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高中数学人教A版（2019）必修一 第四章 第五节 函数的零点专题
一、单选题
1．（2022·大连模拟）函数，在下列区间中，包含函数零点的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】因为函数f(x)单调递增，且因为，，所以，由零点存在性定理可得：包含函数零点的区间为.
故答案为：C
【分析】根据题意由零点存在性定理，代入数值计算出结果由此即可得出答案。
2．（2022高一上·大兴期末）已知函数，下列区间中包含零点的区间是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】由题意，函数，易得函数为单调递减函数，
又由，所以，
根据零点的存在定理，可得零点的区间是。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合减函数的定义，从而判断出函数为减函数，再利用零点存在性定理，进而得出包含函数零点的区间。
3．（2022高一下·嵩明期中）函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】；；，
；，
。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合零点存在性定理，从而求出函数 的零点所在的区间。
4．（2022高一上·玉溪期末）函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由解析式知：在上恒成立，
在上单调递减，且，，
综上，零点所在的区间为.
故答案为：B
【分析】根据函数解析式判断在上恒成立，在上单调递减，再结合零点存在性定理判断零点所在区间.
5．（2022高一上·资阳期末）函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】由可知，当时，和单增，故单增，
当时，；当时，；当时，；
当时，，当时，，
由可知，的零点所在的区间为.
故答案为：B
【分析】利用根的存在性定理进行判断区间端点处的符号，即可求出答案.
6．（2021高一上·湖南月考）函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数零点的判定定理；函数的零点
【解析】【解答】，，且函数为增函数，
由函数零点存在定理，的零点所在的区间是．
故答案为：B.
【分析】根据题意由零点存在性定理，代入数值计算出结果由此即可得出答案。
7．（2022高三上·安徽期末）函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】为上的递增函数，
，
，
，
，
则函数的零点所在的区间为。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合零点存在性定理，进而找出函数的零点所在的区间。
8．（2022高一下·邗江期中）函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】令，可得，
则原命题即求与图象交点的个数，
分别作出与图象，如下所示
由图象可得，交点为A、B、C三点，
所以函数的零点个数为3.
故答案为：C
【分析】函数的零点，转化为两个新函数图象的交点个数，利用数形结合求解即可.
9．（2020高一上·兰州期末）函数 的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】函数的图象；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由 ，得 ，
作出函数 与 的图象如图，
由图可知，函数 的零点个数是2，
故答案为：C．
【分析】利用零点的定义结合函数零点与两函数交点的横坐标的等价关系，从而结合两函数 与 的图象，从而求出函数 的零点个数。
10．（2020高一上·呼和浩特期中）函数 在定义域内的零点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】令 得 ，
则 的零点个数，即是方程 根的个数，
即是函数 与 图像交点个数，
在同一直角坐标系内画出 与 的图像如下，
由图像可得， 与 的图像有两个不同的交点，
所以函数 在定义域内的零点的个数为 个.
故答案为：C.
【分析】把函数的零点个数转化为两个函数的图象的交点个数，利用数形结合求解即可。
11．（2020高一上·杭州期末）函数 的零点的个数为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】因为函数单调递增，且x=3,y>0,x=1,y<0，所以零点个数为1
故答案为：B
【分析】利用零点存在性定理代入数值计算出结果即可求出零点个数。
12．函数 的零点个数为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】函数 的零点，即令 ，根据此题可得 ，在平面直角坐标系中分别画出幂函数 和指数函数 的图像，可得交点只有一个，所以零点只有一个，
故答案为：B
【分析】本小题表面上考查的是零点问题，实质上考查的是函数图象问题，该题涉及到的图像为幂函数和指数函数.
13．（2019高一上·隆化期中）函数 的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由 得 ，
分别作出函数 与， 的图象如图：
由图象可知两个函数有2个交点，即函数 的零点个数为2个，
故答案为：D.
【分析】函数 的零点个数 方程 解的个数 函数 与函数 图象交点个数．
14．（2019高一上·西城期中）函数 在区间(1，3)内的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】因为函数 在区间(1，3)内都是增函数，
所以函数 在区间(1，3)内都是增函数，
又
所以 ，
所以函数 在区间(1，3)内的零点个数是1.
故答案为：B
【分析】先证明函数的单调递增，再证明 ，即得解.
15．（2019高一上·西安月考）函数 的零点个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】 时， ，解得：
时， 函数 零点个数为： .
当 时， ，即
可看成是函数 和 交点的横坐标，即是 方程的解.
画出二者的函数图象：
由图像可知 ，函数 和 只有一个交点.
故 ， 只有一个零点.
综上所述， 函数 的零点个数为： .
故答案为：B.
【分析】当 时，由 ，解 ，有1个零点.当 时， 方程的解，可看成是函数 和 交点的横坐标，画出二者的函数图象即可判断出交点个数，即可求得答案.
