高中数学人教A版（2019）必修一 第四章 第四节 对数函数（一）
一、单选题
1．（2022高一上·太原期末）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】对数函数的概念与表示
【解析】【解答】要使函数有意义，则
，解得，
∴函数的定义域是，
故答案为：D
【分析】由函数定义域的求法：被开方数大于等于零以及真数大于零，由此得出关于x的不等式组，求解出x的取值范围，进而得出函数的定义域。
2．（2021高一上·靖远期末）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的概念与表示
【解析】【解答】由题设，，解得：，故函数定义域为.
故答案为：B.
【分析】由函数定义域的求法：被开方数大于等于零以及真数大于零，即可得出关于x的不等式组，求解出x的取值范围即可得出函数的定义域。
3．（2021高一上·东莞月考）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的概念与表示
【解析】【解答】依题意，，
所以的定义域为.
故答案为：D
【分析】 结合函数定义域的求法：分母不为零，被开方数大于等于零以及真数大于零，由此即可得到关于x的不等式组，求解出x的取值范围即可。
4．（2020高一上·台州期末）函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】对数函数的概念与表示；对数函数的值域与最值
【解析】【解答】由题意，函数 有意义，则满足 ，解得 ，
即函数 的定义域为 .
故答案为：D.
【分析】根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解，即可得出答案。
5．（2021高一上·浦城期中）已知函数y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，则k的取值范围是( )
A．0＜k＜1 B．0≤k＜1 C．k≤0或k≥1 D．k＝0或k≥1
【答案】C
【知识点】对数函数的值域与最值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】因为函数y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，
所以 ，
解不等式得k≤0或k≥1。
故答案为：C
【分析】利用函数y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R结合判别式法，从而求出实数k的取值范围。
6．（2020高一上·开封期中）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的值域；二次函数在闭区间上的最值；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】 ，
所以 ，
因此函数 的值域为 ，
故答案为：B.
【分析】利用二次函数图象求最值的方法，结合对数函数的单调性，即可求出函数 的值域.
7．（2020高三上·哈尔滨开学考）函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；对数函数的值域与最值
【解析】【解答】当 时， 值域为 ;
当 时，函数的值域为 ，则 的开口向上，
且判别式大于等于零，即 ，解得 ，
故实数 的取值范围是 ，
故答案为：A.
【分析】利用分类讨论的方法结合对数型函数值域求解方法，再利用已知条件结合二次函数的图象，从而求出实数a的取值范围。
8．（2020高一上·莲湖期中）已知函数 ，在[ ，m]上的值域为[0，4]， 的取值范围是（ ）
A．[1，2] B．[0，2] C．[1，3] D．[0，3]
【答案】D
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由题意，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ， ，
结合该函数在 上的值域为[0，4]可得 ，
所以 ， .
故答案为：D.
【分析】 根据条件即可得出1≤m≤16，从而得出的范围，进而根据对数函数的单调性得出 的取值范围。
9．（2019高一上·揭阳期中）函数 的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】对数函数的值域与最值
【解析】【解答】根据指数函数的性质：可得u=3x+2的值域（2，+∞）．
那么函数函数y=log2u的值域为（1，+∞）．
即函数 的值域是（1，+∞）．
故答案为：B．
【分析】先求解u=3x+2的值域，根据单调性可得函数 的值域
10．（2021高一上·河北月考）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复合函数的单调性；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】的定义域为.
因为函数在上单调递增，在上单调递减，
函数在定义域内单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递减.
故答案为：C
【分析】根据题意由复合函数的单调性：单调性一致为增，单调性不一致为减；结合二次函数和对数函数的单调性，由此即可得出答案。
11．（2022高一上·张家口期末）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】对数函数的单调区间；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】，，
令，解得：，
根据复合函数单调性可知，内层函数的单调性可知函数单调递增，在区间函数单调递减，外出函数单调递增，所以函数的但到底就区间是.
