高中数学选择性必修第一册人教A版（2019）2.2《直线的倾斜角斜率方程交点坐标与距离公式》课时3 教学设计

《直线的倾斜角斜率方程交点坐标与距离公式》教学设计
课时3直线的点斜式方程
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
直线的倾斜角与斜率 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理 【考查内容】 1.掌握确定直线位置的几何要素. 2.掌握直线方程的三种形式. 3.通过直线的方程研究两条直线的位置关系,交点坐标和点到直线的距离公式. 【考查题型】 填空题,选择题,与其余章节知识结合的解答题
直线的方程 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理 数学建模
直线的交点坐标与距离公式 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理
一、本节内容分析
直线与方程作为高中平面解析几何的第一章,既是对初中所学“一次函数”的延展,又是后续学习“圆与方程,圆锥曲线与方程”的基石,它起着承上启下的作用.在用有序实数对表示点之后,直线作为平面中最简单的图形,它的坐标化既是自然延续,又是圆与圆锥曲线坐标化的前提,这体现了教材编排的系统性,以及由易到难,由浅入深的编排特点.而坐标法作为连接“形”与“数”的桥梁,集中地体现了数形结合的数学思想,这种思想贯穿全章乃至平面解析几何始末.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.直线的倾斜角与斜率 2.直线的方程 3.直线的交点坐标与距离公式 直观想象 数学抽象 逻辑推理 数学运算 数学建模 核心素养
二、学情整体分析
从认知水平和能力方面,高中二年级学生具有较强的观察、分析、概括能力,有着较丰富的学习经验及活动经验,形成了自发的参与意识和合作意识,可以很好地理解直线的倾斜角、斜率、直线的方程、直线平行与垂直、两条直线的交点及距离公式等知识.从学生特点方面,学生基础知识较扎实,具有一定的独立思考能力和反思总结能力,但对数学思想方法的体会和感悟还有待进一步加强.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.直线的倾斜角与斜率
2.两条直线平行和垂直的判定
3.直线的点斜式方程
4.直线的两点式方程
5.直线的一般式方程
6.两条直线的交点坐标
7.两点间的距离公式
8.点到直线的距离公式
9.两条平行线间的距离
【教学目标设计】
1.通过“回顾与梳理”使学生理解倾斜角等基本概念,掌握距离公式等主要知识;
2.通过知识的再现与延展使学生理解知识间的内在联系,形成系统的知识结构;
3.学生体会数形结合思想,初步形成主动在“数”与“形”之间进行转化的意识.
【教学策略设计】
根据高二学生易于控制自身注意力,乐于合作探究,勤于思考与发现的认知特点,本节课采用自主发现与合作探究的教学方法.教学中,通过回顾与梳理,多次让学生经历“独立思考—师生交流—归纳提升”的学习过程,教师在学生独立完成的基础上对基础知识和基本技能进行归纳、联系、提升,对易错、易混知识通过问题驱动的方式进行辨析梳理,让学生牢固理解掌握本节主要内容,形成系统的知识体系,并在教师的引导下体会数形结合的过程.为了突破难点,本课设计了探究与发现环节,设置了“独立思考—小组合作—交流分享”的学习过程,通过该环节,让学生体会代数问题几何化和几何问题代数化带来的美感,感受数形结合思想和化归的数学思想.整个过程中,让学生始终专注于问题解决中,处于积极思考和合作探究的积极状态中,建构自己的知识和思维体系.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式.
3.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
4.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),体会斜截式与一次函数的关系.
5.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
6.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.
难点:
体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导中的作用.
【教学材料准备】
1.常规材料:直尺、多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:过已知点的直线有多少条
生:无数条.
师:斜率为的直线有多少条
生:无数条.
师:过已知点,且斜率为的直线有多少条
生:一条.
师:确定一条直线需要几个独立条件
生:已知直线上的一点和直线的方向(斜率或倾斜角).
师:在直角坐标系中,已知直线上两点和,如何表示直线的斜率
生:(其中为直线与直角坐标系中轴的夹角).
师:提醒:与轴平行的直线的斜率为0,与轴平行的直线没有斜率.
师:我们知道,给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.这样,在平面直角坐标系中,给定一个点和斜率(或倾斜角),就能唯一确定一条直线.也就是说,这条直线上任意一点的坐标与点的坐标和斜率之间的关系是完全确定的.那么这一关系如何表示呢 下面我们就来研究这个问题.
【设情境,巧激趣】
检测学生前面两节课的学习效果,同时也为本节课的顺利开展做必要的准备,使学生在已有知识和经验的基础上,探索新知.