16．（2019高一上·上饶期中）设函数 是R上的奇函数，当 时， ，则 的零点个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，所以0是函数f（x）的一个零点;当x＞0时，令f（x）=ex+x-3=0，则ex=-x+3，分别画出函数y=ex，和y=-x+3的图象，如图所示，
有一个交点，所以函数f（x）有一个零点，又根据对称性知，当x＜0时函数f（x）也有一个零点．综上所述，f（x）的零点个数为3个，
故答案为：C．
【分析】先由函数f（x）是定义在R上的奇函数确定0是一个零点，再令x＞0时的函数f（x）的解析式等于0转化成两个函数，转化为判断两函数交点个数问题，最后根据奇函数的对称性确定答案．
17．（2019高一上·阜阳月考）定义在 上的奇函数 满足：当 时， ，则函数 的零点的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数奇偶性的判断；函数零点的判定定理
【解析】【解答】当 时， ，
结合指数与对数函数的单调性可知 ，在 上单调递增，
∵f（1） ， 时， ，
则 在 上有唯一的零点，
因为奇函数 的图象关于原点对称，故当 时也有唯一零点，且 ，
综上可得，程 的实根个数为3个.
故答案为：C
【分析】当 时，先利用零点判定定理进行判断，然后结合奇函数的性质进行判断即可．
二、多选题
18．（2021高一上·葫芦岛月考）已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】因为在上的图象是连续不断的，且，，，，所以一定包含零点的区间是，。
故答案为：AD.
【分析】利用已知条件结合零点存在性定理，从而找出一定包含零点的区间。
三、填空题
19．（2022高一上·喀什期末）函数的零点的个数为 .
【答案】2
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令，这，
则函数的零点的个数即为与的图象的交点个数，
如图：
由图象可知，与的图象的交点个数为2个，
即函数的零点的个数为2.
故答案为：2.
【分析】求出函数的定义域，再把函数转化为对应的方程，在坐标系中画出两个函数与的图象求出方程的根的个数，即可求出函数零点的个数.
20．（2020高一上·北京期中）函数 的零点个数是
【答案】1
【知识点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由题意可知 的定义域为 ，令 ，
可得 ， 解得 （舍去）或 ，
；
所以函数 的零点个数为 个．
故答案为：1．
【分析】解方程，根据方程的根的个数，即可得出的零点个数。
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高中数学人教A版（2019）必修一 第四章 第五节 函数的零点专题
一、单选题
1．（2022·大连模拟）函数，在下列区间中，包含函数零点的区间为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高一上·大兴期末）已知函数，下列区间中包含零点的区间是 （ ）
A． B．
C． D．
3．（2022高一下·嵩明期中）函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高一上·玉溪期末）函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022高一上·资阳期末）函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021高一上·湖南月考）函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022高三上·安徽期末）函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高一下·邗江期中）函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2020高一上·兰州期末）函数 的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．（2020高一上·呼和浩特期中）函数 在定义域内的零点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．（2020高一上·杭州期末）函数 的零点的个数为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．函数 的零点个数为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
13．（2019高一上·隆化期中）函数 的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
14．（2019高一上·西城期中）函数 在区间(1，3)内的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
15．（2019高一上·西安月考）函数 的零点个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．（2019高一上·上饶期中）设函数 是R上的奇函数，当 时， ，则 的零点个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
17．（2019高一上·阜阳月考）定义在 上的奇函数 满足：当 时， ，则函数 的零点的个数是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
18．（2021高一上·葫芦岛月考）已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
19．（2022高一上·喀什期末）函数的零点的个数为 .
20．（2020高一上·北京期中）函数 的零点个数是
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】因为函数f(x)单调递增，且因为，，所以，由零点存在性定理可得：包含函数零点的区间为.
故答案为：C
【分析】根据题意由零点存在性定理，代入数值计算出结果由此即可得出答案。
2．【答案】C
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】由题意，函数，易得函数为单调递减函数，
又由，所以，
根据零点的存在定理，可得零点的区间是。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合减函数的定义，从而判断出函数为减函数，再利用零点存在性定理，进而得出包含函数零点的区间。
3．【答案】B
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】；；，
；，
。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合零点存在性定理，从而求出函数 的零点所在的区间。
4．【答案】B
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由解析式知：在上恒成立，
在上单调递减，且，，
综上，零点所在的区间为.
故答案为：B
【分析】根据函数解析式判断在上恒成立，在上单调递减，再结合零点存在性定理判断零点所在区间.
5．【答案】B
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】由可知，当时，和单增，故单增，
当时，；当时，；当时，；
当时，，当时，，
由可知，的零点所在的区间为.
故答案为：B
【分析】利用根的存在性定理进行判断区间端点处的符号，即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】函数零点的判定定理；函数的零点
【解析】【解答】，，且函数为增函数，
由函数零点存在定理，的零点所在的区间是．
故答案为：B.
