《志鸿全优设计》2013-2014学年高中数学人教A选修1-1单元目标检测：第二章　圆锥曲线与方程（含解析）

数学人教A选修1-1第二章　圆锥曲线与方程单元检测
(时间：45分钟，满分：100分)
一、选择题(每小题6分，共48分)
1．抛物线的焦点坐标是(　　)
A． B．(1,0)
C． D．(0,1)
2．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，且离心率为，则椭圆的标准方程为(　　)
A． B．
C． D．
3．已知椭圆的右焦点是双曲线的右顶点，则双曲线的渐近线为(　　)
A． B．
C． D．
4．对任意实数θ，则方程x2＋y2sin θ＝4所表示的曲线不可能是(　　)
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
5．以椭圆的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆方程是(　　)
A．x2＋y2－10x＋9＝0
B．x2＋y2－10x－9＝0
C．x2＋y2＋10x＋9＝0
D．x2＋y2＋10x－9＝0
6．双曲线(mn≠0)离心率为2，其中一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为(　　)
A． B． C． D．
7．已知P是双曲线(a＞0，b＞0)右支上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若成立，则双曲线的离心率为(　　)
A．4 B． C．2 D．
8．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，F关于原点的对称点为P，过F作x轴的垂线交抛物线于M，N两点，有下列四个命题：①△PMN必为直角三角形；②△PMN必为等边三角形；③直线PM必与抛物线相切；④直线PM必与抛物线相交，其中正确的命题是(　　)
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二、填空题(每小题6分，共18分)
9．已知双曲线(a＞0，b＞0)上有一点P，若满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则此双曲线的离心率是__________．
10．若双曲线(a＞0)的一条渐近线为y＝4x，则过抛物线y2＝ax的焦点且垂直于x轴的弦AB，与抛物线的顶点组成的三角形的面积为__________．
11．椭圆E：内有一点P(2,1)，则经过P并且以P为中点的弦所在直线方程为__________________．
三、解答题(共34分)
12．(10分)一个椭圆，其中心在原点，焦点在同一坐标轴上，焦距为．一双曲线和这椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的方程．
13．(12分)已知椭圆G：(a＞b＞0)的离心率为，右焦点为(，0)．斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．
(1)求椭圆G的方程；
(2)求△PAB的面积．
14．(12分)已知椭圆C1：，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，，求直线AB的方程．
参考答案
1答案：D　解析：方程化为标准方程为x2＝4y，其焦点在y轴正半轴上，且，所以焦点坐标为(0,1)．
2答案：B　解析：由已知椭圆的焦点为(，0)，∴．
又∵椭圆的离心率为，∴．
∴a＝5．∴b2＝a2－c2＝20．
∴所求椭圆的标准方程为．
3答案：C　解析：由已知双曲线的右顶点是(4,0)，
∴a2＝16．∴双曲线的渐近线为．
4答案：C　解析：当0＜sin θ＜1时，方程表示椭圆；当－1≤sin θ＜0时，方程表示双曲线；当sin θ＝0时，方程表示两条直线；当sin θ＝1时，方程表示圆．
5答案：A　解析：椭圆右焦点F(5,0)，双曲线渐近线方程为，则焦点F到的距离为4，所以圆的方程为(x－5)2＋y2＝16，即x2＋y2－10x＋9＝0．
6答案：A　解析：抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，∴m＋n＝1且，解得，．∴，故选A．
7答案：C　解析：设△PF1F2的内切圆半径为r，则由已知得|PF1|r＝|PF2|r＋|F1F2|r．∴|PF1|－|PF2|＝|F1F2|，即2a＝c，∴e＝＝2．
8答案：A　解析：由已知得F，P，M，N，则F为MN的中点，且|PF|＝|MN|，
∴△PMN为直角三角形，易得|PM|≠|MN|，故①正确，②不正确；直线PM的方程为y＝x＋，与抛物线y2＝2px联立消去x，得y2－2py＋p2＝0，Δ＝0，
∴直线PM与抛物线相切，故③正确，④不正确．
9答案：　解析：由已知设|PF1|＝4k，|F1F2|＝3k，|PF2|＝2k，
则2a＝|PF1|－|PF2|＝2k,2c＝|F1F2|＝3k，
∴离心率．
10答案：2　解析：由双曲线得其渐近线为y＝±ax，∴a＝4．∴抛物线方程为y2＝4x．∴|AB|＝4．∴S＝×1×4＝2．
11答案：x＋2y－4＝0　解析：设所求直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则，．
两式相减得．
又x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，∴kAB＝．
因此所求直线方程为y－1＝－(x－2)，
即x＋2y－4＝0．
12答案：解：①焦点在x轴上，椭圆为，且，设双曲线为，m＝a－4，∵，易得a＝7，m＝3．∵椭圆和双曲线的焦距为，∴b2＝36，n2＝4．∴椭圆方程为，双曲线方程为．
②焦点在y轴上，椭圆方程为，双曲线方程为．
13答案：解：由已知得，，．解得．
又b2＝a2－c2＝4，所以椭圆G的方程为．
答案：解：设直线l的方程为y＝x＋m．
由得4x2＋6mx＋3m2－12＝0．①
设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1＜x2)，AB中点为E(x0，y0)，
则，y0＝x0＋m＝．
因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB．
所以PE的斜率．解得m＝2．
此时方程①为4x2＋12x＝0．解得x1＝－3，x2＝0．
所以y1＝－1，y2＝2．所以|AB|＝．此时，点P(－3,2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离为，所以△PAB的面积S＝|AB|·d＝．
14答案：解：由已知可设椭圆C2的方程为(a＞2)，其离心率为，故，则a＝4，故椭圆C2的方程为．
答案：解：方法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx，将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以．将y＝kx代入中，得(4＋k2)x2＝16，所以．又由得，即，解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x．
方法二：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx．将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以．由得，，将代入中，得，即4＋k2＝1＋4k2，解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x．
答案：解：由已知可设椭圆C2的方程为(a＞2)，其离心率为，故，则a＝4，故椭圆C2的方程为．
答案：解：方法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx，将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以．将y＝kx代入中，得(4＋k2)x2＝16，所以．又由得，即，解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x．
方法二：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx．将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以．由得，，将代入中，得，即4＋k2＝1＋4k2，解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x．