高中数学选择性必修第一册人教A版（2019）2.2《直线的方程---直线的点斜式、斜截式方程》教学设计
文档属性
| 名称 | 高中数学选择性必修第一册人教A版（2019）2.2《直线的方程---直线的点斜式、斜截式方程》教学设计 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 275.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-17 16:38:30 | ||
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文档简介
《直线的方程---直线的点斜式、斜截式方程》
教学设计
一、单元内容及其解析
1.内容
直线的点斜式方程，直线的斜截式方程；直线的两点式方程，直线的截距式方程；直线的一般式方程.
本单元知识结：
本单元教学建议用3课时：第1课时，直线的点斜式方程；第2课时，直线两点式方程、一般式方程；第3课时可安排直线的方程的应用，本教学设计中略去此课时的教学设计.
2.内容解析
直线的方程是直角坐标系中直线的代数表示，是确定直线位置几何要素的完全代数刻画.虽然倾斜角是刻画直线倾斜程度的几何要素，但它无法直接用直线上任意两点的坐标定量刻画，而倾斜角的正切值可以用直线上任意两点的坐标定量刻画，这种刻画为我们研究直线带来方便.直线的点斜式方程是经过两点的直线斜率公式的一种“变式”表达，表达的是直线上任意一点坐标与直线的斜率以及所经过的定点坐标之间所满足的代数关系式.直线的方程一方面表示直线上点的坐标都满足这个方程，另一方面表示满足这个方程的解为坐标的点都在这条直线上.
直线的点斜式方程是直线其他形式方程的基础.直线方程的不同形式，是在直角坐标系中，特殊条件下的特殊形式，是点斜式的“变式”.两点式方程是点斜式方程的“变式”表达，桥梁是直线的斜率.斜截式、截距式方程分别是点斜式、两点式方程的特例.直线的点斜式、两点式方程以斜率公式为纽带，将直线上任意一点与确定直线位置的几何要素联系起来，表达了直线上的点坐标所满足的代数关系.
一般式方程揭示了直线方程的代数本质：任意一个二元一次方程表示一条直线，任意一条直线都可以用一个二元一次方程表示.点斜式方程、两点式方程都可以化为一般式方程.
直线方程的建立过程本质上是将确定直线的几何要素（点与方向）代数化的过程，这是学生第一次系统地用坐标法刻画一个几何对象.坐标法是本单元教学的核心，本单元同时还蕴含着数形结合、特殊与一般、分类与整合、化归与转化等数学思想方法.
基于以上分析，确定本单元的教学重点：探究并掌握直线方程的几种形式，体会坐标法.
二、单元目标及其解析
1.目标
根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的三种形式：点斜式、两点式及一般式，体会坐标法.
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）能说出平面直角坐标系中直线的几何特征及其代数表示，知道直线方程是对直角坐标系中直线几何特征的代数刻画.直线上所有点的坐标都满足这个方程，以这个方程的解为坐标的点都在这条直线上.
（2）学生经历由确定直线的几何要素（一点和方向）建立直线点斜式方程的过程，知道点斜式方程是经过两点的直线斜率公式的一种“变式”表达；知道斜截式方程是点斜式方程的特例；会根据已知点的坐标以及直线的斜率写出直线的点斜式方程.
（3）学生经历由直线点斜式方程自主探究建立直线的两点式方程、截距式方程的过程，知道两点式方程是直线点斜式方程的一种“变式”表达；知道截距式方程是两点式方程的特例；会根据两点坐标写出直线的两点式方程.
（4）学生通过对一般式方程的分析，把一般式方程转化为点斜式方程后，认识到任意一个二元一次方程都表示一条直线，任意一条直线都可以用一个二元一次方程表示.
（5）学生会根据确定直线的几何要素写出直线方程，能说出直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程中相关要素的几何意义，能进行不同形式方程的转化.知道点斜式方程是其他所有形式方程的基础，它是经过两点的直线斜率公式的一种“变式”表达，表达的是直线上任意一点满足的代数关系式.这个关系式一方面表示直线上的点满足这个关系式，另一方面表示满足这个关系式的点都在这条直线上.
三、单元教学问题诊断分析
学生在本单元学习之前，已经学习了倾斜角和斜率的概念以及过两点的直线斜率公式，经历了在平面直角坐标系中用代数方法刻画直线的几何特征的过程.在本单元中，学生要通过直线方程的建立，系统地学面直角坐标系中用代数形式表示一个几何对象，体会坐标法.在这一过程中，学生对“什么是直线的方程”“什么是方程的直线”“如何建立直线方程”等问题缺乏认知，这是本单元教学的难点.