教学精讲
探究1 直线的点斜式方程
【情景设置】
直线上的点
若直线经过点,斜率为,点在直线上运动,那么点的坐标应满足什么条件
【学生思考,合作交流,回答问题,教师予以肯定】
师:当点在直线上运动时,点与定点所确定的直线的斜率等于,故有
, (1)
即 , (2)
即 . (3)
师:点的坐标满足上述各方程吗
生:方程(1)中,丢掉了点;
方程(2)及(3)中,补上点.
师:直线上任意一点的坐标与方程(2)或(3)的解有什么关系
生:当点在直线上运动时,其坐标满足.反过来,以方程的解为坐标的点都在直线上.
【先学后教】
让学生知道该直线方程由直线上一定点及其斜率确定,所以叫做直线的点斜式方程,培养学生自主探索的能力,并体会直线的方程,就是直线上任意一点的坐标(x,y)满足的关系式,从而掌握根据条件求直线方程的方法.
师:直线经过点,且斜率为.设点是直线上的任意一点,请根据斜率公式建立与之间的关系.
【学生思考,合作交流,回答问题,教师予以肯定】
生:根据斜率公式,可以得到,当时,,
即.(1)
师:(1)由,斜率确定的直线上的任意点都满足方程(1)吗
【简单问题解决能力】
根据直线点斜式方程知识的学习,学生会用其解决相关问题.
(2)满足方程(1)的点的坐标都在经过,斜率为的直线上吗
设点的坐标满足方程(1),
即.
若,则,说明点与点重合,可得点在直线上;
若,则,这说明过点和点的直线的斜率为,可得点在过点,斜率为的直线上.
生:可以验证,直线上的每个点(包括点)的坐标都是这个方程)的解;反过来,以这个方程的解为坐标的点都在直线上.
师:直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢
【意义学习】
根据推导出的结论使学生明确直线上的点的坐标与方程的解一一对应.检验推导的合理性.
【学生思考并提问回答】
生:当直线与轴垂直时,斜率不存在,其方程不能用点斜式表示.但因为上每一点的横坐标都等于,所以它的方程是.
当直线与轴垂直时,斜率为0,其方程能用点斜式表示.但因为上每一点的纵坐标都等于,所以它的方程是,实际上可写为.
师:特别地,轴、轴所在的直线的方程分别为什么
生:和.
师:直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢
生:我们知道与轴平行的直线没有斜率,所以与轴平行的直线没有点斜式方程.
师:经过点的直线有无数条,可分为两类:
(1)斜率存在的直线:方程为;
(2)斜率不存在的直线:方程为.
【以学论教】
进一步使学生理解直线的点斜式方程的适用范围和作图方法,掌握特殊直线方程的表示形式.
【要点知识】
点斜式方程
由直线上一定点及该直线的斜率确定,所以把叫做直线的点斜式方程,简称点斜式.
师:下面我们来做巩固练习.
【巩固练习】
直线的点斜式方程
直线经过点,且倾斜角,求直线的点斜式方程,并画出直线.
生解:直线经过点,斜率,代入点斜式方程得.
画图时,只需再找出直线上的另一点,例如,取,则,得点的坐标为,过两点的直线即为所求,如图所示.
【概括理解能力】
根据师生的实践活动巩固新学知识和运用新学知识,培养学生的推理能力和数学运算能力.
探究2 直线的斜截式方程
【情景设置】
直线斜截式方程的应用
已知直线的斜率为,且与轴的交点为,求直线的方程.
【学生思考,合作交流,回答问题,教师予以肯定】
【活动学习】
让学生懂得斜截式方程源于点斜式方程,是点斜式方程的一种特殊情形.使学生理解“截距”与“距离”两个概念的区别.
生:由直线的点斜式我们求出直线的方程:.(2)
师:叫做直线在轴上的截距.直线的斜截式方程中的“”及直线“在轴上的截距”,也叫“纵截距”.直线与轴交点的坐标是,截距和距离的区别是什么
生:的值可正可负,也可以是0.距离一定是大于等于0的数.
师:方程(2)由哪两个条件确定呢
生:直线的斜率和截距确定.
师:观察方程与,它们有什么联系
生:当换成时,即为.
斜截式是点斜式的特殊情况.
师:直线与轴交点的横坐标,我们对称地称之为直线“在轴上的截距”,也可称“横截距”,直线的横截距是什么
生:.
【深度学习】
由学生独立求出直线l的方程y=kx+b,可以用斜截式,也可以用点斜式的结论,巩固新学知识和运用.让学生知道斜截式是点斜式的特殊情况.
