高中数学选择性必修第一册人教A版（2019）2.2《直线的倾斜角斜率方程交点坐标与距离公式》课时4 教学设计

《直线的倾斜角斜率方程交点坐标与距离公式》教学设计
课时4直线的两点式方程
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
直线的倾斜角与斜率 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理 【考查内容】 1.掌握确定直线位置的几何要素. 2.掌握直线方程的三种形式. 3.通过直线的方程研究两条直线的位置关系,交点坐标和点到直线的距离公式. 【考查题型】 填空题,选择题,与其余章节知识结合的解答题
直线的方程 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理 数学建模
直线的交点坐标与距离公式 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理
一、本节内容分析
直线与方程作为高中平面解析几何的第一章,既是对初中所学“一次函数”的延展,又是后续学习“圆与方程,圆锥曲线与方程”的基石,它起着承上启下的作用.在用有序实数对表示点之后,直线作为平面中最简单的图形,它的坐标化既是自然延续,又是圆与圆锥曲线坐标化的前提,这体现了教材编排的系统性,以及由易到难,由浅入深的编排特点.而坐标法作为连接“形”与“数”的桥梁,集中地体现了数形结合的数学思想,这种思想贯穿全章乃至平面解析几何始末.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.直线的倾斜角与斜率 2.直线的方程 3.直线的交点坐标与距离公式 直观想象 数学抽象 逻辑推理 数学运算 数学建模 核心素养
二、学情整体分析
从认知水平和能力方面,高中二年级学生具有较强的观察、分析、概括能力,有着较丰富的学习经验及活动经验,形成了自发的参与意识和合作意识,可以很好地理解直线的倾斜角、斜率、直线的方程、直线平行与垂直、两条直线的交点及距离公式等知识.从学生特点方面,学生基础知识较扎实,具有一定的独立思考能力和反思总结能力,但对数学思想方法的体会和感悟还有待进一步加强.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.直线的倾斜角与斜率
2.两条直线平行和垂直的判定
3.直线的点斜式方程
4.直线的两点式方程
5.直线的一般式方程
6.两条直线的交点坐标
7.两点间的距离公式
8.点到直线的距离公式
9.两条平行线间的距离
【教学目标设计】
1.通过“回顾与梳理”使学生理解倾斜角等基本概念,掌握距离公式等主要知识;
2.通过知识的再现与延展使学生理解知识间的内在联系,形成系统的知识结构;
3.学生体会数形结合思想,初步形成主动在“数”与“形”之间进行转化的意识.
【教学策略设计】
根据高二学生易于控制自身注意力,乐于合作探究,勤于思考与发现的认知特点,本节课采用自主发现与合作探究的教学方法.教学中,通过回顾与梳理,多次让学生经历“独立思考—师生交流—归纳提升”的学习过程,教师在学生独立完成的基础上对基础知识和基本技能进行归纳、联系、提升,对易错、易混知识通过问题驱动的方式进行辨析梳理,让学生牢固理解掌握本节主要内容,形成系统的知识体系,并在教师的引导下体会数形结合的过程.为了突破难点,本课设计了探究与发现环节,设置了“独立思考—小组合作—交流分享”的学习过程,通过该环节,让学生体会代数问题几何化和几何问题代数化带来的美感,感受数形结合思想和化归的数学思想.整个过程中,让学生始终专注于问题解决中,处于积极思考和合作探究的积极状态中,建构自己的知识和思维体系.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式.
3.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
4.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),体会斜截式与一次函数的关系.
5.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
6.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.
难点:
体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导中的作用.
【教学材料准备】
1.常规材料:直尺、多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:经过一点,且已知斜率的直线,我们可以求出它的点斜式方程;已知斜率,且与轴的交点为的直线,可以求出它的斜截式方程.如果已知直线经过两点,,如何求直线的方程呢
生:可以先求出斜率,再选择一点,得到点斜式方程.求出,直线的方程为.
师:那思考一下,已知两点,如何利用这两点来确定直线方程呢
教学精讲
探究1 直线的两点式方程
【情景设置】
两点确定直线
问题:已知两点,求这两点确定的直线方程.
师:已知两点确定的直线有哪几种可能
生:可能是垂直于轴的直线,可能是垂直于轴的直线,还可能是与轴都不垂直的直线.
师:每种情况下,直线方程怎么表示
【学生思考,合作交流,回答问题,教师予以点拨】
【以学论教】
通过对直线几何要素及点斜式方程的回顾,提出问题,让学生初步体会坐标法的思想方法,并提出问题,明确研究问题运用方程的思想,求解直线两点式方程.
生:时,直线与轴垂直,所以直线方程为;当时,直线与轴垂直,直线方程为.
对于与轴都不垂直的直线:当时,这时直线不与轴垂直,总存在斜率,因此可以化归成点斜式来做..
师:能不能把式子化得更简洁更美观呢
生:当,我们可以把方程写成.
师:对于这种方程叫做直线的两点式方程.显然.
