高中数学人教A版（2019）必修一 第四章 第四节 对数函数（二）

高中数学人教A版（2019）必修一 第四章 第四节 对数函数（二）
一、单选题
1．（2020高一上·菏泽期末）若奇函数 在 内递减，则不等式 的解集是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】奇函数与偶函数的性质；对数函数的单调性与特殊点；不等式的综合
【解析】【解答】 奇函数 在 ， 内递减，
在 内递减，
在 上递减，
由f（1） 得， ，解得 ，
不等式f（1） 的解集是 ．
故答案为：C．
【分析】由奇函数的定义以及函数单调性的性质，即可得到函数f(x)在 内递减，由函数单调性的性质即可得到不等式，利用对数函数的单调性求解出x的取值范围，从而得到不等式的解集。
2．（2020高一上·如皋月考）不等式 的解集是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：由 ，得 ，
，即 ，解得 或 ，
所以不等式的集解为 ，
故答案为：C
【分析】利用对数函数的单调性解不等式，即可得出答案。
3．（2020高一上·赣县月考）若关于 的不等式 的解集为 ，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】由 得 ，即 恒成立，由于 时， 在 上不恒成立，故 ，解得 .
故答案为：C.
【分析】根据对数的性质列不等式，根据一元二次不等式恒成立时，判别式和开口方向的要求列不等式组，解不等式组求得 的取值范围.
4．（2020高一上·铜仁月考）当 时，在同一坐标系中，函数 与 的大致图像只可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：当 时，
函数 在其定义域上是增函数，故图象从左向右看是上升的；
在其定义域上单调递减，故图象从左向右看是下降的.
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合指数函数与对数函数的单调性，从而找出当 时，在同一坐标系中，函数 与 的大致图像只可能的选项。
5．（2020高一上·洛阳期中）函数 且 在同一直角坐标系中的部分图像可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的图象；对数函数的图象与性质；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】当 时，选项 中图象正确；选项 中， 的图象错误；选项 中 的图象错误；选项 中 的图象错误.
当 时，选项 中 与 的图象都错误，选项 中 的图象错误；选项 中 的图象错误；选项 中 与 的图象都错误.
故答案为：A
【分析】由幂函数和对数函数的图象对a分情况讨论分别得到当a>1和06．（2020高一上·菏泽期末）在同一直角坐标系中， 与 的图像是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】因为 的图象与 的图象关于y轴对称，
且 在定义域上是增函数，
所以 在定义域上是减函数，
又 是减函数
故答案为：C
【分析】根据题意由指、对数函数以及偶函数的图象性质，即可得出答案。
7．（2020高一上·四川期中）函数 ( 且 )的图像恒过定点 ，则点 的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】 函数 ，( 且 ).
令 ，解得
当 ，
函数 ( 且 )的图像恒过定点 .
故答案为：A．
【分析】根据题意由对数函数的图象由整体思想计算出x与y的值，从而得出答案。
8．（2019高一上·汤原月考）函数 的图像恒过定点（　　）
A． B．（2,2） C．（1,3） D．(2,3)
【答案】B
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由对数函数的定义，
令 ，此时 ，
解得 ，
故函数 的图象恒过定点
故选： ．
【分析】由对数定义知，函数 图象过定点 ，故可令 求此对数型函数图象过的定点．
9．（2020高一下·南宁期中）函数 的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】可知函数 是偶函数，排除C，D；
定义域满足： ，可得 或 .当 时， 是递增函数，排除A；
故答案为：B.
【分析】根据函数解析式，用排除法判断，根据偶函数排除C、D；再根据单调性，排除A，即可求解答案.
10．（2019高一上·苏州月考）函数 的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】当x=0时，f(x)=0，排除D选项
当 时， 排除C选项
根据定义域 可排除A选项
故答案为：B.
【分析】根据特殊值，代入检验，排除不合要求的选项即可
11．（2019高一上·安庆期中）函数 的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】根据对数函数 恒过 点，函数 恒过 点，A不符合题意；
根据对数函数的定义域，函数 的定义域为 ，B不符合题意；
根据复合函数的单调性，函数 单调递减，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】比较函数 的特征与选项中图像的特征即可得解.
12．（2016高一上·上杭期中）函数y=log3|x﹣1|的图像是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：当x﹣1≥0时，即x≥1时，函数 y=log3（x﹣1），此时为增函数，
当x﹣1＜0时，即x＞1时，函数 y=log3（1﹣x），此时为减函数，
故选：B
【分析】根据函数的单调性即可判断．
13．（2018高一上·马山期中）已知函数 的图象如图所示，则函数 与 在同一直角坐标系中的图象是
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】由已知中函数y=xa（a∈R）的图象可知：a∈（0，1），
故函数y=a﹣x为增函数与y=logax为减函数，
故答案为：C．
【分析】由已知中函数y=xa（a∈R）的图象得a的取值范围，可得函数 与 在同一直角坐标系中的图象.
