《志鸿全优设计》2013-2014学年高中数学人教A选修2-3单元目标检测：第二章　随机变量及其分布（含解析）

数学人教A选修2-3第二章　随机变量及其分布单元检测
(时间：45分钟，满分：100分)
一、选择题(每小题6分，共48分)
1．袋中有2个黑球6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是(　　)
A．取到的球的个数
B．取到红球的个数
C．至少取到一个红球
D．至少取到一个红球的概率
2．(2013福建厦门模拟)位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位长度，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是．质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是(　　)
A． B．
C． D．
3．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知ξ的数学期望E(ξ)＝8.9，则y的值为(　　)
A．0.2 B．0.4
C．0.6 D．0.8
4．某普通高校招生体育专业测试合格分数线确定为60分．甲、乙、丙三名考生独立参加测试，他们能达到合格的概率分别是0.9,0.8,0.75，则三个中至少有一人达标的概率为(　　)
A．0.015 B．0.005
C．0.985 D．0.995
5．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A＝{两个点数互不相同}，B＝{出现一个5点}，则P(B|A)＝(　　)
A． B． C． D．
6．已知一次考试共有60名同学参加，考生成绩X～N(110,52)，据此估计，大约有57人的分数所在的区间为(　　)
A．(90,100] B．(95,125]
C．(100,120] D．(105,115]
7．把10个骰子全部投出，设出现6点的骰子的个数为X，则P(X≤2)＝(　　)
A．
B．
C．
D．以上都不对
8．已知随机变量X～B(6,0.4)，则当η＝－2X＋1时，D(η)＝(　　)
A．－1.88 B．－2.88
C．5. 76 D．6.76
二、填空题(每小题6分，共18分)
9．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)内的概率和落在区间(3,5)内的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为__________．
10．将一个大正方形平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)，投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，则P(A|B)＝______．
11．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望E(X)＝________．
三、解答题(共34分)
12．(10分)某厂工人在一年里如果有1个季度完成生产任务，则可得奖金300元；如果有2个季度完成生产任务，则可得奖金750元；如果有3个季度完成生产任务，则可得奖金1 260元；如果有4个季度完成生产任务，则可得奖金1 800元；如果四个季度都未完成任务，则没有奖金．假设某工人每季度完成任务与否是等可能的，求他在一年里所得奖金的分布列．
13．(12分)(2012天津高考，理16)现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．
(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望E(ξ)．
14．(12分)某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q(p＞q)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
ξ
0
1
2
3
P
a
b
(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；
(2)求p，q的值；
(3)求数学期望E(ξ)．
参考答案
1答案：B　解析：取到球的个数是一个固定的数字，不是随机变量，故A不正确；取到红球的个数是一个随机变量，它的可能取值是0,1,2，故B正确；至少取到一个红球表示取到一个红球，或取到两个红球，表示一个事件，故C不正确；D显然不正确．故选B．
2答案：B　解析：由于质点每次移动一个单位长度，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P必须向右移动二次，向上移动三次，故其概率为．
3答案：B　解析：∵E(ξ)＝7x＋8×0.1＋9×0.3＋10y＝7(0.6－y)＋10y＋3.5＝7.7＋3y，
∴7.7＋3y＝8.9，
∴y＝0.4．
4答案：D　解析：三人都不合格的概率为(1－0.9)×(1－0.8)×(1－0.75)＝0.005．
∴至少有一人合格的概率为1－0.005＝0.995．
5答案：A　解析：出现点数互不相同的共有6×5＝30种，
出现一个5点共有5×2＝10种，
∴P(B|A)＝．
5答案：C　解析：∵X～N(110,52)，
∴μ＝110，σ＝5．
＝0.95≈P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝P(100＜X≤120)．
∴X(100,120]．
6答案：C　解析：∵X～N(110,52)，
∴μ＝110，σ＝5．
＝0.95≈P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝P(100＜X≤120)．
∴X(100,120]．
7答案：D　解析：P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝．
8答案：C　解析：由已知D(X)＝6×0.4×0.6＝1.44，则D(η)＝4D(X)＝4×1.44＝5.76．
9答案：1　解析：区间(－3，－1)和区间(3,5)关于x＝1对称(－1的对称点是3，－3的对称点是5)，所以正态分布的数学期望就是1．
10答案：　解析：根据几何概型，得P(AB)＝，P(B)＝，所以P(A|B)＝．
11答案：　解析：由P(X＝0)＝，所以×(1－p)×(1－p)＝，得p＝，所以X的分布列如下：
X
0
1
2
3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．
12答案：
解：设该工人在一年里所得奖金为X，
则X是一个离散型随机变量．
由于该工人每季度完成任务与否是等可能的，所以他每季度完成任务的概率等于，所以
P(X＝0)＝，
P(X＝300)＝，
P(X＝750)＝，
P(X＝1 260)＝，
P(X＝1 800)＝．
故X的分布列为
X
0
300
750
1 260
1 800
P
13答案：
解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为．
设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i＝0,1,2,3,4)，
则P(Ai)＝．
这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P(A2)＝．
答案：设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝A3∪A4．由于A3与A4互斥，故
P(B)＝P(A3)＋P(A4)
＝．
所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为．
答案：ξ的所有可能取值为0,2,4．
由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故
P(ξ＝0)＝P(A2)＝，
P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝，
P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝．
所以ξ的分布列是
ξ
0
2
4
P
随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋2×＋4×＝．
14答案：
解：事件Ai表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i＝1,2,3．
由题意知P(A1)＝，P(A2)＝p，P(A3)＝q．
由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“ξ＝0”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是
1－P(ξ＝0)＝1－＝．
答案：由题意知
P(ξ＝0)＝P()＝(1－p) (1－q)＝，
P(ξ＝3)＝P(A1A2A3)＝＝．
整理得pq＝，p＋q＝1．
由p＞q，可得，．
答案：由题意知
a＝P(ξ＝1)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝(1－p)(1－q)＋p(1－q)＋(1－p)q＝，
b＝P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝．
所以E(ξ)＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1)＋2×P(ξ＝2)＋3×P(ξ＝3)＝．