为克服以上难点，教学中首先要学生在章引言和前面学习中初步了解坐标法的基础上，思考在直角坐标系中确定直线位置的几何要素，直线上任意一点与这些要素之间的关系，得出坐标满足的代数关系式，其次要重视点斜式方程的教学，要帮助学生从分析确定直线位置的几何要素入手，分析如何用代数方法刻画这些几何要素及要素间的关系，认识直线的方程就是直线上所有点的几何特征的代数表示，进而寻找如何用点的坐标刻画直线的几何特征，通过过两点的直线斜率公式的“变式”表达，建立直线的点斜式方程.另外，结合点斜式方程和一般式方程，让学生体会“直线的方程”和“方程的直线”，认识直线与直线的方程之间的关系，以及从数与形两个角度对研究对象进行研究的思维方法.
四、课时教学设计
第1课时
（一）教学内容
直线的点斜式方程、斜截式方程.
1.能根据确定直线位置的几何要素：点和方向，经历利用斜率公式探索得到直线点斜式方程的过程，认识点斜式方程的意义.
2.能将点斜式方程中涉及的几何要素“点”特殊化，探索并得到直线的斜截式方程.
3.能表述利用坐标法将平面上直线代数化，并得到直线方程的基本过程，知道建立直线方程的意义与价值.
（三）教学重点与难点
重点：直线的点斜式方程.
难点：对建立直线上任意一点与其他要素之间关系中“任意一点”的理解，对直线与点斜式方程之间关系的认识.
（四）教学过程设计
1.创设情境，探究点斜式方程
问题1：在“直线的倾斜角与斜率”的学习中我们知道，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.“直线确定”意味着直线上任意一点的坐标与定点的坐标、斜率两个要素之间的关系是完全确定的.那么，这个关系如何表示呢？下面我们就来研究这个问题.
在平面直角坐标系中，给定一个点和斜率是它们所确定的直线上的任意一点，你能将点的坐标与点的坐标以及之间的关系表示出来吗？
师生活动：画出如图1的图示，学生在独立思考的基础上进行交流，通过讨论由斜率公式得到
化简得
设计意图：通过对直线上任意一点坐标与确定该直线的点和斜率之间关系的探究，体会直线上任意一点的坐标可以由给定点的坐标和斜率确定，这个关系式是唯一的.
2.分析推导过程，归纳直线方程的含义
引导语：下面我们说明为什么关系式是直线的方程，方程为什么表示直线，也就是解决“直线上点的坐标是否都满足方程，以方程的解为坐标的点是否都在直线上”的问题.
问题2：直线由无数个点组成，满足关系式（*）的有序数对也有无数个.回顾刚才的推导过程，你认为直线上的点与这些有序数对之间是一种什么样的关系？你能从集合的角度给出说明吗？
师生活动：通过对上述关系式推导过程的分析，学生容易得到：直线上每一点的坐标都满足这个关系式；反之的过程需要教师作引导，具体如下：
如果点的坐标满足（*）式，则有.
当时，，这时点与重合，点在直线上；
当时，有，这表明过点，的直线的斜率为.因为直线，的斜率都为，且都过点，所以它们重合.所以，点在直线上.即以满足这个关系式的有序数对为坐标的点都在直线上.
如果把直线上所有点组成的集合记作，满足关系式（*）的所有有序数对组成集合记作，那么集合中的元素就与集合中的元素一一对应.
设计意图：通过这个问题的思考与分析，让学生明确：直线上任意一点的坐标都满足关系式；坐标满足关系式的点一定在直线上.从而理解解析几何中直线与它的方程之间一一对应的关系.
3.尝试运用，反思完善
例1直线经过点，且倾斜角，求直线的点斜式方程，并画出直线.
师生活动：学生容易根据确定的条件求出直线的点斜式方程，本题可以由学生独立完成后相互交流.在画直线时，学生可能一开始想不到利用直线方程找出直线上的另一点来共同确定直线，而是直接画点并画倾斜角，对此教师要做好引导.
追问：如果例1中的倾斜角为0°，直线的方程是什么？90°呢？这时直线的斜率分别是多少？
师生活动：师生共同通过计算斜率或结合图形（图2）求得直线方程，并通过将相关条件一般化，得到直线方程的特殊形式.