二、填空题
14．（2022高一上·新乡期末）已知函数，则不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由，得，
解得且．
所以不等式的解集为，
故答案为：
【分析】 由题意可得，然后利用对数函数的单调性求解出不等式的解集.
15．（2019高一上·都匀期中）若不等式 ，则不等式的解集为　 　.（用集合或区间表示）
【答案】
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，即 ，
即不等式的解集为 ，
故答案为： .
【分析】由对数不等式的解法，解不等式 即可得解.
16．（2020高一上·洛阳期中）函数 的图像恒过定点的坐标为　 　.
【答案】(1,2)
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】令 得： ，
此时 ，
所以函数的图象恒过定点(1,2)，
故答案为：(1,2)．
【分析】由整体思想令 得： ，进而得出函数的图象恒过定点（1,2）
三、解答题
17．（2021高一上·绥江月考）已知：变量满足不等式.
（1）求变量的取值范围；
（2）在 (1)的条件下，求函数的最大值和最小值.
【答案】（1），解得，
∴的取值范围为.
（2）令，，则，.
∴当，即，时，，
当，即，时，.
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合对数函数的单调性，从而求出变量x的取值范围。
(2) 在 (1)的条件下结合换元法， 令，，则， 再利用二次函数的图象求最值的方法，进而求出二次函数的最大值和最小值。
18．（2020高一上·吉安期中）已知 且满足不等式 ．
（1）求实数a的取值范围．
（2）求不等式 ．
（3）若函数 在区间 有最小值为-2，求实数a值．
【答案】（1）解： ，
，即 ，
， 又 ， ．
（2）解：由 知 ，
．
等价于 即 ， ，
即不等式的解集为
（3）解： ，
函数 在区间 上为减函数，
当 时，y有最小值为 ，
即 ，
，
解得 或 舍去 ，
所以 ．
【知识点】指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）根据指数函数的单调性即可求解；（2）由题意利用指数函数的性质求出 的范围，再利用指数 对数函数的性质，求得 的解集.（3）根据a的范围，利用对数函数的性质，求出a的值.
19．（2020高一上·河南月考）已知不等式 .
（1）求不等式的解集 ；
（2）若当 时，不等式 总成立，求 的取值范围.
【答案】（1）由已知可得： ，因此，原不等式的解集为 ；
（2）令 ，则原问题等价 ，
且 ，令 ，
可得 ，
当 时，即当 时，函数 取得最小值，即 ， .
因此，实数 的取值范围是 .（1） ；（2） .
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】 (1)由对数函数的性质化对数不等式为一次不等式组得答案；
(2)换元后转化为求二次函数的最值问题即可求解结论.
20．（2019高一上·吉林期中）解下列不等式
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：原不等式化为：
又2>1，函数 是增函数，
得： ，解出：
（2）解： .
，函数 是减函数，.
，得：
，解出： ，
又 解出：
综上，
【知识点】指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）全部转化为以底数为2的指数，再根据指数不等式性质进行求解；（2）根据底数小于1判断，对应的对数函数为减函数，再进行不等式的求解，同时需注意所有真数对应位置取值范围应在定义域内.
21．（2019高一上·临渭期中）解下列方程或不等式.
（1）
（2） .
【答案】（1）解：依题意：
（2）解：因为 在 上递增，所以由 得 ，解得 ，所以不等式的解集为
【知识点】对数函数的概念与表示；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）将方程化为同底的形式，由此求得方程的解.（2）利用对数函数的定义域和单调性列不等式组，解不等式组求得不等式的解集.
22．（2020高一上·兰溪月考）已知函数 的图像过点 ．
（1）求实数m的值；
（2）求不等式 的解集．
【答案】（1）由函数 的图像过点 ．
则 ，解得
（2） ，即
所以
由 ，即 ，则
由 ，解得 或
所以不等式 的解集为：
所以不等式 的解集为：
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】 (1)将点(0，1)代入函数 中，得 ，解得m即可；
(2) 由f(x)≤1可得 ，根据对数函数的单调性可得 ，求得两个不等式x的范围后取交集即可.
