高中数学选择性必修第一册人教A版（2019）2.2.1《直线的点斜式方程》名师课件（共34张PPT）

(共34张PPT)
1、直线的倾斜角定义及其范围：
2、直线的斜率定义：
3、斜率公式：
几何问题代数化
4.数学思想方法：
复习引入
人教A版同步教材名师课件
直线的点斜式方程
学习目标
学 习 目 标 核心素养
了解直线方程的点斜式的推导过程 数学抽象
掌握直线方程的点斜式并会应用 数学运算
掌握直线方程的斜截式,了解截距的概念 数学抽象
学习目标
学习目标：
1.了解直线方程的点斜式的推导过程.
2.掌握直线方程的点斜式并会应用.
3.掌握直线方程的斜截式,了解截距的概念.
学科核心素养：
通过对直线的点斜式方程的学习,培养逻辑推理、数学运算的数学素养.
问题1
(1)过已知点 的每一条直线是否都有一个倾斜角
(2)过已知点的每一条直线是否都有一个对应的斜率
(3)斜率计算公式成立的条件是什么
探究新知
问题2
确定一条直线需要几个独立条件
(1)已知直线上的一点和直线的方向(倾斜角或斜率)
(2)已知直线上的两个点
对于一条确定的直线,该直线上所有点的坐标会满足一个怎样的代数关系呢
探究新知
问题3
设直线经过定点,斜率为2,请写出直线上另一个点的坐标.
,丢掉了点
,补上了点
探究新知
可以看出：直线上任意一个点的坐标满足方程
, 那么坐标满足方程(2)的每一个点是否都在过点且斜率为2的直线上
若点的坐标满足方程(2),即
探究新知
若,则,点与重合,说明点 在直线上;
若,则,说明点与点的直线的斜率为2 ,于是可得点在过点(1,3)斜率为 2 的直线上.
也就是说：直线上任意一个点的坐标都是方程(2)的解,反过来以方程(2)的解为坐标的点都在直线上,所以我们可以把方程(2)叫做过点斜率为 2 的直线的方程.
问题4
将问题推广：把定点改为一般的点,直线的斜率改为,那么直线上的动点的坐标满足怎样的关系呢
方程的解
直线上的点
一一对应
直线的点斜式方程 ：
探究新知
问题5
(1)当直线经过点,且与轴
平行时,直线的方程是 ;
(2)当直线经过点 ,且与轴
垂直时,直线的方程是 ;
特别地： 轴所在直线的方程是 ;
轴所在直线的方程是 ;
探究新知
若直线的斜率为,与轴的交点是,则直线的方程为：
定义：把直线与轴的交点 的纵坐标叫做直线在轴上的截距
直线的斜截式方程 ：
探究新知
问题6
(1)直线的斜截式方程与点斜式方程有什么关系 它们的适用范围是什么
(2)直线的斜截式方程与一次函数的表达式有什么关系
(3)截距是距离吗 一定是正数 是不是所有的直线在y轴上都有截距
探究新知
(2)已知在第一象限的△ABC中,A(1,1),B(5,1),∠A＝60°,∠B＝45°,求：
①AB边所在直线的方程;②AC边与BC边所在直线的方程.
典例讲解
例1、(1)写出满足下列条件的直线方程：
①经过点A(-3,-1),斜率为;
②经过点B(,1),倾斜角是;
③经过点C(0,5)且与轴垂直.
(1)①.
②倾斜角为,则斜率为,所以该直线方程为
.
③因为直线垂直于轴,斜率不存在,所以该直线的方程为
.(轴所在的直线方程)
解析
典例讲解
(2)①如图所示,因为A(1,1), B(5,1),所以轴,
所以边所在直线方程为.
解析
②因为∠A=60°,所以,所以直线的方程为
因为∠B=45° ,所以,所以直线的方程为
(2)已知在第一象限的△ABC中,A(1,1),B(5,1),∠A＝60°,∠B＝45°,求：
①AB边所在直线的方程;②AC边与BC边所在直线的方程.
例1、(1)写出满足下列条件的直线方程：
①经过点A(-3,-1),斜率为;
②经过点B(,1),倾斜角是;
③经过点C(0,5)且与轴垂直.
利用点斜式求直线方程的步骤
(1)判断斜率k是否存在,并求出存在时的斜率;
(2)在直线上找一点,并求出其坐标;
(3)代入公式.
方法归纳
变式训练
1.(1)直线方程为 则( )
.直线过点,斜率为
.直线过点,斜率为
.直线过点,斜率为
.直线过点,斜率为
(2)直线过点且与直线垂直,则直线的方程为.
D
例2、(1)已知直线l的方程是2x＋y－1＝0,求直线的斜率k,在y轴上的截距b,以及与y轴交点P的坐标.
(2)已知直线l1的方程为y＝－2x＋3,l2的方程为y＝4x－2,直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同,求直线l的方程.
(2)由斜截式方程知直线l1的斜率,又因为l∥l1,所以l的斜率.由题意知l2在y轴上的截距为,所以l在y轴上的截距,由斜截式可得直线l的方程为.
(1)由直线l的方程,化为斜截式,得,P点坐标为
典例讲解
解析
(1)用斜截式求直线方程,只要确定直线的斜率和截距即可,要特别注意截距和距离的区别.