【要点知识】
直线的两点式方程
当时,方程可以写成
由于这个直线方程由两点确定,所以我们把它叫直线的两点式方程,简称两点式.
师:直线的两点式方程可以表示平面内每一条直线吗 (局限性)
生:用来描述和轴、轴都有交点的直线,垂直于轴、垂直于轴的直线没有两点式.
师:上面直线两点式的建立过程中,我们是把除到左边来的,能不能把除过来,写成的形式 为什么
生:和表示的不是同一图形.
【概括理解能力】
使学生学习与理解两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式.
师:明确只要已知两点满足两点式条件,就不需求斜率,直接由两点式写出方程.
【典型例题】
直线的两点式方程
例1 已知两点.(1)求直线的方程;(2)若点在直线上,求实数的值.
【教师分析】首先要判断适合不适合两点式的条件.
生解:(1)根据题意,由直线方程的两点式可得,整理可得直线的方程为;
(2)将点的坐标代入直线的方程,可得,解得.
【分析计算能力】
通过典型例题的分析和解决,让学生加深对利用两点式求解直线方程的方法,提升运用能力,发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养.
探究2 直线的截距式方程
师:当已知两点分别在两坐标轴上时,我们来看看直线的两点式方程变成什么样子.
【典型例题】
例2 已知直线与轴的交点为,与轴的交点为,其中,求直线的方程.
【以学定教】
使学生学会用两点式求直线方程;理解截距式源于两点式,是两点式的特殊情形
生解:将两点的坐标代入两点式,得
即(2)
我们把直线与轴交点的横坐标叫做直线在轴上的截距,此时直线在轴上的截距是.方程(2)由直线在两个坐标轴上的截距与确定,所以叫做直线的截距式方程.
【要点知识】
直线的截距式方程
我们把直线与轴的交点的横坐标叫做直线在轴上的截距,此时直线在轴上的截距是.方程由直线在两条坐标轴上的截距与确定,我们把方程叫做直线的截距式方程,简称截距式.
【先学后教】
教师先给出截距式方程的概念,再通过提问引导学生理解回答截距式方程的有关性质.
师:截距式方程能描述平面内所有直线吗 哪些直线描述不了
生:不能;截距不存在或截距为零.截距式方程不能表示垂直于两坐标轴的直线和过原点的直线.
师:两点式能不能描述过原点的直线
生:可以.两点式方程只是没法表示平行于坐标轴的直线,其他的所有直线都可以用两点式方程来表示.
【典型例题】
两点式方程的应用
例3 已知三角形的三个顶点,求这个三角形三边所在直线的方程以及边上中线所在直线的方程.
【概括理解能力】
直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程可以直接读出直线在x轴和y轴上的截距,通过推理了解直线截距式方程的形式特点及适用范围.
生解:过的两点式方程为
整理得
这就是边所在直线的方程.
如图,边上的中线是顶点与边中点所连线段,由中点坐标公式可得点的坐标为,即.
过两点的直线方程为
整理得
即
这就是边上中线所在直线的方程.
直线过两点,由两点式得,即,这就是直线的方程.
直线在轴、轴上的截距分别是,由截距式得,即,这就是直线的方程.
【分析计算能力】
让学生学会根据题目中所给的条件,选择恰当的直线方程解决问题,发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养.
师:下面请看巩固练习.
【巩固练习】
截距式方程的应用
求过点,且在两坐标轴上截距相等的直线的方程.
生解:当直线在两坐标轴上截距都为零,即直线过原点时,
∵直线过点直线的斜率为,此时直线方程为;
当直线在两坐标轴上的截距相等且不为零时,设截距为,则直线的截距式方程为,即,
∵直线过点,解得,
∴直线方程为,
综上,所求直线方程为和.
【简单问题解决能力】
通过巩固练习进行实践探索,让学生自行总结归纳,培养学生的概括能力,加深对截距式方程的应用的理解和适用条件的区分.
师:这节课我们学习了哪些知识 来做一下总结.
【课堂小结】
直线的两点式方程
1.直线的两点式方程及其局限性.
2.直线的截距式方程及其局限性.
3.直线的两点式方程和截距式方程的联系和区别.
【设计意图】
增强学生对直线方程四种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式)之间的联系的理解.师生共同解决问题,知识构建过程充分调动学生的积极性,始终贯彻教师为主导,学生为主体,探究为主线,思维为核心的教学思想.
教学评价
直线作为常见的简单几何图形,在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.直线的方程是解析几何的基础知识,对直线的方程的理解,直接影响学生能否培养起解析几何的思想方法,对后续研究的圆、直线与圆的位置关系、圆锥曲线及直线与圆锥曲线的位置关系等内容有着很重要的作用.本部分首先在平面直角坐标系中,介绍直线的倾斜角、斜率等概念;然后建立直线的方程:点斜式、斜截式、两点式、截距式等:通过直线的方程,研究直线间的位置关系:平行和垂直,以及两条直线的交点坐标、点到直线的距离公式等.