设计意图：通过例1求方程的过程，进一步加深对点斜式方程的认识，并通过追问的问题，结合图形了解特殊形式的直线方程.
4.一般到特殊，得到斜截式方程
问题3：（1）如果例1中点坐标是，倾斜角不变，直线的方程是什么？与点斜式方程相比，它有什么特殊性？
（2）你能将上述问题中的条件一般化，得到一般性结论吗？
师生活动：师生共同通过计算斜率或结合图形求得直线方程，并通过将相关条件一般化得直线方程的特殊形式：.
在此基础上，师生通过交流给出截距的概念，将方程命名为直线的斜截式方程，并明确方程中与的几何意义（图3）.
追问：如何从直线方程的角度认识一次函数？你能说出一次函数图象的特点吗？
师生活动：学生能想到直线的斜截式方程就是初中所学的一次函数的解析式；从方程的角度看，一次函数也是二元一次方程，它们都表示直线，但一次函数中没有指明的几何意义，而斜截式方程中的具有明确的几何意义.
计意图：在解答例1的基础上，通过追间，让学生经历由一般到特殊的过程，得到直线的斜截式方程.同时从不同角度用联系的眼光看，了解一次函数与斜截式方程的联系与区别.
例2已知直线，讨论：（1）的条件是什么？
（2）l1⊥l2的条件是什么？
师生活动：回顾前面用斜率判断两条直线平行、垂直的结论，分析发现l1∥2，或⊥时，与应满足的关系.
设计意图：通过例2的研讨，提升并强化从直线方程角度判断直线位置关系的能力.
5.布置作业
教科书习题2.2第1，2，3，9题
（五）目标检测设计
1.（1）直线的倾斜角为45°，且经过点，则直线的方程为________;
（2）已知直线在轴上的截距为3，倾斜角的正切值为，则直线的方程为______.
设计意图：考查学生对倾斜角与斜率之间的关系，以及直线点斜式方程的掌握情况
2.已知直线经过点，且直线的倾斜角是直线：的倾斜角的一半，求直线的方程
设计意图：考查学生对倾斜角与斜率的关系，以及直线点斜式方程的掌握情况.
3.已知点，求线段垂直平分线的方程.
设计意图：考查学生对垂直的两条直线的斜率关系，线段中点的坐标公式，以及直线点斜式方程的掌握情况.
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教学设计
一、单元内容及其解析
1.内容
直线的点斜式方程，直线的斜截式方程；直线的两点式方程，直线的截距式方程；直线的一般式方程.
本单元知识结：
本单元教学建议用3课时：第1课时，直线的点斜式方程；第2课时，直线两点式方程、一般式方程；第3课时可安排直线的方程的应用，本教学设计中略去此课时的教学设计.
2.内容解析
直线的方程是直角坐标系中直线的代数表示，是确定直线位置几何要素的完全代数刻画.虽然倾斜角是刻画直线倾斜程度的几何要素，但它无法直接用直线上任意两点的坐标定量刻画，而倾斜角的正切值可以用直线上任意两点的坐标定量刻画，这种刻画为我们研究直线带来方便.直线的点斜式方程是经过两点的直线斜率公式的一种“变式”表达，表达的是直线上任意一点坐标与直线的斜率以及所经过的定点坐标之间所满足的代数关系式.直线的方程一方面表示直线上点的坐标都满足这个方程，另一方面表示满足这个方程的解为坐标的点都在这条直线上.
直线的点斜式方程是直线其他形式方程的基础.直线方程的不同形式，是在直角坐标系中，特殊条件下的特殊形式，是点斜式的“变式”.两点式方程是点斜式方程的“变式”表达，桥梁是直线的斜率.斜截式、截距式方程分别是点斜式、两点式方程的特例.直线的点斜式、两点式方程以斜率公式为纽带，将直线上任意一点与确定直线位置的几何要素联系起来，表达了直线上的点坐标所满足的代数关系.
一般式方程揭示了直线方程的代数本质：任意一个二元一次方程表示一条直线，任意一条直线都可以用一个二元一次方程表示.点斜式方程、两点式方程都可以化为一般式方程.
直线方程的建立过程本质上是将确定直线的几何要素（点与方向）代数化的过程，这是学生第一次系统地用坐标法刻画一个几何对象.坐标法是本单元教学的核心，本单元同时还蕴含着数形结合、特殊与一般、分类与整合、化归与转化等数学思想方法.