故答案为：D
【分析】先求得不等式的解集，再根据复数函数的单调性的求解方法，即可求解.
二、多选题
12．（2022高三上·黄冈月考）下列区间中能使函数单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由，得，解得或，
所以函数的定义域为.
令，则，
由，得，
令即，解得，或，
当或时，；
所以在和上单调递增；
所以在定义域内是单调递增函数，
所以函数在和上单调递增.
故答案为：BD.
【分析】 先求出函数的定义域，利用导数求出的单调区间，可得y的单调区间，从而得出答案.
三、填空题
13．（2021高二上·衡阳月考）函数的定义域为 ．
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：要是函数有意义，则需满足：；解之得：，
所以的定义域为
故答案为：
【分析】根据题意由函数定义域的求法，被开方数大于等于零以及真数大于零，由此即可得出关于x的不等式组，求解出x的取值范围，从而即可得出函数的定义域。
14．（2022高一上·大通期末）函数的值域是 ．
【答案】
【知识点】对数函数的值域与最值
【解析】【解答】，而在定义域上递减，
，无最小值，
函数的值域为．
故答案为：.
【分析】求出的范围，再根据对数函数的性质即可求该函数值域.
15．（2021高一上·深圳期中）函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【知识点】对数函数的概念与表示；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由题可知，函数 的值域为 ，
令 ，由题意得出真数 能取到大于0的一切实数，
①当 时， ，此时 ，
此时函数 的值域为 ，符合题意；
②当 时，则有 ，解得： ，
综上所述，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【分析】根据对数函数的定义与性质，利用判别式△<0求出k的取值范围.
16．（2021高一下·阳江期末）函数 的值域为R，则 的取值范围是 .
【答案】
【知识点】对数函数的值域与最值
【解析】【解答】解：∵函数 的值域为R，
能够取到大于 的所有数，
则 ，
解得： 或 ，
∴实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【分析】 首先根据题意，得到 能够取到大于 的所有数，则判别式△≥0，然后求解其范围即可.
17．（2020高三上·恩施月考）若函数 ，则 的值域为 .
【答案】（0，1）
【知识点】复合函数的单调性；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为 ，
由于内层函数 在区间 上为减函数，外层函数 为增函数，
所以 在 上单调递减，当 时， ，则 ，
所以 的值域为（0，1）.
故答案为：（0，1）.
【分析】根据题意由复合函数的单调性：单调性一致为增，单调性不一致为减；结合对数函数以及反比例函数的单调性，由此即可得出答案。
18．（2021高一上·南京月考）函数的单调增区间为 ．
【答案】
【知识点】复合函数的单调性；二次函数的图象；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由得，
令，由于函数的对称轴为，开口向上，
∴在上递减，在（2，＋∞）递增，
又由函数是定义域内的减函数，
∴原函数的单调递增区间为．
故答案为：
【分析】根据题意由复合函数的单调性：单调性一致为增，单调性不一致为减；结合对数函数和二次函数的通项和性质，即可得出答案。
19．（2021高三上·天津市期中）函数的单调递增区间是 .
【答案】（3，+∞）
【知识点】复合函数的单调性；二次函数的性质；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】依题意，由得：或，即函数的定义域是，
函数在上单调递减，在上单调递增，而在上单调递增，
于是得在是单调递减，在（3，+∞）上单调递增，
所以函数的单调递增区间为（3，+∞）.
故答案为：（3，+∞）
【分析】由复合函数的单调性：单调性一致为增，不一致为减；结合对数函数与二次函数的单调性，由此即可得出答案。
四、解答题
20．（2021高三上·泗县开学考）已知函数 的定义域为 .
（1）求 ；
（2）当 时，求 的最小值.
【答案】（1）解：∵由题可得 可解得 .
（2）∴ ，
又 ， ，∴ .
①若 ，即 时， ，
②若 ，即 时，
所以当 ，即 时， .
∴ .