师:任何直线都能用斜截式表示吗
生:当直线的斜率不存在时,直线不能用斜截式表示.直线的斜截式方程、点斜式方程适用范围:直线的斜率存在.
【要点知识】
斜截式方程
方程,由直线的斜率与它在轴上的截距确定的方程叫做直线的斜截式方程,简称斜截式.
师:由直线的斜截式方程可以联想到我们学习过的哪类函数
生:一次函数.
师:你如何从直线方程的角度认识一次函数 一次函数中和斜截式方程的有何区别
【学生思考,合作交流,回答问题,教师予以肯定】
生:直线的斜截式方程与一次函数的表达式虽然有着相同的“面孔”,但有着本质的区别,前者的可以为0,后者的却不可为0.即集合一次函数的图象是集合斜截式方程表示的直线的真子集.
师:在同一平面直角坐标系中作出直线
这些方程表示的直线有什么共同特点 你能用一个方程表示出它们来吗
生:方程.
师:当取任意实数时,方程表示的直线都经过点,它们是一组共点直线.这组直线包括所有过点的直线吗
生:不含过点的直线.
师:在同一平面直角坐标系中作出直线
这些方程表示的直线有什么共同特点？你能用一个方程表示出它们来吗？
生:方程.
师:当取任意实数时,方程表示的直线彼此平行,它们是一组平行直线,它们斜率相等,纵截距不等.
【说明论证能力】
巩固新学知识和结论,让学生更加了解方程的结构特征,并总结直线的斜截式方程与点斜式、一次函数的关系,培养学生的说明论证能力.
【活动学习】
让学生动手画图,先做到直观感知,教师通过多媒体的演示,进行操作确认,体现和贯彻新课改的理念.
【典型例题】
例2 已知直线,试讨论:(1)的条件是什么 (2)的条件是什么
【整体学习】
通过旧知识中利用斜率判断两直线平行和垂直的结论来推出当直线用斜截式表示时,平行和垂直的条件,达到新旧知识的融会贯通,学生易于接受和理解.
【教师分析】回顾前面用斜率判断两条直线平行、垂直的结论,可以发现或时,与应满足的关系.
生解:(1)若,则,此时与轴的交点不同,即;反之,若,且,则.
(2)若,则;反之,若,则.
师:当两条直线用斜截式表示时,它们平行和垂直的条件是什么
【要点知识】
平行和垂直的条件
对于直线,且.
【概括理解能力】
掌握从直线方程的角度判断两条直线相互平行,或相互垂直；进一步理解斜截式方程中k,b的几何意义.
师:请同学们课下完成下列巩固练习.
【巩固练习】
直线的点斜式方程
1.当取任何实数值时,
(1)直线恒过点______.
(2)直线恒过点_______.
(3)直线恒过点_______.
2.直线的图象可能是( ).
【意义学习】
巩固新学知识和结论,部分同学会在一些问题上出现错误,适时强调斜截式的结构特征,并体会直线的斜截式方程和点斜式方程的区别.
师:通过这节课,你们学到了哪些知识
【教师引导,学生回答,师生合作,共同总结本节知识点】
【课堂小结】
直线的点斜式方程
1.直线的点斜式方程:.
2.直线的斜截式方程:.
3.直线斜截式方程是点斜式方程的一种特殊情形.
【设计意图】
让学生总结本节课的知识点,再以多媒体形式呈现出来,教师渗透数学思想方法,让学生慢慢体会.
教学评价
直线作为常见的简单几何图形,在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.直线的方程是解析几何的基础知识,对直线的方程的理解,直接影响学生能否培养起解析几何的思想方法,对后续研究的圆、直线与圆的位置关系、圆锥曲线及直线与圆锥曲线的位置关系等内容有着很重要的作用.本部分首先在平面直角坐标系中,介绍直线的倾斜角、斜率等概念;然后建立直线的方程:点斜式、斜截式、两点式、截距式等:通过直线的方程,研究直线间的位置关系:平行和垂直,以及两条直线的交点坐标、点到直线的距离公式等.
根据本部分的教学内容特点,为了更有效地突出重点、突破难点,按照学生的认知规律,遵循教师为主导,学生为主体,训练为主线的指导思想,在教师的指导下,分析、启发、诱导学生,创设数学学习情境,让学生自主回忆直线方程的不同形式、局限性以及其中所涉及的公式,使他们能积极主动地参与到数学学习活动中来.学生对本部分的知识体系有一个总体的把握,对几块知识的重点题型有一个良好的掌握,初步掌握用代数去研究几何问题这一新的思想方法.本部分知识之间内部联系非常大,在复习过程中难点比较容易突破,因此,采用自学加点拨的方式,培养学生学习和分析问题、解决问题的能力,在合作学习中培养学生的探究意识和数学思维.