基于以上分析，确定本单元的教学重点：探究并掌握直线方程的几种形式，体会坐标法.
二、单元目标及其解析
1.目标
根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的三种形式：点斜式、两点式及一般式，体会坐标法.
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）能说出平面直角坐标系中直线的几何特征及其代数表示，知道直线方程是对直角坐标系中直线几何特征的代数刻画.直线上所有点的坐标都满足这个方程，以这个方程的解为坐标的点都在这条直线上.
（2）学生经历由确定直线的几何要素（一点和方向）建立直线点斜式方程的过程，知道点斜式方程是经过两点的直线斜率公式的一种“变式”表达；知道斜截式方程是点斜式方程的特例；会根据已知点的坐标以及直线的斜率写出直线的点斜式方程.
（3）学生经历由直线点斜式方程自主探究建立直线的两点式方程、截距式方程的过程，知道两点式方程是直线点斜式方程的一种“变式”表达；知道截距式方程是两点式方程的特例；会根据两点坐标写出直线的两点式方程.
（4）学生通过对一般式方程的分析，把一般式方程转化为点斜式方程后，认识到任意一个二元一次方程都表示一条直线，任意一条直线都可以用一个二元一次方程表示.
（5）学生会根据确定直线的几何要素写出直线方程，能说出直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程中相关要素的几何意义，能进行不同形式方程的转化.知道点斜式方程是其他所有形式方程的基础，它是经过两点的直线斜率公式的一种“变式”表达，表达的是直线上任意一点满足的代数关系式.这个关系式一方面表示直线上的点满足这个关系式，另一方面表示满足这个关系式的点都在这条直线上.
三、单元教学问题诊断分析
学生在本单元学习之前，已经学习了倾斜角和斜率的概念以及过两点的直线斜率公式，经历了在平面直角坐标系中用代数方法刻画直线的几何特征的过程.在本单元中，学生要通过直线方程的建立，系统地学面直角坐标系中用代数形式表示一个几何对象，体会坐标法.在这一过程中，学生对“什么是直线的方程”“什么是方程的直线”“如何建立直线方程”等问题缺乏认知，这是本单元教学的难点.
为克服以上难点，教学中首先要学生在章引言和前面学习中初步了解坐标法的基础上，思考在直角坐标系中确定直线位置的几何要素，直线上任意一点与这些要素之间的关系，得出坐标满足的代数关系式，其次要重视点斜式方程的教学，要帮助学生从分析确定直线位置的几何要素入手，分析如何用代数方法刻画这些几何要素及要素间的关系，认识直线的方程就是直线上所有点的几何特征的代数表示，进而寻找如何用点的坐标刻画直线的几何特征，通过过两点的直线斜率公式的“变式”表达，建立直线的点斜式方程.另外，结合点斜式方程和一般式方程，让学生体会“直线的方程”和“方程的直线”，认识直线与直线的方程之间的关系，以及从数与形两个角度对研究对象进行研究的思维方法.
四、课时教学设计
第1课时
（一）教学内容
直线的点斜式方程、斜截式方程.
1.能根据确定直线位置的几何要素：点和方向，经历利用斜率公式探索得到直线点斜式方程的过程，认识点斜式方程的意义.
2.能将点斜式方程中涉及的几何要素“点”特殊化，探索并得到直线的斜截式方程.
3.能表述利用坐标法将平面上直线代数化，并得到直线方程的基本过程，知道建立直线方程的意义与价值.
（三）教学重点与难点
重点：直线的点斜式方程.
难点：对建立直线上任意一点与其他要素之间关系中“任意一点”的理解，对直线与点斜式方程之间关系的认识.
（四）教学过程设计
1.创设情境，探究点斜式方程
问题1：在“直线的倾斜角与斜率”的学习中我们知道，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.“直线确定”意味着直线上任意一点的坐标与定点的坐标、斜率两个要素之间的关系是完全确定的.那么，这个关系如何表示呢？下面我们就来研究这个问题.
在平面直角坐标系中，给定一个点和斜率是它们所确定的直线上的任意一点，你能将点的坐标与点的坐标以及之间的关系表示出来吗？
师生活动：画出如图1的图示，学生在独立思考的基础上进行交流，通过讨论由斜率公式得到
化简得
设计意图：通过对直线上任意一点坐标与确定该直线的点和斜率之间关系的探究，体会直线上任意一点的坐标可以由给定点的坐标和斜率确定，这个关系式是唯一的.
