《志鸿全优设计》2013-2014学年高中数学人教A选修2-1单元目标检测：第二章　圆锥曲线与方程（含解析）

数学人教A选修2-1第二章　圆锥曲线与方程单元检测
(时间：45分钟，满分：100分)
一、选择题(每小题6分，共48分)
1．设F1，F2是椭圆E：(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为(　　)．
A． B． C． D．
2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是(　　)．
A．y2＝－8x B．y2＝8x
C．y2＝－4x D．y2＝4x
3．已知双曲线的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于(　　)．
A． B．
C．3 D．5
4．设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　)．
A． B．
C．24 D．48
5．过抛物线y2＝4x的顶点O作互相垂直的两弦OM，ON，则M的横坐标x1与N的横坐标x2之积为(　　)．
A．64 B．32
C．16 D．4
6．以椭圆内的点M(1,1)为中点的弦所在直线的方程为(　　)．
A．4x－y－3＝0 B．x－4y＋3＝0
C．4x＋y－5＝0 D．x＋4y－5＝0
7．已知双曲线(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为(　　)．
A． B．
C． D．
8．若F1，F2是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则||的最大值是(　　)．
A．4 B．5
C．2 D．1
二、填空题(每小题6分，共18分)
9．△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是(－6,0)，(6,0)，边AC，BC所在直线的斜率之积等于，则顶点C的轨迹方程是____________________．
10．抛物线y2＝4x的弦AB⊥x轴，若|AB|＝，则焦点F到直线AB的距离为______．
11．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为．过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为__________．
三、解答题(共3小题，共34分)
12．(10分)已知直线y＝x－4被抛物线y2＝2mx(m≠0)截得的弦长为，求抛物线的标准方程．
13．(10分)已知椭圆C：(a＞b＞0)的左焦点F及点A(0，b)，原点O到直线FA的距离为．
(1)求椭圆C的离心率e；
(2)若点F关于直线l：2x＋y＝0的对称点P在圆O：x2＋y2＝4上，求椭圆C的方程及点P的坐标．
14．(14分)设椭圆(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．
(1)若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率；
(2)若|AP|＝|OA|，证明直线OP的斜率k满足．
参考答案
1答案：C　解析：设直线与x轴交于点M，则∠PF2M＝60°，在Rt△PF2M中，PF2＝F1F2＝2c，F2M＝，故cos 60°＝，
解得，故离心率．
2答案：B　解析：∵抛物线的准线方程为x＝－2，
∴抛物线的开口向右．设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，则其准线方程为，
∴，解得p＝4．
∴抛物线的标准方程为y2＝8x．
3答案：A　解析：由双曲线的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，知，c2＝9＝4＋b2，于是b2＝5，．
因此该双曲线的渐近线的方程为，即．
故该双曲线的焦点到其渐近线的距离为．
4答案：C　解析：由P是双曲线上的一点和3|PF1|＝4|PF2|可知，|PF1|－|PF2|＝2，解得|PF1|＝8，|PF2|＝6，又|F1F2|＝2c＝10，所以△PF1F2为直角三角形，所以△PF1F2的面积S＝×6×8＝24，故选C．
5答案：C　解析：由已知设OM的斜率为k，则ON的斜率为．
从而OM的方程为y＝kx，联立方程解得M的横坐标．同理可得N的横坐标x2＝4k2，可得x1x2＝16．
6答案：D　解析：设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有
两式相减得，
即．
而AB的中点为M(1,1)，
所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
又kAB＝，所以kAB＝，
于是弦AB所在直线的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋4y－5＝0．
7答案：A　解析：由题意得(a＞0，b＞0)的两条渐近线的方程为，即bx±ay＝0．
又圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，半径为2，圆心坐标为(3,0)，
∴a2＋b2＝32＝9，且，解得a2＝5，b2＝4．
∴该双曲线的方程为．
8答案：C　解析：依题意a2＝4，b2＝1，，
则F1(，0)，F2(，0)．
设P(x，y)，
则＝(，－y)，＝(，－y)．
＝x2－3＋y2＝x2－3＋1－x2＝，
因为点P在椭圆上，
所以－2≤x≤2，故－2≤x2－2≤1，
故＝∈[0,2]，
即的最大值是2．
9答案：(x≠±6，y≠0)　解析：设C(x，y)，则kAC·kBC＝，整理得4x2＋9y2＝144(x≠±6，y≠0)．
10答案：2　解析：由抛物线的方程可知F(1,0)，由|AB|＝且AB⊥x轴，得，
∴，∴点F到直线x＝3的距离为2．
11答案：　解析：由椭圆的第一定义可知△ABF2的周长为4a＝16，得a＝4，
又离心率为，即，
所以，故a2＝16，b2＝a2－c2＝16－8＝8，
则椭圆C的方程为．
12答案：解：设直线与抛物线的交点为(x1，y1)，(x2，y2)．
由得x2－2(4＋m)x＋16＝0，
所以x1＋x2＝2(4＋m)，x1x2＝16，
所以弦长＝
＝．
由，解得m＝1或m＝－9．
经检验，m＝1或m＝－9均符合题意．
所以所求抛物线的标准方程为y2＝2x或y2＝－18x．
13答案：解：由点F(－ae,0)，点A(0，b)，及得直线FA的方程为，
即．
∵原点O到直线FA的距离为，
∴．解得．
答案：解：设椭圆C的左焦点F关于直线l：2x＋y＝0的对称点为P(x0，y0)，
则有
解得，．
∵P在圆x2＋y2＝4上，∴．
∴a2＝8，b2＝(1－e2)a2＝4．
故椭圆C的方程为，点P的坐标为．
14答案：解：设椭圆C的左焦点F关于直线l：2x＋y＝0的对称点为P(x0，y0)，
则有
解得，．
∵P在圆x2＋y2＝4上，∴．
∴a2＝8，b2＝(1－e2)a2＝4．
故椭圆C的方程为，点P的坐标为．
设点P的坐标为(x0，y0)．
由题意，有．①
由A(－a,0)，B(a,0)，得，．
由kAP·kBP＝，可得x02＝a2－2y02，代入①并整理得(a2－2b2)y02＝0．
由于y0≠0，故a2＝2b2．于是，
所以椭圆的离心率．
答案：解：证明：(方法一)
依题意，直线OP的方程为y＝kx，设点P的坐标为(x0，y0)．由条件得
消去y0并整理得．②
由|AP|＝|OA|，A(－a,0)及y0＝kx0，
得(x0＋a)2＋k2x02＝a2．整理得
(1＋k2)x02＋2ax0＝0．而x0≠0，
于是，代入②，整理得
(1＋k2)2＝．
由a＞b＞0，故(1＋k2)2＞4k2＋4，
即k2＋1＞4，因此k2＞3．所以．
(方法二)
依题意，直线OP的方程为y＝kx，可设点P的坐标为(x0，kx0)，由点P在椭圆上，有．
因为a＞b＞0，kx0≠0，
所以，即(1＋k2)x02＜a2．③
由|AP|＝|OA|，A(－a,0)，
得(x0＋a)2＋k2x02＝a2，
整理得(1＋k2)x02＋2ax0＝0，于是x0＝．
代入③，得(1＋k2)＜a2，解得k2＞3，
所以．