《志鸿全优设计》2013-2014学年高中数学人教A必修1单元目标检测：第三章　函数的应用（含解析）

数学人教A必修1第三章　函数的应用单元检测
参考完成时间：120分钟　　 实际完成时间：______分钟　　总分：150分　　 得分：______
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．下列所示函数没有零点的是(　　)
2．下列函数中，在区间(－1,1)内有零点且单调递增的是(　　)
A． B．y＝2x－1
C．y＝x2－ D．y＝－x3
3．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(xR)的部分对应值如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
m
－4
－6
－6
－4
n
6
由此可以判断方程ax2＋bx＋c＝0的两个根所在的区间是(　　)[来源:学.科.网]
A．(－3，－1)和(2,4)
B．(－3，－1)和(－1,1)
C．(－1,1)和(1,2)
D．(－∞，－3)和(4，＋∞)
4．已知某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为(　　)
5．已知函数f(x)＝3ax＋1－3a，在区间(－1,1)内存在x0，使f(x0)＝0，则a的取值范围是(　　)
A．－1＜a＜
B．a＞
C．a＞或a＜－1
D．a＜－1
6．在一次数学试验中，应用图形计算器采集到如下一组数据：
x
－2.0
－1.0
0
1.00
2.00[来源:学科网]
3.00
y
0.24
0.51
1
2.02
3.98
8.02
则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)(　　)
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx
C．y＝ax2＋b D．y＝a＋
7．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，xN)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是(　　)
A．100台 B．120台
C．150台 D．180台
8．如图，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中整体水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系大致是下列图象中的(　　)
9．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：
x
1
3
5
7
9
11
y1
5[来源:学&科&网]
135
625
1 715
3 635
6 655
y2
5[来源:学§科§网]
29
245
2 189
19 685
177 149
y3
5
6.10
6.61
6.95
7.20
7.40
则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是(　　)
A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3
C．y3，y2，y1 D．y3，y1，y2
10．已知0＜a＜1，则方程a|x|＝的实根个数为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．与a的值有关
11．已知函数f(x)＝－log2x，若实数x0是函数f(x)的零点，且0＜x1＜x0，则f(x1)的值为(　　)
A．恒为正值 B．等于0
C．恒为负值 D．不大于0
12．为适应社会发展的需要，国家降低某种存款利息，现有四种降息方案：①先降息p%，后降息q%；②先降息q%，后降息p%；③先降息%，再降息%；④一次性降息(p＋q)%(p≠q)．上述四种方案，降息最少的是(　　)
A．① B．②
C．③ D．④
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．用二分法求方程x3－2x－6＝0在区间[1,1.5]内的一个实根，若精确度为0.01，则至少需分__________次．
14．我国GDP计划从2010年至2020年翻一番，平均每年的增长率为__________．
15．长为4，宽为3的矩形，当长增加x，宽减少时，面积达到最大，此时x的值为__________．
16．若关于x的方程在区间(0,1)上有解，则实数m的取值范围是__________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．
18．(12分)某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆汽车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车辆会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
19．(12分)已知方程x3＋2x2－3x－6＝0．
(1)方程有几个实根？
(2)用二分法求出方程的最大根(精确到0.1)．
20．(12分)某城市有甲，乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，但不超过40小时．设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40)．
(1)求f(x)和g(x)；
(2)问：小张选择哪家比较合算？为什么？
21．(12分)为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕，y与t的函数关系为(a为常数)．整个过程的图象如图所示．
(1)写出从药物释放开始，y与t的函数关系式；
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室．从药物释放开始，至少需要几小时，学生才能回到教室？
22．(12分)经过市场调查，某商品在销售中有如下关系：第t(1≤t≤30，tN*)天的销售价格(单位：元/件)为f(t)＝第t天的销售量(单位：件)为g(t)＝a－t(a为常数)．且在第20天该商品的销售收入为600元．(销售收入＝销售价格×销售量)．
(1)求a的值，并求第8天该商品的销售收入；