【知识点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值；指数函数的概念与表示；对数函数的概念与表示
【解析】【分析】（1）根据根式的性质及对数函数的性质，结合函数的定义域求解即可；
（2）根据二次函数的最值问题的解法，结合指数函数的值域，运用分类讨论思想求解即可
21．（2021高一上·兰州期末）画出函数f(x)=|log3x|的图像，并求出其值域、单调区间以及在区间上的最大值.
【答案】解：因为f(x)=|log3x|=
所以在[1，+∞)上f(x)的图像与y=log3x的图像相同，在(0，1)上的图像与y=log3x的图像关于x轴对称，据此可画出其图像，如图所示.
由图像可知，函数f(x)的值域为[0，+∞)，单调递增区间是[1，+∞)，单调递减区间是(0，1).
当x∈时，f(x)在区间上是单调递减的，在(1，6]上是单调递增的.
又f=2，f(6)=log36<2，
故f(x)在区间上的最大值为2.
【知识点】函数的值域；对数函数的图象与性质；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】根据题意由对数函数的图象结合绝对值的几何意义，即可作出函数的图象，利用数形结合法以及已知条件结合函数的单调性，代入数值由对数的运算性质计算出函数的最值即可。
22．（2019高一上·邢台期中）求下列函数的值域.
（1）
（2）函数 .
【答案】（1）解：令 ,因为 ,所以 ,因此有 ,
,二次函数对称轴为： ,因为 ,
所以当 时,函数有最大值,最大值为3；
当 时,函数有最小值,最小值为 ,所以函数的值域为
（2）解：令 ,所以有 ,又 ,即 ,
所以 , ,它是减函数,故函数的最小值为
,故函数的值域为：
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；对数函数的值域与最值
【解析】【分析】(1)令 ,再求出 的取值范围,利用二次函数的单调性求出值域即可；(2) 令 ,求出 的取值范围,利用对数函数的单调性求出值域即可.
1 / 1高中数学人教A版（2019）必修一 第四章 第四节 对数函数（一）
一、单选题
1．（2022高一上·太原期末）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021高一上·靖远期末）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021高一上·东莞月考）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020高一上·台州期末）函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021高一上·浦城期中）已知函数y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，则k的取值范围是( )
A．0＜k＜1 B．0≤k＜1 C．k≤0或k≥1 D．k＝0或k≥1
6．（2020高一上·开封期中）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020高三上·哈尔滨开学考）函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2020高一上·莲湖期中）已知函数 ，在[ ，m]上的值域为[0，4]， 的取值范围是（ ）
A．[1，2] B．[0，2] C．[1，3] D．[0，3]
9．（2019高一上·揭阳期中）函数 的值域是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021高一上·河北月考）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
11．（2022高一上·张家口期末）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
12．（2022高三上·黄冈月考）下列区间中能使函数单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．（2021高二上·衡阳月考）函数的定义域为 ．
14．（2022高一上·大通期末）函数的值域是 ．
15．（2021高一上·深圳期中）函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是 .
16．（2021高一下·阳江期末）函数 的值域为R，则 的取值范围是 .
17．（2020高三上·恩施月考）若函数 ，则 的值域为 .
18．（2021高一上·南京月考）函数的单调增区间为 ．
19．（2021高三上·天津市期中）函数的单调递增区间是 .
四、解答题
20．（2021高三上·泗县开学考）已知函数 的定义域为 .
（1）求 ；
（2）当 时，求 的最小值.
21．（2021高一上·兰州期末）画出函数f(x)=|log3x|的图像，并求出其值域、单调区间以及在区间上的最大值.
22．（2019高一上·邢台期中）求下列函数的值域.
（1）
（2）函数 .
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】对数函数的概念与表示
【解析】【解答】要使函数有意义，则
，解得，
∴函数的定义域是，
故答案为：D
【分析】由函数定义域的求法：被开方数大于等于零以及真数大于零，由此得出关于x的不等式组，求解出x的取值范围，进而得出函数的定义域。
2．【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的概念与表示
【解析】【解答】由题设，，解得：，故函数定义域为.
