《志鸿全优设计》2013-2014学年高中数学人教A必修1单元目标检测：第一章　集合与函数概念（含解析）

数学人教A必修1第一章　集合与函数概念单元检测
参考完成时间：120分钟　　实际完成时间：_____分钟　　总分：150分　　得分：______
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．给出以下五个对象，其中能构成集合的个数为(　　)
①你所在班中身高超过1.75 m的同学；②所有平行四边形；③某数学教辅书中的所有习题；④所有有理数；⑤2012年高考试卷中的所有难题．
A．1 B．2
C．3 D．4
2．设全集U＝Z，集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{1,2,3,4,5}，则图中阴影部分表示的集合是(　　)
A．{1,3,5}
B．{1,2,3,4,5}
C．{7,9}
D．{2,4}
3．如果全集U＝{x|x是小于9的正整数}，集合A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6}，则(UA)(UB)为(　　)
A．{1,2}
B．{3,4}
C．{5,6}
D．{7,8}
4．下列各组函数表示同一函数的是(　　)
A．f(x)＝，g(x)＝()2
B．f(x)＝1，g(x)＝x0
C．g(t)＝|t|
D．f(x)＝x＋1，g(x)＝
5．已知函数则f(－1)＋f(4)的值为(　　)
A．－7 B．3
C．－8 D．4
6．已知函数，则f(3)＝(　　)
A．8 B．9
C．11 D．10
7．下列函数中，值域是(0，＋∞)的是(　　)
A．
B．(x(0，＋∞))
C．(xN)
D．
8．函数f(x)＝是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
9．已知集合A＝{0,2，a2}，B＝{1，a}，若AB＝{1}，则a的值为(　　)
A．0 B．1
C．－1 D．±1
10．已知函数f(x)＝x2＋mx＋1在区间(－∞，－1]上是减函数，在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是(　　)
A．[－2,2]
B．(－∞，－2]
C．[2，＋∞)
D．R
11．若函数f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在区间(0，＋∞)上有最大值5，则F(x)在区间(－∞，0)上(　　)
A．有最小值－5
B．有最大值－5
C．有最小值－1
D．有最大值－3
12．函数f(x)对于任意实数x满足f(x＋2)＝，若f(1)＝－5，则f(f(5))等于(　　)
A．2 B．5
C．－5 D．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．函数的定义域为__________(用区间表示)．
14．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝__________．
15．设函数若f(x0)＞1，则x0的取值范围为__________．
16．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，则解析式为y＝2x2＋1，值域为{5,19}的“孪生函数”共有__________个．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知全集U＝R，若集合A＝，B＝{x|2＜x≤7}．
(1)求AB，AB，(UA)(UB)；
(2)若集合C＝{x|x＞a}，AC，求a的取值范围．(结果用区间或集合表示)
18．(12分)已知函数
(1)求，，f(－1)的值；
(2)画出这个函数的图象；
(3)求f(x)的最大值．
19．(12分)奇函数f(x)是定义在区间(－2,2)上的减函数，且满足f(m－1)＋f(2m－1)＞0，求实数m的取值范围．
20．(12分)利用函数的单调性定义证明函数f(x)＝，x[2,4]是单调递减函数，并求该函数的值域．
21．(12分)已知函数f(x)＝x＋，
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)判断函数f(x)在区间(0,1)和(1，＋∞)上的单调性，并用定义证明；
(3)当x(－∞，0)时，写出函数f(x)＝x＋的单调区间(不必证明)．
22．(12分)已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；
(3)在区间[－1,1]上，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋2m＋1的图象上方，试确定实数m的取值范围．

参考答案
1．D　点拨：由于①②③④项中的对象具备确定性，故①②③④能构成集合．⑤项不符合集合中元素的确定性，故不能构成集合．