(2)求在这30天中，该商品日销售收入y的最大值．

参考答案
1．A　点拨：A选项中的函数图象与x轴无交点．
2．B　点拨：是单调减函数；函数y＝x2－在区间(－1,1)内先减后增；函数y＝－x3是减函数；函数y＝2x－1单调递增，且有零点x＝0．
3．A　点拨：∵f(－3)＝6＞0，f(－1)＝－4＜0，
∴f(－3)·f(－1)＜0．∵f(2)＝－4＜0，f(4)＝6＞0，
∴f(2)·f(4)＜0．∴方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间分别是(－3，－1)和(2,4)．
4．D　点拨：设原有荒漠化土地面积为a，由题意，得y＝a(1＋10.4%)x．故其图象应如D项中图所示，选D．
5．B　点拨：由题意，得f(－1)·f(1)＜0，即(－3a＋1－3a)×1＜0，也即1－6a＜0．故a＞．
6．B　点拨：代入数据检验，注意函数值．
7．C　点拨：由题意知
即
解得150≤x＜240且xN．
故生产者不亏本时的最低产量为150台．
8．B　点拨：开始一段时间，水槽底部没有水，烧杯满了之后，水槽中水面上升先快后慢．故选B．
9．C　点拨：三种常见增长型函数中，指数型函数呈爆炸性增长，而对数型函数增长越来越慢，幂函数型函数介于两者之间，结合题表，只有C项中数据符合上述规律．
10．A　点拨：设y1＝a|x|，y2＝|logax|，分别作出这两个函数的图象，如下图所示．
由图可知，有两个交点，故方程a|x|＝|logax|有两个实根，应选A．
11．A　点拨：∵函数f(x)在区间(0，＋∞)上为减函数，且f(x0)＝0，∴当x(0，x0)时，均有f(x)＞0．又∵0＜x1＜x0，
∴f(x1)＞0．
12．C　点拨：方法1：特例法，不妨取p＝20，q＝40，验证即可．方法2：作差比较．
13．6　点拨：设需分n次，据题意，有＜0.01＝，即2n＞50．因此n最小取6，即至少需分6次．
14．7.18%　点拨：设平均每年增长率为x，
则2＝(1＋p)10．
∴1＋p＝≈1.071 8．∴p≈0.071 8．
15．1　点拨：由题意知S＝(4＋x) ，即S＝＋x＋12，因此当x＝1时，S最大．
16．0＜m＜1　点拨：要使方程有解，只需在函数y＝(0＜x＜1)的值域内，即＞0．[来源:学科网]
∵x(0,1)，∴＞0．
∴＞0．∴0＜m＜1．
17．解法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1＜0，f(2)＝4＋lg 3－2＝2＋lg 3＞0，
∴函数f(x)在区间(0,2)上必定存在零点．
又f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在区间(－1，＋∞)上为增函数，故函数f(x)有且只有一个零点．
解法二：在同一坐标系内作出函数h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的图象，如图所示．由图象知y＝lg(x＋1)和y＝2－2x有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．
18．解：(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，
∵3 600－3 000＝600(元),100－＝88(辆)，
∴此时能租出88辆车．
(2)设每辆车的月租金定为x(3 000≤x＜5 000)元时，租赁公司的月收益为y元，则
y＝·50＝＋162x－21 000＝(x－4 050)2＋307 050，
因此x＝4 050时，函数有最大值307 050．
故当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大为307 050元．
19．解：(1)令f(x)＝x3＋2x2－3x－6．
∵f(－3)＝(－3)3＋2×(－3)2－3×(－3)－6＝－6＜0，
f(－2)＝(－2)3＋2×(－2)2－3×(－2)－6＝0，
f(－1)＝(－1)3＋2×(－1)2－3×(－1)－6＝－2＜0，
f(0)＝－6＜0，
f(1)＝1＋2－3－6＝－6＜0，
f(2)＝23＋2×22－3×2－6＝4＞0，
又f(－1.9)＝(－1.9)3＋2×(－1.9)2－3×(－1.9)－6＝0.061＞0，
∴方程有3个实根，且分别处在下面三个区间内：
(－3，－1.9)，(－1.9，－1)，(1,2)．
(2)由(1)知方程最大的根处在区间(1,2)内，用二分法逐次计算，列表如下：
∵最后一个区间两个端点精确到0.1的近似值都是1.7，
∴所求方程的最大根约为1.7．
20．解：(1)f(x)＝5x(15≤x≤40)；
g(x)＝
(2)由f(x)＝g(x)，得或
即x＝18或x＝10(舍)．
当15≤x＜18时，f(x)－g(x)＝5x－90＜0，
即f(x)＜g(x)，应选甲家；
当x＝18时，f(x)＝g(x)，即可以选甲家也可以选乙家．
当18＜x≤30时，f(x)－g(x)＝5x－90＞0，
即f(x)＞g(x)，应选乙家．
当30＜x≤40时，
f(x)－g(x)＝5x－(2x＋30)＝3x－30＞0，
即f(x)＞g(x)，应选乙家．
综上所述：当15≤x＜18时，选甲家；
当x＝18时，可以选甲家也可以选乙家；
当18＜x≤40时，选乙家．
21．解：(1)由题意及图象可知，当0≤t≤0.1时，可设y＝kt．
∵当t＝0.1时，y＝1，∴0.1k＝1，k＝10．故y＝10t．
当t＞0.1时，由t＝0.1，y＝1，得，∴a＝0.1．
∴y与t的函数关系式为y＝
(2)由题意，得≤0.25，即2－4(t－0.1)≤2－2，从而可得－4(t－0.1)≤－2，解得t≥0.6．
故至少经过0.6小时后，学生方可回到教室．
22．解：(1)当t＝20时，f(20)＝30，g(20)＝a－20，
由f(20)g(20)＝30(a－20)＝600，
解得a＝40．
从而可得，f(8)g(8)＝38×32＝1 216(元)，
即第8天该商品的销售收入为1 216元．
(2)依题意
当1≤t＜10时，y＝(40－t)(30＋t)＝－t2＋10t＋1 200＝－(t－5)2＋1 225，
所以t＝5时，y取得最大值1 225元．
当10≤t≤30时，y＝(40－t)(50－t)＝t2－90t＋2 000＝(t－45)2－25，
因为t[10,30]时，函数为减函数，
所以t＝10时，y取得最大值1 200元．
故当t＝5时，该商品日销售收入最大，最大值为1 225元．