根据本部分的教学内容特点,为了更有效地突出重点、突破难点,按照学生的认知规律,遵循教师为主导,学生为主体,训练为主线的指导思想,在教师的指导下,分析、启发、诱导学生,创设数学学习情境,让学生自主回忆直线方程的不同形式、局限性以及其中所涉及的公式,使他们能积极主动地参与到数学学习活动中来.学生对本部分的知识体系有一个总体的把握,对几块知识的重点题型有一个良好的掌握,初步掌握用代数去研究几何问题这一新的思想方法.本部分知识之间内部联系非常大,在复习过程中难点比较容易突破,因此,采用自学加点拨的方式,培养学生学习和分析问题、解决问题的能力,在合作学习中培养学生的探究意识和数学思维.
【设计意图】
引导学生整理知识,使其体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,让学生在运用课程教学过程中所学到的学科能力(概括理解、简单问题解决、分析计算)解决问题,从而达到数学抽象、数学直观、数学运算、逻辑推理的核心素养目标要求.
应用所学知识,完成下面各题:
1.已知直线倾斜角的范围是,则此直线的斜率的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解析:根据直线的倾斜角和斜率的关系:,联系三角函数的正切函数图象可得.具体解题过程如下:
因为直线倾斜角的范围是,又直线的斜率.故或.
故.
答案:
【分析计算能力】
解决直线的倾斜角与斜率的计算问题,明确二者的关系后要尽量充分地利用三角函数中正切函数的图象的性质,利用几何法解题要比解析方法来得简捷.
2.已知直线与互相平行,则的值是________.
解析:本题考查两直线平行与系数的关系,考查学生的运算求解能力.两直线平行,则;两直线垂直,则.具体解题过程如下:
直线与互相平行,
∴,整理得,解得或5.
当时,直线,两直线平行;
当时,直线,两直线平行.
因此,或5.
答案:3或5
3.在平面直角坐标系中,已知的顶点.
(1)求边上的高所在直线的方程;
(2)求的面积.
解析:(1)根据斜率公式,结合两直线垂直时斜率之间的关系,用直线的点斜式方程进行求解即可;(2)利用点到直线距离公式和两点间距离公式,结合三角形面积公式进行求解即可.具体解题过程如下:
(1)由题意,,
因此边上的高所在直线的斜率为,
所以边上的高所在直线的方程为,即.
(2),
边所在直线方程为,即,
点到的距离,所以的面积.
【概括理解能力】
学生从具体问题中归纳总结出一般问题的解决方法,便于今后再遇到此类问题时能用通性、通法解决,提高学生的概括理解能力.
4.已知直线的倾斜角是直线的倾斜角的,且过点.
(1)求的方程;
(2)若直线与直线平行,且点到直线的距离为3,求直线的方程.
解析:本题考查直线方程和倾斜角的关系和直线的点斜式方程、点到直线的距离转化为两条平行线间的距离.具体解题过程如下:
(1)∵直线的方程为,
∴,倾斜角,
由题知所求直线的倾斜角为,即斜率为,
∵直线经过点,
∴所求直线的方程为,
即.
(2)∵直线与平行,可设直线的方程为,
∴,
即,
∴或,
∴所求直线的方程为或.
【简单问题解决能力】
通过习题及时进行总结,同时检查学生本节课的学习效果,主要是为了让学生查漏补缺,巩固提升.
【综合问题解决能力】
习题考查点到直线的距离公式,分类讨论斜率存在和不存在时分别求出直线方程,可以培养学生分类讨论的思想和化归与转化的思想.通过此练习,学生今后对易错点会更加注意.
5.已知直线过点.
(1)若原点到直线的距离为2,求直线的方程;
(2)当原点到直线的距离最大时,求直线的方程.
解析:本题考查求直线方程,讨论直线斜率存在和不存在两种情况;当原点到直线的距离最大时,直线.计算可得答案.具体解题过程如下:
(1)①当直线的斜率不存在时,方程符合题意;
②当直线的斜率存在时,设斜率为,则方程为,即.根据题意,得,解得,则直线的方程为.
故直线的方程为或.
(2)当原点到直线的距离最大时,直线.
因为,所以直线的斜率,
所以其方程为,即.
【以学定教】
本节首先探究确定直线位置的几何要素和它们在平面直角坐标系中的表示,建立直线的方程,然后通过方程,用代数方法研究有关的几何问题:判定两直线的位置关系、求两条直线的交点坐标、计算点到直线的距离等.代数方法研究直线问题的基本思路是在平面直角坐标系中建立直线的方程,通过方程,用代数方法解决几何问题,具备了一定的抽象概括、推理论证、运算求解和数据处理能力.
教学反思
高二学生具备探索精神,有了一定学科素养基础,对于直线以及方程的概念理解、概括有优势,对于建立坐标系、用代数方法研究几何问题,是初步接触,需要强化这一思想,培养数学建模的核心素养,为今后其他解析几何知识的学习打下基础.
【以学论教】
根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中的方法和策略的成功之处、不足之处及改进方法.
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