《志鸿全优设计》2013-2014学年高中数学人教A选修2-2单元目标检测：第三章　数系的扩充与复数的引入（含解析）

数学人教A选修2-2第三章　数系的扩充与复数的引入单元检测
(时间：60分钟，满分：100分)
一、选择题(每小题6分，共48分)
1．方程x2＋6x＋13＝0的一个根是(　　)
A．－3＋2i B．3＋2i
C．－2＋3i D．2＋3i
2．复数＝(　　)
A． B．
C． D．
3．设(n∈Z)，则集合中元素有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．无数个
4．a为正实数，i为虚数单位，，则a＝(　　)
A．2 B．
C． D．1
5．若＝1＋bi(a，b∈R)，则复数a＋bi＝(　　)
A．1＋i B．1＋2i
C．2－i D．2＋i
6．若A，B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cos B－sin A)＋i(sin B－cos A)对应的点位于复平面内的(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
7．复数z满足条件：|2z＋1|＝|z－i|，那么z对应的点的轨迹是(　　)
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
8．设z是复数，α(z)表示满足zn＝1的最小正整数n，则对虚数单位i，α(i)等于(　　)
A．8 B．6
C．4 D．2
二、填空题(每小题6分，共18分)
9．复数(i为虚数单位)，则z对应的点在第__________象限．
10．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R＋，i是虚数单位)是方程x2－4x＋5＝0的根．复数ω＝u＋3i(u∈R)满足|ω－z|＜，则u的取值范围为__________．
11．数列{an}满足a1＝2i，(1＋i)an＋1＝(1－i)an，则a10＝__________．
三、解答题(共34分)
12．(10分)m为何实数时，复数z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
13．(10分)设z1，z2是非零复数，，，则A，B是实数还是虚数？能否比较它们的大小？若能，比较其大小．
14．(14分)已知z是复数，z＋2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
参考答案
1答案：A　解析：由题意可得，Δ＝62－4×13＝－16，
故x＝＝－3±2i，故A正确．
2答案：C　解析：∵i2＋i3＋i4＝－1＋(－i)＋1＝－i，
∴原式＝．
3答案：C　解析：f(n)＝in＋(－i)n，n取特殊值1,2,3,4，可得相应的值．f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2．故选C．
4答案：B　解析：，即a2＝3．
又∵a为正实数，∴．
5答案：D　解析：∵＝1＋bi，
∴，，即a＝2，b＝1，
∴a＋bi＝2＋i．
6答案：B　解析：可令A，B取特殊值来判断，如A＝B＝60°，则，复数z对应的点位于第二象限．
7答案：A　解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|2x＋2yi＋1|＝|x＋yi－i|，即，
所以3x2＋3y2＋4x＋2y＝0，即．
8答案：C　解析：∵α(z)表示满足zn＝1的最小正整数n，∴α(i)表示满足in＝1的最小正整数n，
∵i2＝－1，∴i4＝1．
∴α(i)＝4．
9答案：四　解析：∵，
∴复数z对应点的坐标为，为第四象限的点．
10答案：(－2,6)　解析：原方程的根为x＝2±i．
∵a，b∈R＋，∴z＝2＋i．
∵|ω－z|＝|(u＋3i)－(2＋i)|＝，∴－2＜u＜6．
11答案：2　解析：由(1＋i)an＋1＝(1－i)an，得，
所以数列{an}是等比数列，
于是a10＝a1·(－i)9＝2i·(－i)9＝2．
12答案：解：∵z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)
＝2m2＋m2i－3mi－3m－2＋2i
＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i，
∴(1)由m2－3m＋2＝0，得m＝1，或m＝2，
即m＝1或2时，z为实数．
(2)由m2－3m＋2≠0，得m≠1，且m≠2，
即m≠1，且m≠2时，z为虚数．
(3)由得，即时，z为纯虚数．
13答案：解：∵＝·z2＋·z1＝A，∴A∈R．
根据共轭复数的性质z·＝x2＋y2(x，y∈R)，可知z1·∈R，z2·∈R，
∴B∈R，∴A，B是实数，可以比较大小．
B－A＝(z1·＋z2·)－(z1·＋z2·)＝z1(－)－z2(－)＝(z1－z2)(－)＝(z1－z2)·()．
设z1－z2＝a＋bi(a，b∈R)，则B－A＝(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2≥0．∴B≥A．
14答案：解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋2i＝x＋(y＋2)i，
由z＋2i为实数，得y＝－2．
∵＝(x－2i)(2＋i)＝(2x＋2)＋(x－4)i，
由为实数，得x＝4．
∴z＝4－2i．
∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，
根据条件，可知
解得2＜a＜6，
∴实数a的取值范围是(2,6)．