《志鸿全优设计》2013-2014学年高中数学人教A选修2-2单元目标检测：第一章　导数及其应用（含解析）

数学人教A选修2-2第一章　导数及其应用单元检测
(时间：60分钟，满分：100分)
一、选择题(每小题6分，共48分)
1．一点沿直线运动，如果由始点起经过t s后走过的路程为，那么速度为0的时刻是(　　)
A．1 s末 B．0 s
C．4 s D．0 s末，1 s末，4 s末
2．当x在(－∞，＋∞)上变化时，导函数f′(x)的符号变化如下表：
x
(－∞，1)
1
(1,4)
4
(4，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
则函数f(x)的图象的大致形状为(　　)
3．当x＝a时，函数y＝ln(x＋2)－x取到极大值b，则ab等于(　　)
A．－1 B．0 C．1 D． 2
4．＝(　　)
A． B． C． D．
5．若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数b的取值范围是(　　)
A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1] D．(－∞，－1)
6．一物体在力F(x)＝3x2－2x＋5(力的单位：N，位移单位：m)的作用下沿与力F(x)相同的方向由x＝5 m运动到x＝10 m时F(x)做的功为(　　)
A．925 J B．850 J
C．825 J D．800 J
7．已知f(x)＝(x＋a)2，且，则a的值为(　　)
A．－1 B．－2
C．1 D．2
8．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是(　　)
A．0≤a≤21 B．a＝0或a＝7
C．a＜0或a＞21 D．a＝0或a＝21
二、填空题(每小题6分，共18分)
9．若曲线f(x)＝ax3＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是__________．
10．已知函数y＝f(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)，B，C(1,0)．函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为__________．
11．若函数在区间(m,2m＋1)上是单调递增函数，则实数m的取值范围是________．
．
三、解答题(共34分)
12．(10分)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋4ln x的极值点为1和2．
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数f(x)在区间(0,3]上的最大值．
13．(10分)甲、乙两村合用一个变压器，如图所示，若两村用同型号线架设输电线路，问：变压器设在输电干线何处时，所需电线最短？
14．(14分)已知a∈R，f(x)＝(x2－4)(x－a)．
(1)求f′(x)；
(2)若f′(1)＝0，求f(x)在[－2,2]上的最大值和最小值；
(3)若f(x)在(－∞，－2]和[2，＋∞)上是单调递增的，求实数a的取值范围．
参考答案
1答案：D　解析：s′＝t3－5t2＋4t，令s′＝0得t＝0,1,4．
2答案：C　解析：从表中可知f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1,4)上单调递增，在(4，＋∞)上单调递减．
3答案：A　解析：y′＝[ln(x＋2)－x]′＝．令y′＝0，得x＝－1，此时y＝ln 1＋1＝1，即a＝－1，b＝1，故ab＝－1．
4答案：A　解析：．
5答案：C　解析：f′(x)＝．
∵f(x)在(－1，＋∞)上是减函数，
∴f′(x)在(－1，＋∞)上小于零恒成立，
即≤0恒成立，
∴b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立．
又∵x(x＋2)＝(x＋1)2－1＜－1，∴b≤－1．
6答案：C　解析：依题意F(x)做的功是
W＝F(x)dx＝(3x2－2x＋5)dx
＝(x3－x2＋5x)＝825(J)．
7答案：B　解析：∵f(x)＝(x＋a)2，∴f′(x)＝2x＋2a，依题意有2×＋2a＝－3，解得a＝－2．
8答案：A　解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，当Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数不存在极值点．故选A．
9答案：a＜0　解析：f′(x)＝3ax2＋(x＞0)，若函数存在垂直于y轴的切线，则曲线f(x)上存在导数为0的点，即3ax2＋＝0有解，，
∵x＞0，∴．∴a＜0．
10答案：　解析：由题意f(x)＝
则xf(x)＝
∴xf(x)与x轴围成图形的面积为10x2dx＋(－10x2＋10x)dx＝＝．
11答案：－1＜m≤0　解析：由已知得f′(x)＝在(m,2m＋1)上有f′(x)≥0，即1－x2≥0，－1≤x≤1，
∴∴－1＜m≤012答案：解：f′(x)＝2ax＋b＋＝，x∈(0，＋∞)，
由y＝f(x)的极值点为1和2，
∴2ax2＋bx＋4＝0的两根为1和2，
∴解得
答案：由(1)得f(x)＝x2－6x＋4ln x，
∴f′(x)＝2x－6＋
＝，x∈(0,3]．
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1,2)
2
(2,3)
3
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增
－5
单调递减
4ln 2－8
单调递增
4ln 3－9
∵f(3)＝4ln 3－9＞f(1)＝－5＞f(2)＝4ln 2－8，
∴f(x)max＝f(3)＝4ln 3－9．
13答案：解：设CD＝x(km)，则CE＝3－x(km)．
由题意得所需电线的长为l＝AC＋BC
＝(0≤x≤3)．
∴．
令l′＝0，则，
即，平方，
得，
即1.52x2＋x2(3－x)2＝(3－x)2＋x2(3－x)2，
∴1.52x2＝(3－x)2，∴1.5x＝±(3－x)，
解得x＝1.2或x＝－6(舍去)，经检验x＝1.2为函数的最小值点，故当CD＝1.2 km时所需电线最短．
14答案：解：f′(x)＝(x2－4)′(x－a)＋(x2－4)(x－a)′
＝2x(x－a)＋x2－4＝3x2－2ax－4．
答案：由f′(1)＝0，得3－2a－4＝0，∴．
此时f(x)＝(x2－4)，
f′(x)＝3x2＋x－4＝(x－1)(3x＋4)．
∴x＝1和是函数f(x)的极值点．
∵，，f(2)＝f(－2)＝0，
∴f(x)max＝，f(x)min＝．
答案：f′(x)＝3x2－2ax－4，
如图，设f′(x)＞0的解集为(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，其中x1＜x2，
则有
∴－2≤a≤2，
即实数a的取值范围为{a|－2≤a≤2}．