故答案为：B.
【分析】由函数定义域的求法：被开方数大于等于零以及真数大于零，即可得出关于x的不等式组，求解出x的取值范围即可得出函数的定义域。
3．【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的概念与表示
【解析】【解答】依题意，，
所以的定义域为.
故答案为：D
【分析】 结合函数定义域的求法：分母不为零，被开方数大于等于零以及真数大于零，由此即可得到关于x的不等式组，求解出x的取值范围即可。
4．【答案】D
【知识点】对数函数的概念与表示；对数函数的值域与最值
【解析】【解答】由题意，函数 有意义，则满足 ，解得 ，
即函数 的定义域为 .
故答案为：D.
【分析】根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解，即可得出答案。
5．【答案】C
【知识点】对数函数的值域与最值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】因为函数y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，
所以 ，
解不等式得k≤0或k≥1。
故答案为：C
【分析】利用函数y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R结合判别式法，从而求出实数k的取值范围。
6．【答案】B
【知识点】函数的值域；二次函数在闭区间上的最值；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】 ，
所以 ，
因此函数 的值域为 ，
故答案为：B.
【分析】利用二次函数图象求最值的方法，结合对数函数的单调性，即可求出函数 的值域.
7．【答案】A
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；对数函数的值域与最值
【解析】【解答】当 时， 值域为 ;
当 时，函数的值域为 ，则 的开口向上，
且判别式大于等于零，即 ，解得 ，
故实数 的取值范围是 ，
故答案为：A.
【分析】利用分类讨论的方法结合对数型函数值域求解方法，再利用已知条件结合二次函数的图象，从而求出实数a的取值范围。
8．【答案】D
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由题意，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ， ，
结合该函数在 上的值域为[0，4]可得 ，
所以 ， .
故答案为：D.
【分析】 根据条件即可得出1≤m≤16，从而得出的范围，进而根据对数函数的单调性得出 的取值范围。
9．【答案】B
【知识点】对数函数的值域与最值
【解析】【解答】根据指数函数的性质：可得u=3x+2的值域（2，+∞）．
那么函数函数y=log2u的值域为（1，+∞）．
即函数 的值域是（1，+∞）．
故答案为：B．
【分析】先求解u=3x+2的值域，根据单调性可得函数 的值域
10．【答案】C
【知识点】复合函数的单调性；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】的定义域为.
因为函数在上单调递增，在上单调递减，
函数在定义域内单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递减.
故答案为：C
【分析】根据题意由复合函数的单调性：单调性一致为增，单调性不一致为减；结合二次函数和对数函数的单调性，由此即可得出答案。
11．【答案】D
【知识点】对数函数的单调区间；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】，，
令，解得：，
根据复合函数单调性可知，内层函数的单调性可知函数单调递增，在区间函数单调递减，外出函数单调递增，所以函数的但到底就区间是.
故答案为：D
【分析】先求得不等式的解集，再根据复数函数的单调性的求解方法，即可求解.
12．【答案】B,D
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由，得，解得或，
所以函数的定义域为.
令，则，
由，得，
令即，解得，或，
当或时，；
所以在和上单调递增；
所以在定义域内是单调递增函数，
所以函数在和上单调递增.
故答案为：BD.
【分析】 先求出函数的定义域，利用导数求出的单调区间，可得y的单调区间，从而得出答案.
13．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：要是函数有意义，则需满足：；解之得：，
所以的定义域为
故答案为：
【分析】根据题意由函数定义域的求法，被开方数大于等于零以及真数大于零，由此即可得出关于x的不等式组，求解出x的取值范围，从而即可得出函数的定义域。
14．【答案】
【知识点】对数函数的值域与最值
【解析】【解答】，而在定义域上递减，
，无最小值，
函数的值域为．
故答案为：.
【分析】求出的范围，再根据对数函数的性质即可求该函数值域.