(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单,而且特点明显,k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距,只要确定了k和b的值,直线的图象就一目了然.因此,在解决直线的图象问题时,常通过把直线方程化为斜截式方程,利用k,b的几何意义进行判断.
方法归纳
2.(1)直线的方程为.若在轴上的截距为则=_______.
(2)直线的图象如图所示,则抛物线的图象为( )
－1　
A
变式训练
典例讲解
例3、已知直线
(1)当为何值时,;
(2)当为何值时, .
设直线的斜率分别为,则, ,
(1)当时,有解得.
(2)当时, 即
所以,所以.
解析
例3、已知直线
(1)当为何值时,;
(2)当为何值时, .
典例讲解
(1)两直线重合时解之得.
(2)由知,无论为何值,在轴上的截距恒为.即恒过定点
在本例条件不变的情况下：
(1)若两条直线重合,求a的值;
(2)求证：无论a为何值时,直线l2恒过定点,并求出定点.
解析
设直线l1和l2的斜率都存在,其方程分别为
l1：y＝k1x＋b1;l2：y＝k2x＋b2,那么
②若k1＝k2且b1＝b2,则两条直线重合;
①若l1∥l2 k1＝k2且b1≠b2;
③若l1⊥l2 k1·k2＝－1.
方法归纳
3.(1)当a为何值时,直线l1：y＝ x＋2a与直线l2：y＝(a2 2)x＋2平行？
(2)当a为何值时,直线l1：y＝(2a 1)x＋3与直线l2：y＝4x 3垂直？
(1)由题意可知,
∵l1∥l2,解得a＝1.
故当a＝1时,直线l1:y＝－x＋2a与直线l2:y＝(a2-2)x＋2平行.
(2)由题意可知,
∵l1⊥l2,∴4(2a－1)＝ 1,解得a＝.
故当a＝ 时,直线l1：y＝(2a 1)x＋3与直线l2：y＝4x 3垂直.
变式训练
解析
素养提炼
1.直线的点斜式方程形式
直线的点斜式方程不能写成的形式,
因为二者不等价,前者是整条直线,后者表示去掉点
的一条直线.
素养提炼
2.直线的点斜式与斜截式方程的关系
(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊情况,即过定点
,它们都不能表示斜率不存在的直线.
(2)在直线方程的各种形式中,点斜式是最基本的形式,它是推导其他形式的基础.
(3)点斜式与斜截式是两种常见的直线方程的形式,点斜式的形式不唯一,而斜截式的形式是唯一的.
素养提炼
3.直线方程的斜截式与一次函数解析式的区别与联系
(1)斜截式方程中,时,即为一次函数,时,不是一次函数.
(2)一次函数一定可以看成一条直线的斜截式方程.
4.截距与距离的区别
“截距”并非“距离”,一般地,直线与轴(轴)交点的纵坐标(横坐标) 叫做直线在轴(轴)上的截距,截距是一个实数,可正、可负、也可为零,而距离必须大于或等于.
素养提炼
5.两种特殊情况下的直线方程
(1)斜率不存在时：
如果直线过点且与轴垂直,此时其方程不能用点斜式表示,方程为.
(2)斜率为零时：
如果直线过点且与轴平行(或重合),其斜率为,由点斜式方程可得方程为.
(1)直线 恒过点 ;
1.当取任何实数时
(2)直线 恒过点 ;
(3)直线 恒过点 ;
(4)直线 恒过点 ;
当堂练习
2.方程y＝k(x－2)表示(　　)
A.通过点(－2,0)的所有直线
B.通过点(2,0)的所有直线
C.通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线
D.通过点(2,0)且除去x轴的所有直线
易验证直线通过点(2,0),又直线斜率存在,故直线不垂直于x轴.
C
当堂练习
解析
3.倾斜角是30°,且过(2,1)点的直线方程是________________.
∵斜率为tan 30°＝,
∴直线的方程为y－1＝(x－2).
解析
y－1＝(x－2)
4.(1)已知直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直,则a＝________；
由题意可知a(a＋2)＝－1,
解得a＝－1.
(2)若直线l1∶y＝ 与直线l2∶y＝3x－1互相平行,则a＝_______.
由题意可知
解得a＝ .
－1
当堂练习
解析
解析
5.(1)求经过点(1,1),且与直线y＝2x＋7平行的直线的方程；
∵与直线y＝2x＋7平行,
∴该直线斜率为2,
由点斜式方程可得y－1＝2(x－1),
即y＝2x－1
∴所求直线的方程为y＝2x－1.
当堂练习
解析
∵所求直线与直线y＝3x－5垂直,
∴该直线的斜率为－,由点斜式方程得：
y＋2＝－(x＋2),
即y＝－x－.
故所求的直线方程为y＝－x－.
当堂练习
解析
(2)求经过点(－2,－2),且与直线y＝3x－5垂直的直线的方程.
1、直线的点斜式方程 ：
2、直线的斜截式方程 ：
3、设直线l1和l2的斜率都存在,其方程分别为
l1：y＝k1x＋b1;l2：y＝k2x＋b2,那么
②若k1＝k2且b1＝b2,则两条直线重合;
①若l1∥l2 k1＝k2且b1≠b2;
③若l1⊥l2 k1·k2＝－1.
归纳小结
P62 练习 3、4
作 业