《志鸿全优设计》2013-2014学年高中数学人教A选修2-2单元目标检测：第二章　推理与证明（含解析）

数学人教A选修2-2第二章　推理与证明单元检测
(时间：60分钟，满分：100分)
一、选择题(每小题6分，共48分)
1．下列推理过程是类比推理的是(　　)
A．人们通过大量试验得出掷硬币出现正面的概率为
B．科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼
C．通过检测溶液的pH值得出溶液的酸碱性
D．数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数
2．如图所示，4个小动物换座位，开始时鼠，猴，兔，猫分别坐1,2,3,4号座位，如果第1次前后排动物互换座位，第2次左右列动物互换座位，第3次前后排动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2014次互换座位后，小兔坐在(　　)号座位上．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．观察1＝12,2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，…得出的一般性结论是(　　)
A．1＋2＋…＋n＝(2n－1)2(n∈N*)
B．n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N*)
C．n＋(n＋1)＋…＋(2n－1)＝(2n－1)2(n∈N*)
D．1＋2＋…＋(3n－2)＝(n－1)2(n∈N*)
4．若x，y＞0且x＋y＞2，则和的值满足(　　)
A．和中至少有一个小于2
B．和都小于2
C．和都大于2
D．不确定
5．已知，，，，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为(　　)
A．
B．
C．
D．
6．已知结论：在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则．若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则等于(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
7．已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n＝k(k≥2，且k为偶数)时等式成立，则还需利用归纳假设再证(　　)
A．n＝k＋1时等式成立
B．n＝k＋2时等式成立
C．n＝2k＋2时等式成立
D．n＝2(k＋2)时等式成立
8．若a＞b＞c，n∈N*，且恒成立，则n的最大值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
二、填空题(每小题6分，共18分)
9．已知△ABC中，A＝30°，B＝60°，求证：a＜b．
证明：∵A＝30°，B＝60°，∴A＜B，∴a＜b．画线部分是演绎推理三段论中的________．(填大前提、小前提或结论)
10．用数学归纳法证明(n＞1且n∈N*)，第一步要证明的不等式是________________．
11．已知x＞0，由不等式，，，启发我们归纳得到推广结论：x＋≥n＋1(n∈N*)，其中a＝__________．
三、解答题(共34分)
12．(10分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°．
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
13．(10分)求证：，n∈N*．
14．(14分)已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为an＝3n＋6，bn＝2n＋7(n∈N*)．将集合{x|x＝an，n∈N*}∪{x|x＝bn，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，c3，…，cn，…．
(1)写出c1，c2，c3，c4；
(2)求证：在数列{cn}中，但不在数列{bn}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…；
(3)求数列{cn}的通项公式．
参考答案
1答案：B　解析：A为归纳推理，C，D为演绎推理．
2答案：B　解析：由题意得第4次互换座位后，4个小动物又回到了原座位，即每经过4次互换座位后，小动物回到原座位，而2 014＝4×503＋2，所以第2014次互换座位后的结果与第2次互换座位后的结果相同，故小兔坐在2号座位上，应选B．
3答案：B
4答案：A　解析：假设，，x＞0，y＞0，则1＋y≥2x,1＋x≥2y2＋x＋y≥2x＋2yx＋y≤2，这与x＋y＞2矛盾．
5答案：A　解析：从各个等式可以看出，等式右端均为2，左端为两个分式的和，且两个式子的分子之和恒等于8，分母则为相应分子减去4，设其中一个分子为n，另一个分子必为8－n．
6答案：C　解析：由题意知，O为正四面体的外接球、内切球球心，设正四面体的高为h，由等体积法可求得内切球半径为，外接球半径为，所以．
7答案：B　解析：由于k是偶数，故k＋2是k后面的第一个偶数．
8答案：C　解析：要使恒成立，即有，而≥，
所以n≤4，即n的最大值为4．
9答案：小前提　解析：在三角形中大角对大边是大前提；题目中横线部分为小前提．
10答案：　解析：∵n＞1，
∴第一步应证明当n＝2时不等式成立，
即．
11答案：nn　解析：当n＝1时，a＝12，当n＝2时，a＝22，当n＝3时，a＝33，归纳一般情况为a＝nn．
12答案：解法一：(1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝．
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝．
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)
＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α
＝sin2α＋cos2α＝．
解法二：(1)同解法一．
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝．
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)
＝－cos 2α＋＋ (cos 60°cos 2α＋sin 60°·sin 2α)－sin αcos α－sin2α
＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)
＝1－cos 2α－＋cos 2α＝．
13答案：证明：(1)当n＝1时，因为＜1，所以原不等式成立．
(2)假设n＝k(k∈N*)时，原不等式成立，即有，
当n＝k＋1时，
＜．
因此，欲证当n＝k＋1时，原不等式成立，只需证明成立，即证，
从而转化为证，
也就是证．
又＝k2＋k＋1－＝＞0，从而．
于是当n＝k＋1时，原不等式也成立．
由(1)(2)可知，当n是一切正整数时，原不等式都成立．
14答案：解：它们是9,11,12,13．
答案：证明：∵数列{cn}由{an}，{bn}的项构成，
∴只需讨论数列{an}的项是否为数列{bn}的项．
∵对于任意n∈N*，a2n－1＝3(2n－1)＋6＝6n＋3＝2(3n－2)＋7＝b3n－2，
∴a2n－1是{bn}的项．
下面用反证法证明：a2n不是{bn}的项．
假设a2n是数列{bn}的项，设a2n＝bm，则3·2n＋6＝2m＋7，m＝3n－，与m∈N*矛盾．
∴结论得证．
答案：解：∵b3k－2＝2(3k－2)＋7＝6k＋3，a2k－1＝6k＋3，b3k－1＝6k＋5，a2k＝6k＋6，b3k＝6k＋7，
∴b3k－2＝a2k－1＜b3k－1＜a2k＜b3k，k＝1,2,3，…．
∴k∈N*．
综上，k∈N*．