直角坐标系中点的坐标的确定，一次函数综合题，难度较大．
首先在一次函数的解析式中令，即可求得的坐标，则的长度即可求得，，则的坐标即可利用表示出来，然后代入一次函数解析式即可得到关于的方程，求得的值；
首先求得四边形的面积，则的面积即可求得，设出的横坐标，根据三角形的面积公式即可求得的横坐标，进而求得的坐标；
分成四边形是菱形和四边形是菱形两种情况进行讨论，四边形是菱形时，是的中垂线与的交点，关于的对称点就是；
四边形是菱形，，在直角上，设出的坐标，根据即可求得的坐标，则根据和的中点重合，即可求得的坐标．
21.【答案】解：
或，
则，；
由题意得
，舍去
则时，．
存在点，使是等腰三角形．
分情况讨论：
当时，秒；
当即为对角线中点时，，．
，，
秒
当时，作于，
，，
，
秒；
综上，可知当为秒或秒或秒时，是等腰三角形．
【解析】本题是四边形综合题，考查了解一元二次方程，勾股定理，等腰三角形等知识点，有一定难度．
解一元二次方程即可求得边长；
结合图形，利用勾股定理求解即可；
根据题意，分为：，，，三种情况分别可求解．
22.【答案】解：
，
不论取何实数，方程总有两个实数根；
当时，则，
即，
，
方程可化为，
，
而，经检验，符合三角形三边关系，
的周长；
若是等腰三角形的一腰长，
不妨令，
．
，
或，
另两边、恰好是这个方程的两个根，
，
，经检验，符合三角形三边关系，
的周长．
综上所述，的周长为或．
【解析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据根的判别式判断方程的根的情况是基础，等腰三角形的周长应注意两种情况，以及两种情况的取舍是解题的关键．
根据一元二次方程的根的判别式的符号进行证明；
注意：分，两种情况．
23.【答案】解：、是的两根，
，，
，
；
，是的两根，
，，
原式，
，
．
【解析】利用求根公式表示出，，代入所求式子可直接推导得出结论；
把式子拆开重新整理成一元二次方程的形式，然后把，代入原方程，整体代入即可求出代数式的值．
本题主要考查了根与系数之间的关系的推导过程和利用方程的解的定义整体代入方程解题．
24.【答案】解：因为方程有两个不相等实数根，则方程首先满足是一元二次方程，
且满足，
且；
不存在这样的．
方程的两个实数根，互为相反数，
则，
解得，
经检验是方程的根．
中求得方程有两个不相等实数根，
的取值范围是且，
而不符合题意．
所以不存在这样的值，使方程的两个实数根互为相反数
【解析】根据题意，应满足两个条件：，二次项系数不等于，显然此解答漏掉了一个条件；
利用根与系数的关系求得字母的值后，还要注意检验原方程是否有实数根．
此题考查根与系数的关系，注意：只要是一元二次方程或说方程有两个实数根，则二次项系数不得为；凡是利用根与系数的关系求得未知字母的值时，一定要注意代入原方程，看是否有实数根．
25.【答案】解：设储藏个星期出售这种农产品可获利元，
，
解得，，舍去，
即储藏个星期出售这种农产品可获利元．
【解析】根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题．
本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，注意储藏时间不超过个星期．
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