15．【答案】
【知识点】对数函数的概念与表示；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由题可知，函数 的值域为 ，
令 ，由题意得出真数 能取到大于0的一切实数，
①当 时， ，此时 ，
此时函数 的值域为 ，符合题意；
②当 时，则有 ，解得： ，
综上所述，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【分析】根据对数函数的定义与性质，利用判别式△<0求出k的取值范围.
16．【答案】
【知识点】对数函数的值域与最值
【解析】【解答】解：∵函数 的值域为R，
能够取到大于 的所有数，
则 ，
解得： 或 ，
∴实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【分析】 首先根据题意，得到 能够取到大于 的所有数，则判别式△≥0，然后求解其范围即可.
17．【答案】（0，1）
【知识点】复合函数的单调性；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为 ，
由于内层函数 在区间 上为减函数，外层函数 为增函数，
所以 在 上单调递减，当 时， ，则 ，
所以 的值域为（0，1）.
故答案为：（0，1）.
【分析】根据题意由复合函数的单调性：单调性一致为增，单调性不一致为减；结合对数函数以及反比例函数的单调性，由此即可得出答案。
18．【答案】
【知识点】复合函数的单调性；二次函数的图象；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由得，
令，由于函数的对称轴为，开口向上，
∴在上递减，在（2，＋∞）递增，
又由函数是定义域内的减函数，
∴原函数的单调递增区间为．
故答案为：
【分析】根据题意由复合函数的单调性：单调性一致为增，单调性不一致为减；结合对数函数和二次函数的通项和性质，即可得出答案。
19．【答案】（3，+∞）
【知识点】复合函数的单调性；二次函数的性质；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】依题意，由得：或，即函数的定义域是，
函数在上单调递减，在上单调递增，而在上单调递增，
于是得在是单调递减，在（3，+∞）上单调递增，
所以函数的单调递增区间为（3，+∞）.
故答案为：（3，+∞）
【分析】由复合函数的单调性：单调性一致为增，不一致为减；结合对数函数与二次函数的单调性，由此即可得出答案。
20．【答案】（1）解：∵由题可得 可解得 .
（2）∴ ，
又 ， ，∴ .
①若 ，即 时， ，
②若 ，即 时，
所以当 ，即 时， .
∴ .
【知识点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值；指数函数的概念与表示；对数函数的概念与表示
【解析】【分析】（1）根据根式的性质及对数函数的性质，结合函数的定义域求解即可；
（2）根据二次函数的最值问题的解法，结合指数函数的值域，运用分类讨论思想求解即可
21．【答案】解：因为f(x)=|log3x|=
所以在[1，+∞)上f(x)的图像与y=log3x的图像相同，在(0，1)上的图像与y=log3x的图像关于x轴对称，据此可画出其图像，如图所示.
由图像可知，函数f(x)的值域为[0，+∞)，单调递增区间是[1，+∞)，单调递减区间是(0，1).
当x∈时，f(x)在区间上是单调递减的，在(1，6]上是单调递增的.
又f=2，f(6)=log36<2，
故f(x)在区间上的最大值为2.
【知识点】函数的值域；对数函数的图象与性质；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】根据题意由对数函数的图象结合绝对值的几何意义，即可作出函数的图象，利用数形结合法以及已知条件结合函数的单调性，代入数值由对数的运算性质计算出函数的最值即可。
22．【答案】（1）解：令 ,因为 ,所以 ,因此有 ,
,二次函数对称轴为： ,因为 ,
所以当 时,函数有最大值,最大值为3；
当 时,函数有最小值,最小值为 ,所以函数的值域为
（2）解：令 ,所以有 ,又 ,即 ,
所以 , ,它是减函数,故函数的最小值为
,故函数的值域为：
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；对数函数的值域与最值
【解析】【分析】(1)令 ,再求出 的取值范围,利用二次函数的单调性求出值域即可；(2) 令 ,求出 的取值范围,利用对数函数的单调性求出值域即可.
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