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一、单选题
1．（2020高一上·菏泽期末）若奇函数 在 内递减，则不等式 的解集是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2020高一上·如皋月考）不等式 的解集是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2020高一上·赣县月考）若关于 的不等式 的解集为 ，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．（2020高一上·铜仁月考）当 时，在同一坐标系中，函数 与 的大致图像只可能是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2020高一上·洛阳期中）函数 且 在同一直角坐标系中的部分图像可能是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2020高一上·菏泽期末）在同一直角坐标系中， 与 的图像是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2020高一上·四川期中）函数 ( 且 )的图像恒过定点 ，则点 的坐标是（　　）
A． B． C． D．
8．（2019高一上·汤原月考）函数 的图像恒过定点（　　）
A． B．（2,2） C．（1,3） D．(2,3)
9．（2020高一下·南宁期中）函数 的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2019高一上·苏州月考）函数 的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2019高一上·安庆期中）函数 的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
12．（2016高一上·上杭期中）函数y=log3|x﹣1|的图像是（　　）
A． B．
C． D．
13．（2018高一上·马山期中）已知函数 的图象如图所示，则函数 与 在同一直角坐标系中的图象是
A． B．
C． D．
二、填空题
14．（2022高一上·新乡期末）已知函数，则不等式的解集为　 　．
15．（2019高一上·都匀期中）若不等式 ，则不等式的解集为　 　.（用集合或区间表示）
16．（2020高一上·洛阳期中）函数 的图像恒过定点的坐标为　 　.
三、解答题
17．（2021高一上·绥江月考）已知：变量满足不等式.
（1）求变量的取值范围；
（2）在 (1)的条件下，求函数的最大值和最小值.
18．（2020高一上·吉安期中）已知 且满足不等式 ．
（1）求实数a的取值范围．
（2）求不等式 ．
（3）若函数 在区间 有最小值为-2，求实数a值．
19．（2020高一上·河南月考）已知不等式 .
（1）求不等式的解集 ；
（2）若当 时，不等式 总成立，求 的取值范围.
20．（2019高一上·吉林期中）解下列不等式
（1） ；
（2） .
21．（2019高一上·临渭期中）解下列方程或不等式.
（1）
（2） .
22．（2020高一上·兰溪月考）已知函数 的图像过点 ．
（1）求实数m的值；
（2）求不等式 的解集．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】奇函数与偶函数的性质；对数函数的单调性与特殊点；不等式的综合
【解析】【解答】 奇函数 在 ， 内递减，
在 内递减，
在 上递减，
由f（1） 得， ，解得 ，
不等式f（1） 的解集是 ．
故答案为：C．
【分析】由奇函数的定义以及函数单调性的性质，即可得到函数f(x)在 内递减，由函数单调性的性质即可得到不等式，利用对数函数的单调性求解出x的取值范围，从而得到不等式的解集。
2．【答案】C
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：由 ，得 ，
，即 ，解得 或 ，
所以不等式的集解为 ，
故答案为：C
【分析】利用对数函数的单调性解不等式，即可得出答案。
3．【答案】C
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】由 得 ，即 恒成立，由于 时， 在 上不恒成立，故 ，解得 .
故答案为：C.
【分析】根据对数的性质列不等式，根据一元二次不等式恒成立时，判别式和开口方向的要求列不等式组，解不等式组求得 的取值范围.
4．【答案】C
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：当 时，
函数 在其定义域上是增函数，故图象从左向右看是上升的；
在其定义域上单调递减，故图象从左向右看是下降的.
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合指数函数与对数函数的单调性，从而找出当 时，在同一坐标系中，函数 与 的大致图像只可能的选项。
5．【答案】A
【知识点】函数的图象；对数函数的图象与性质；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】当 时，选项 中图象正确；选项 中， 的图象错误；选项 中 的图象错误；选项 中 的图象错误.
当 时，选项 中 与 的图象都错误，选项 中 的图象错误；选项 中 的图象错误；选项 中 与 的图象都错误.
故答案为：A
【分析】由幂函数和对数函数的图象对a分情况讨论分别得到当a>1和06．【答案】C
【知识点】函数的图象；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】因为 的图象与 的图象关于y轴对称，
且 在定义域上是增函数，
所以 在定义域上是减函数，
又 是减函数
故答案为：C
【分析】根据题意由指、对数函数以及偶函数的图象性质，即可得出答案。
7．【答案】A
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】 函数 ，( 且 ).
令 ，解得
当 ，
函数 ( 且 )的图像恒过定点 .