2.分析推导过程，归纳直线方程的含义
引导语：下面我们说明为什么关系式是直线的方程，方程为什么表示直线，也就是解决“直线上点的坐标是否都满足方程，以方程的解为坐标的点是否都在直线上”的问题.
问题2：直线由无数个点组成，满足关系式（*）的有序数对也有无数个.回顾刚才的推导过程，你认为直线上的点与这些有序数对之间是一种什么样的关系？你能从集合的角度给出说明吗？
师生活动：通过对上述关系式推导过程的分析，学生容易得到：直线上每一点的坐标都满足这个关系式；反之的过程需要教师作引导，具体如下：
如果点的坐标满足（*）式，则有.
当时，，这时点与重合，点在直线上；
当时，有，这表明过点，的直线的斜率为.因为直线，的斜率都为，且都过点，所以它们重合.所以，点在直线上.即以满足这个关系式的有序数对为坐标的点都在直线上.
如果把直线上所有点组成的集合记作，满足关系式（*）的所有有序数对组成集合记作，那么集合中的元素就与集合中的元素一一对应.
设计意图：通过这个问题的思考与分析，让学生明确：直线上任意一点的坐标都满足关系式；坐标满足关系式的点一定在直线上.从而理解解析几何中直线与它的方程之间一一对应的关系.
3.尝试运用，反思完善
例1直线经过点，且倾斜角，求直线的点斜式方程，并画出直线.
师生活动：学生容易根据确定的条件求出直线的点斜式方程，本题可以由学生独立完成后相互交流.在画直线时，学生可能一开始想不到利用直线方程找出直线上的另一点来共同确定直线，而是直接画点并画倾斜角，对此教师要做好引导.
追问：如果例1中的倾斜角为0°，直线的方程是什么？90°呢？这时直线的斜率分别是多少？
师生活动：师生共同通过计算斜率或结合图形（图2）求得直线方程，并通过将相关条件一般化，得到直线方程的特殊形式.
设计意图：通过例1求方程的过程，进一步加深对点斜式方程的认识，并通过追问的问题，结合图形了解特殊形式的直线方程.
4.一般到特殊，得到斜截式方程
问题3：（1）如果例1中点坐标是，倾斜角不变，直线的方程是什么？与点斜式方程相比，它有什么特殊性？
（2）你能将上述问题中的条件一般化，得到一般性结论吗？
师生活动：师生共同通过计算斜率或结合图形求得直线方程，并通过将相关条件一般化得直线方程的特殊形式：.
在此基础上，师生通过交流给出截距的概念，将方程命名为直线的斜截式方程，并明确方程中与的几何意义（图3）.
追问：如何从直线方程的角度认识一次函数？你能说出一次函数图象的特点吗？
师生活动：学生能想到直线的斜截式方程就是初中所学的一次函数的解析式；从方程的角度看，一次函数也是二元一次方程，它们都表示直线，但一次函数中没有指明的几何意义，而斜截式方程中的具有明确的几何意义.
计意图：在解答例1的基础上，通过追间，让学生经历由一般到特殊的过程，得到直线的斜截式方程.同时从不同角度用联系的眼光看，了解一次函数与斜截式方程的联系与区别.
例2已知直线，讨论：（1）的条件是什么？
（2）l1⊥l2的条件是什么？
师生活动：回顾前面用斜率判断两条直线平行、垂直的结论，分析发现l1∥2，或⊥时，与应满足的关系.
设计意图：通过例2的研讨，提升并强化从直线方程角度判断直线位置关系的能力.
5.布置作业
教科书习题2.2第1，2，3，9题
（五）目标检测设计
1.（1）直线的倾斜角为45°，且经过点，则直线的方程为________;
（2）已知直线在轴上的截距为3，倾斜角的正切值为，则直线的方程为______.
设计意图：考查学生对倾斜角与斜率之间的关系，以及直线点斜式方程的掌握情况
2.已知直线经过点，且直线的倾斜角是直线：的倾斜角的一半，求直线的方程
设计意图：考查学生对倾斜角与斜率的关系，以及直线点斜式方程的掌握情况.
3.已知点，求线段垂直平分线的方程.
设计意图：考查学生对垂直的两条直线的斜率关系，线段中点的坐标公式，以及直线点斜式方程的掌握情况.
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