《志鸿全优设计》2013-2014学年高中数学人教A选修1-1单元目标检测：第三章　导数及其应用（含解析）

数学人教A选修1-1第三章　导数及其应用单元检测
(时间：45分钟，满分：100分)
一、选择题(每小题6分，共48分)
1．f(x)＝ax3－2x2－3，若f′(1)＝5，则a等于(　　)
A．5 B．4 C．2 D．3
2．若函数f(x)可导，则f′(x0)等于(　　)
A．
B．
C．
D．
3．曲线在点(－1，－1)处的切线方程为(　　)
A．y＝－1 B．y＝2x＋1
C．y＝－2x－3 D．
4．函数y＝f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为(　　)
A．－e B．1－e C．－1 D．0
5．已知函数f(x)＝3x3－ax2＋x－5在区间[1,2]上单调递减，则a的取值范围是(　　)
A． B．(－∞，5)∪
C．[5，＋∞) D．
6．当a取下列哪个值时，函数f(x)＝2x3－9x2＋12x－a恰好有两个不同的零点(　　)
A．8 B．6 C．4 D．2
7．把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为(　　)
A．1∶2 B．2∶1
C．1∶π D．2∶π
8．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)的图象是(　　)
二、填空题(每小题6分，共18分)
9．函数，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0，则a＝__________，b＝__________．
10．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围是__________．
11．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝2x－9，且f(0)的值为整数，当x∈[n，n＋1](n∈N*)时，f(x)所有可能取的整数值有且只有1个，则n＝______．
三、解答题(共34分)
12．(10分)已知函数f(x)＝x3＋ax2－bx(a，b∈R)，若y＝f(x)图象上的点处的切线斜率为－4，求y＝f(x)在区间[－3,6]上的最值．
13．(12分)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米．余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程的费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
14．(12分)已知a∈R，函数f(x)＝4x3－2ax＋a．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)证明：当0≤x≤1时，f(x)＋|2－a|＞0．
参考答案
1答案：D　解析：∵f′(x)＝3ax2－4x，
∴f′(1)＝3a－4＝5，∴a＝3．
2答案：B　解析：根据导数的定义直接判断，但是应注意Δy中自变量的差与Δx相等．
3答案：B　解析：．[来源:学科网]
∴k＝y′|x＝－1＝2，
∴所求切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1．
4答案：C　解析：f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，即x＝1．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，e)
e
f′(x)[来源:Z,xx,k.Com]
＋
0
－
f(x)
单调递增
极大值－1
单调递减
1－e
由于f(e)＝1－e，而－1＞1－e，从而f(x)max＝f(1)＝－1．
5答案：D　解析：f′(x)＝9x2－2ax＋1．[来源:.Com]
当f(x)在[1,2]上递减时，
∴∴．
6答案：C　解析：f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)，知可能的极值点为x＝1，x＝2，且f(1)＝5－a，f(2)＝4－a，可见当a＝4时，函数f(x)恰好有两个不同的零点．
7答案：B　解析：设圆柱高为x，底面半径为r，则，圆柱体积(x3－12x2＋36x)(0＜x＜6)，
．
当x＝2时，V最大．此时底面周长为6－x＝4(cm)，
该圆柱的底面周长与高的比为4∶2＝2∶1，故选B．
8答案：D　解析：令g(x)＝f(x)ex，则g′(x)＝f′(x)ex＋f(x)ex．
∵x＝－1为函数g(x)的一个极值点，
∴g′(－1)＝f′(－1)e－1＋f(－1)e－1＝0．
∴f′(－1)＝－f(－1)．
D选项中，f(－1)＞0，∴f′(－1)＝－f(－1)＜0，这与图象不符．
9答案：1　1　解析：．
由于直线x＋2y－3＝0的斜率为，且过点(1,1)，
故即
解得a＝1，b＝1．
10答案：a＜－1　解析：∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a．
当a≥0时，y不可能有极值点，故a＜0．
由ex＋a＝0，得ex＝－a，∴x＝ln(－a)．
∴x＝ln(－a)即为函数的极值点．
∴ln(－a)＞0，即ln(－a)＞ln 1．∴a＜－1．
11答案：4　解析：由题意可设f(x)＝x2－9x＋c(c∈R)，又f(0)的值为整数，即c为整数，∴f(n)＝n2－9n＋c为整数，f(n＋1)＝(n＋1)2－9(n＋1)＋c＝n2－7n＋c－8为整数．
又x∈[n，n＋1](n∈N*)时，f(x)所有可能取的整数值有且只有1个，∴n2－7n＋c－8＝n2－9n＋c，即n＝4．
12答案：解：易得f′(x)＝x2＋2ax－b，
f′(1)＝－4，∴1＋2a－b＝－4．①
又在f(x)的图象上，
∴＋a－b＝，即a－b＋4＝0．②
由①②解得
∴f(x)＝x3－x2－3x，
f′(x)＝x2－2x－3＝(x－3)(x＋1)．
令f′(x)＝0，解得x＝－1或3．
∴在x∈[－3,6]上，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－3
(－3，－1)
－1
(－1,3)
3
(3,6)
6
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
－9
单调递增
极大值
单调递减
极小值－9
单调递增
18
∴当x∈[－3,6]时，f(x)max＝f(6)＝18，f(x)min＝f(3)＝f(－3)＝－9．
13答案：解：设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，即，
所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x＝＋2m－256，
答案：解：由(1)知，．
令f′(x)＝0，得，
所以x＝64．
当0＜x＜64时，f′(x)＜0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；
当64＜x＜640时，f′(x)＞0，f(x)在区间(64,640)内为增函数．
所以f(x)在x＝64处取得最小值，此时．
故需新建9个桥墩才能使y最小．
14答案：解：由题意得f′(x)＝12x2－2a．
当a≤0时，f′(x)≥0恒成立，此时f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
当a＞0时，，
此时函数f(x)的单调递增区间为
和．
单调递减区间为．
答案：证明：由于0≤x≤1，故当a≤2时，f(x)＋|a－2|＝4x3－2ax＋2≥4x3－4x＋2．
当a＞2时，f(x)＋|a－2|＝4x3＋2a(1－x)－2≥4x3＋4(1－x)－2＝4x3－4x＋2．
设g(x)＝2x3－2x＋1,0≤x≤1，
则g′(x)＝6x2－2＝，
于是在x∈(0,1)上，当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：
x
0
1[来源:学§科§网Z§X§X§K]
g′(x)
－
0
＋
g(x)
1
单调递减
极小值
单调递增
1
所以，g(x)min＝＞0．
所以当0≤x≤1时，2x3－2x＋1＞0．
故f(x)＋|a－2|≥4x3－4x＋2＞0．