故答案为：A．
【分析】根据题意由对数函数的图象由整体思想计算出x与y的值，从而得出答案。
8．【答案】B
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由对数函数的定义，
令 ，此时 ，
解得 ，
故函数 的图象恒过定点
故选： ．
【分析】由对数定义知，函数 图象过定点 ，故可令 求此对数型函数图象过的定点．
9．【答案】B
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】可知函数 是偶函数，排除C，D；
定义域满足： ，可得 或 .当 时， 是递增函数，排除A；
故答案为：B.
【分析】根据函数解析式，用排除法判断，根据偶函数排除C、D；再根据单调性，排除A，即可求解答案.
10．【答案】B
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】当x=0时，f(x)=0，排除D选项
当 时， 排除C选项
根据定义域 可排除A选项
故答案为：B.
【分析】根据特殊值，代入检验，排除不合要求的选项即可
11．【答案】C
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】根据对数函数 恒过 点，函数 恒过 点，A不符合题意；
根据对数函数的定义域，函数 的定义域为 ，B不符合题意；
根据复合函数的单调性，函数 单调递减，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】比较函数 的特征与选项中图像的特征即可得解.
12．【答案】B
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：当x﹣1≥0时，即x≥1时，函数 y=log3（x﹣1），此时为增函数，
当x﹣1＜0时，即x＞1时，函数 y=log3（1﹣x），此时为减函数，
故选：B
【分析】根据函数的单调性即可判断．
13．【答案】C
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】由已知中函数y=xa（a∈R）的图象可知：a∈（0，1），
故函数y=a﹣x为增函数与y=logax为减函数，
故答案为：C．
【分析】由已知中函数y=xa（a∈R）的图象得a的取值范围，可得函数 与 在同一直角坐标系中的图象.
14．【答案】
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由，得，
解得且．
所以不等式的解集为，
故答案为：
【分析】 由题意可得，然后利用对数函数的单调性求解出不等式的解集.
15．【答案】
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，即 ，
即不等式的解集为 ，
故答案为： .
【分析】由对数不等式的解法，解不等式 即可得解.
16．【答案】(1,2)
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】令 得： ，
此时 ，
所以函数的图象恒过定点(1,2)，
故答案为：(1,2)．
【分析】由整体思想令 得： ，进而得出函数的图象恒过定点（1,2）
17．【答案】（1），解得，
∴的取值范围为.
（2）令，，则，.
∴当，即，时，，
当，即，时，.
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合对数函数的单调性，从而求出变量x的取值范围。
(2) 在 (1)的条件下结合换元法， 令，，则， 再利用二次函数的图象求最值的方法，进而求出二次函数的最大值和最小值。
18．【答案】（1）解： ，
，即 ，
， 又 ， ．
（2）解：由 知 ，
．
等价于 即 ， ，
即不等式的解集为
（3）解： ，
函数 在区间 上为减函数，
当 时，y有最小值为 ，
即 ，
，
解得 或 舍去 ，
所以 ．
【知识点】指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）根据指数函数的单调性即可求解；（2）由题意利用指数函数的性质求出 的范围，再利用指数 对数函数的性质，求得 的解集.（3）根据a的范围，利用对数函数的性质，求出a的值.
19．【答案】（1）由已知可得： ，因此，原不等式的解集为 ；
（2）令 ，则原问题等价 ，
且 ，令 ，
可得 ，
当 时，即当 时，函数 取得最小值，即 ， .
因此，实数 的取值范围是 .（1） ；（2） .
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】 (1)由对数函数的性质化对数不等式为一次不等式组得答案；
(2)换元后转化为求二次函数的最值问题即可求解结论.
20．【答案】（1）解：原不等式化为：
又2>1，函数 是增函数，
得： ，解出：
（2）解： .
，函数 是减函数，.
，得：
，解出： ，
又 解出：
综上，
【知识点】指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）全部转化为以底数为2的指数，再根据指数不等式性质进行求解；（2）根据底数小于1判断，对应的对数函数为减函数，再进行不等式的求解，同时需注意所有真数对应位置取值范围应在定义域内.
21．【答案】（1）解：依题意：
（2）解：因为 在 上递增，所以由 得 ，解得 ，所以不等式的解集为
【知识点】对数函数的概念与表示；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）将方程化为同底的形式，由此求得方程的解.（2）利用对数函数的定义域和单调性列不等式组，解不等式组求得不等式的解集.
22．【答案】（1）由函数 的图像过点 ．
则 ，解得
（2） ，即
所以
由 ，即 ，则
由 ，解得 或
所以不等式 的解集为：
所以不等式 的解集为：
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】 (1)将点(0，1)代入函数 中，得 ，解得m即可；
(2) 由f(x)≤1可得 ，根据对数函数的单调性可得 ，求得两个不等式x的范围后取交集即可.
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