【分析】根据题意由零点存在性定理，代入数值计算出结果由此即可得出答案。
7．【答案】B
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】为上的递增函数，
，
，
，
，
则函数的零点所在的区间为。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合零点存在性定理，进而找出函数的零点所在的区间。
8．【答案】C
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】令，可得，
则原命题即求与图象交点的个数，
分别作出与图象，如下所示
由图象可得，交点为A、B、C三点，
所以函数的零点个数为3.
故答案为：C
【分析】函数的零点，转化为两个新函数图象的交点个数，利用数形结合求解即可.
9．【答案】C
【知识点】函数的图象；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由 ，得 ，
作出函数 与 的图象如图，
由图可知，函数 的零点个数是2，
故答案为：C．
【分析】利用零点的定义结合函数零点与两函数交点的横坐标的等价关系，从而结合两函数 与 的图象，从而求出函数 的零点个数。
10．【答案】C
【知识点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】令 得 ，
则 的零点个数，即是方程 根的个数，
即是函数 与 图像交点个数，
在同一直角坐标系内画出 与 的图像如下，
由图像可得， 与 的图像有两个不同的交点，
所以函数 在定义域内的零点的个数为 个.
故答案为：C.
【分析】把函数的零点个数转化为两个函数的图象的交点个数，利用数形结合求解即可。
11．【答案】B
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】因为函数单调递增，且x=3,y>0,x=1,y<0，所以零点个数为1
故答案为：B
【分析】利用零点存在性定理代入数值计算出结果即可求出零点个数。
12．【答案】B
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】函数 的零点，即令 ，根据此题可得 ，在平面直角坐标系中分别画出幂函数 和指数函数 的图像，可得交点只有一个，所以零点只有一个，
故答案为：B
【分析】本小题表面上考查的是零点问题，实质上考查的是函数图象问题，该题涉及到的图像为幂函数和指数函数.
13．【答案】D
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由 得 ，
分别作出函数 与， 的图象如图：
由图象可知两个函数有2个交点，即函数 的零点个数为2个，
故答案为：D.
【分析】函数 的零点个数 方程 解的个数 函数 与函数 图象交点个数．
14．【答案】B
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】因为函数 在区间(1，3)内都是增函数，
所以函数 在区间(1，3)内都是增函数，
又
所以 ，
所以函数 在区间(1，3)内的零点个数是1.
故答案为：B
【分析】先证明函数的单调递增，再证明 ，即得解.
15．【答案】B
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】 时， ，解得：
时， 函数 零点个数为： .
当 时， ，即
可看成是函数 和 交点的横坐标，即是 方程的解.
画出二者的函数图象：
由图像可知 ，函数 和 只有一个交点.
故 ， 只有一个零点.
综上所述， 函数 的零点个数为： .
故答案为：B.
【分析】当 时，由 ，解 ，有1个零点.当 时， 方程的解，可看成是函数 和 交点的横坐标，画出二者的函数图象即可判断出交点个数，即可求得答案.
16．【答案】C
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，所以0是函数f（x）的一个零点;当x＞0时，令f（x）=ex+x-3=0，则ex=-x+3，分别画出函数y=ex，和y=-x+3的图象，如图所示，
有一个交点，所以函数f（x）有一个零点，又根据对称性知，当x＜0时函数f（x）也有一个零点．综上所述，f（x）的零点个数为3个，
故答案为：C．
【分析】先由函数f（x）是定义在R上的奇函数确定0是一个零点，再令x＞0时的函数f（x）的解析式等于0转化成两个函数，转化为判断两函数交点个数问题，最后根据奇函数的对称性确定答案．
17．【答案】C
【知识点】函数奇偶性的判断；函数零点的判定定理
【解析】【解答】当 时， ，
结合指数与对数函数的单调性可知 ，在 上单调递增，
∵f（1） ， 时， ，
则 在 上有唯一的零点，
因为奇函数 的图象关于原点对称，故当 时也有唯一零点，且 ，
综上可得，程 的实根个数为3个.
故答案为：C
【分析】当 时，先利用零点判定定理进行判断，然后结合奇函数的性质进行判断即可．
18．【答案】A,D
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】因为在上的图象是连续不断的，且，，，，所以一定包含零点的区间是，。
故答案为：AD.
【分析】利用已知条件结合零点存在性定理，从而找出一定包含零点的区间。
19．【答案】2
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令，这，
则函数的零点的个数即为与的图象的交点个数，
如图：
由图象可知，与的图象的交点个数为2个，
即函数的零点的个数为2.
故答案为：2.
【分析】求出函数的定义域，再把函数转化为对应的方程，在坐标系中画出两个函数与的图象求出方程的根的个数，即可求出函数零点的个数.
20．【答案】1
【知识点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由题意可知 的定义域为 ，令 ，
可得 ， 解得 （舍去）或 ，
；
所以函数 的零点个数为 个．
故答案为：1．
【分析】解方程，根据方程的根的个数，即可得出的零点个数。
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