【设计意图】
引导学生整理知识,使其体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,让学生在运用课程教学过程中所学到的学科能力(概括理解、简单问题解决、分析计算)解决问题,从而达到数学抽象、数学直观、数学运算、逻辑推理的核心素养目标要求.
应用所学知识,完成下面各题:
1.已知直线倾斜角的范围是,则此直线的斜率的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解析:根据直线的倾斜角和斜率的关系:,联系三角函数的正切函数图象可得.具体解题过程如下:
因为直线倾斜角的范围是,又直线的斜率.故或.
故.
答案:
【分析计算能力】
解决直线的倾斜角与斜率的计算问题,明确二者的关系后要尽量充分地利用三角函数中正切函数的图象的性质,利用几何法解题要比解析方法来得简捷.
2.已知直线与互相平行,则的值是________.
解析:本题考查两直线平行与系数的关系,考查学生的运算求解能力.两直线平行,则;两直线垂直,则.具体解题过程如下:
直线与互相平行,
∴,整理得,解得或5.
当时,直线,两直线平行;
当时,直线,两直线平行.
因此,或5.
答案:3或5
3.在平面直角坐标系中,已知的顶点.
(1)求边上的高所在直线的方程;
(2)求的面积.
解析:(1)根据斜率公式,结合两直线垂直时斜率之间的关系,用直线的点斜式方程进行求解即可;(2)利用点到直线距离公式和两点间距离公式,结合三角形面积公式进行求解即可.具体解题过程如下:
(1)由题意,,
因此边上的高所在直线的斜率为,
所以边上的高所在直线的方程为,即.
(2),
边所在直线方程为,即,
点到的距离,所以的面积.
【概括理解能力】
学生从具体问题中归纳总结出一般问题的解决方法,便于今后再遇到此类问题时能用通性、通法解决,提高学生的概括理解能力.
4.已知直线的倾斜角是直线的倾斜角的,且过点.
(1)求的方程;
(2)若直线与直线平行,且点到直线的距离为3,求直线的方程.
解析:本题考查直线方程和倾斜角的关系和直线的点斜式方程、点到直线的距离转化为两条平行线间的距离.具体解题过程如下:
(1)∵直线的方程为,
∴,倾斜角,
由题知所求直线的倾斜角为,即斜率为,
∵直线经过点,
∴所求直线的方程为,
即.
(2)∵直线与平行,可设直线的方程为,
∴,
即,
∴或,
∴所求直线的方程为或.
【简单问题解决能力】
通过习题及时进行总结,同时检查学生本节课的学习效果,主要是为了让学生查漏补缺,巩固提升.
【综合问题解决能力】
习题考查点到直线的距离公式,分类讨论斜率存在和不存在时分别求出直线方程,可以培养学生分类讨论的思想和化归与转化的思想.通过此练习,学生今后对易错点会更加注意.
5.已知直线过点.
(1)若原点到直线的距离为2,求直线的方程;
(2)当原点到直线的距离最大时,求直线的方程.
解析:本题考查求直线方程,讨论直线斜率存在和不存在两种情况;当原点到直线的距离最大时,直线.计算可得答案.具体解题过程如下:
(1)①当直线的斜率不存在时,方程符合题意;
②当直线的斜率存在时,设斜率为,则方程为,即.根据题意,得,解得,则直线的方程为.
故直线的方程为或.
(2)当原点到直线的距离最大时,直线.
因为,所以直线的斜率,
所以其方程为,即.
【以学定教】
本节首先探究确定直线位置的几何要素和它们在平面直角坐标系中的表示,建立直线的方程,然后通过方程,用代数方法研究有关的几何问题:判定两直线的位置关系、求两条直线的交点坐标、计算点到直线的距离等.代数方法研究直线问题的基本思路是在平面直角坐标系中建立直线的方程,通过方程,用代数方法解决几何问题,具备了一定的抽象概括、推理论证、运算求解和数据处理能力.
教学反思
高二学生具备探索精神,有了一定学科素养基础,对于直线以及方程的概念理解、概括有优势,对于建立坐标系、用代数方法研究几何问题,是初步接触,需要强化这一思想,培养数学建模的核心素养,为今后其他解析几何知识的学习打下基础.
【以学论教】
根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中的方法和策略的成功之处、不足之处及改进方法.
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