2．D　点拨：题图中所示阴影表示的集合是(UA)B＝{2,4}．
3．D　点拨：U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，UA＝{5,6,7,8}，UB＝{1,2,7,8}，故(UA)(UB)＝{5,6,7,8}{1,2,7,8}＝{7,8}．
4．C　点拨：选项A，B，D中两函数定义域不同，只有C项符合．
5．B　点拨：f(－1)＋f(4)＝－(－1)2＋3×(－1)＋2×4－1＝3．
6．C　点拨：∵，
∴f(3)＝9＋2＝11．
7．D　点拨：在选项A中y可等于零，选项B中y显然大于1，选项C中xN，值域不是(0，＋∞)，选项D中|x＋1|＞0，
即y＞0．
8．B　点拨：∵函数f(x)的定义域是[－1,1]，且f(－x)＝f(x)，∴该函数为偶函数．
9．C　点拨：由AB＝{1}，知1A，则a2＝1，解得a＝±1，
由于当a＝1时，B＝{1,1}，与元素的互异性不符，故a＝1不合题意舍去．因此a＝－1．
10．A　点拨：二次函数的对称轴是直线，则由题意可得－1≤≤1，所以－2≤m≤2．
11．C　点拨：∵当x＞0时，F(x)≤5，即af(x)＋bg(x)＋2≤5，∴af(x)＋bg(x)≤3．
设x＜0，则－x＞0，
∴af(－x)＋bg(－x)≤3，即af(x)＋bg(x)≥－3．
∴F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2≥－1．
12．D　点拨：f(5)＝＝f(1)＝－5，
f(－5)＝＝f(－1)＝＝．
13．[4,5)(5，＋∞)　点拨：由解得x≥4且x≠5．
14．2　点拨：由题意知x≠－1且x≠．因为函数f(x)为奇函数，所以其定义域应关于原点对称．故x≠1，即＝1，a＝2．
15．(－∞，－1)[1，＋∞)　点拨：f(x0)＞1或x0≥1或x0＜－1．
16．9　点拨：令2x2＋1＝5，解得x＝，
令2x2＋1＝19，解得x＝±3．
如果函数f(x)＝2x2＋1的值域为{5,19}，则函数f(x)的定义域中最多含有4个元素和±3，且至少含有一个绝对值为的实数，和至少含有一个绝对值为3的实数，所以函数f(x)的定义域可能是{，－3}，{，3}，{，－3}，{，3}，{，，－3}，{，，3}，{－3,3，}，{－3,3，}，{－3，，，3}．故所求“孪生函数”共有9个．
17．解：(1)AB＝[3,7]，AB＝(2,10)，
(UA)(UB)＝(－∞，2][10，＋∞)．
(2){a|a＜3}．
18．解：(1)＝(－2)×＋8＝5，＋5＝，f(－1)＝－3＋5＝2．
(2)作出函数f(x)的图象如图所示．
(3)由函数图象可知，当x＝1时，f(x)的最大值为6．
19．解：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
由f(m－1)＋f(2m－1)＞0，
得f(m－1)＞－f(2m－1)，即f(m－1)＞f(1－2m)．
∵f(x)是定义在区间(－2,2)上的减函数，
∴解得＜m＜．
20．证明：在区间[2,4]上任取x1，x2且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝．
∵2≤x1＜x2≤4，∴x2－x1＞0，x1－1＞0，x2－1＞0．
∴f(x1)－f(x2)＞0．
∴f(x1)＞f(x2)．
∴函数f(x)在区间[2,4]上是减函数．
∴f(x)min＝f(4)＝，f(x)max＝f(2)＝2．
因此，所求函数的值域为．
21．解：(1)∵函数f(x)＝x＋的定义域是(－∞，0)(0，＋∞)，关于原点对称，
又f(－x)＝－x－＝－f(x)，
∴函数f(x)＝x＋为奇函数．
(2)证明：在区间(0,1)上任取两个数x1和x2，且设x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)．
∵0＜x1＜x2＜1，∴0＜x1x2＜1，x1－x2＜0．
∴f(x1)－f(x2)＞0．∴f(x1)＞f(x2)．
∴函数f(x)在区间(0,1)上是减函数．
同理，在区间(1，＋∞)上任取两个数x1和x2，且设x1＜x2，则x1x2＞0，x1x2＞1，x1－x2＜0．
∴f(x1)＜f(x2)．
因此函数f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数．
(3)由(1)(2)知当x(－∞，0)时，函数f(x)＝x＋在区间(－∞，－1)上是增函数，在区间(－1,0)上是减函数．
22．解：(1)由f(0)＝f(2)知二次函数f(x)关于直线x＝1对称，
又函数f(x)的最小值为1，故可设f(x)＝a(x－1)2＋1，
由f(0)＝3，得a＝2．故f(x)＝2x2－4x＋3．
(2)要使函数不单调，则2a＜1＜a＋1，则0＜a＜．
(3)由已知，即2x2－4x＋3＞2x＋2m＋1，
化简得x2－3x＋1－m＞0，
设g(x)＝x2－3x＋1－m，则只要g(x)min＞0，
∵x[－1,1]，
∴g(x)min＝g(1)＝－1－m，得m＜－1．