《志鸿全优设计》2013-2014学年高中数学人教B必修1单元目标检测：第一章　集　合（含解析）

数学人教B必修1第一章　集　合单元检测
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．2012年夏季奥林匹克运动会在伦敦举行，下列能构成集合的是(　　)
A．所有著名运动员
B．所有志愿者
C．所有喜欢中国的运动员
D．参加开幕式表演中所有高个子的演员
2．集合A＝{2,5,8}的子集的个数是(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
3．设集合M＝{x|x＞1}，P＝{x|x2－6x＋9＝0}，则下列关系中正确的是(　　)
A．M＝P B．PM
C．MP D．M?P
4．设集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，且A?B，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≥2 B．a＞2
C．a≤1 D．a＞1
5．下列四个命题：①{0}是空集；②若a∈N，则－aN；③集合{x∈R|x2－2x＋1＝0}有两个元素；④集合是有限集．其中正确命题的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．0
6．设全集U＝{0,1,2,3,4}，A＝{0,3,4}，B＝{1,3}，则(UA)∪B＝(　　)
A．{2} B．{1,2,3}
C．{1,3} D．{0,1,2,3,4}
7．已知集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}满足A∩B≠，A∩C＝，则实数a的值为(　　)
A．a＝－2或a＝5 B．a＝－3或a＝5
C．a＝－2 D．a＝5
8．已知M，N都是U的子集，则图中的阴影部分表示(　　)
A．M∪N B．U(M∪N)
C．(UM)∩N D．U(M∩N)
9．50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为(　　)
A．50 B．45
C．40 D．35
10．定义AB＝.设集合A＝{0,2}，B＝{1,2}，C＝{1}，则集合(AB)C的所有元素之和为(　　)
A．3 B．9
C．18 D．27
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
11．已知集合A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|x－y＝4}，则A∩B＝________.
12．若集合A＝{x|－5≤x＜a}，B＝{x|x≤b}，且A∩B＝，则实数b的集合为__________．
13．若方程x2＋px＋4＝0的解集为A，方程x2＋x＋q＝0的解集为B，且A∩B＝{4}，则满足C?(A∪B)的所有集合C的个数为________．
14．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{a，a2}，则使M∪N＝M成立的a的值是________．
15．若集合A＝{x|2x－1＞0}，B＝{x|x－1＞0}，C＝{x|________}，则(A∪B)∩C＝，试在上述集合C中填上一个关于x的一次不等式，使得上述结论成立．
三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)已知全集U为R，集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|x＜－3，或x＞1}．
求：(1)A∩B；
(2)(UA)∩(UB)；
(3)U(A∪B)．
17．(本小题满分12分)已知M＝{x|x2－5x＋6＝0}，N＝{x|ax＝12}，若N?M，求实数a构成的集合A，并写出A的所有非空真子集．
18．(本小题满分12分)已知A＝{x||x－a|＝4}，B＝{1,2，b}．
(1)是否存在实数a，使得对于任意实数b，都有A?B？若存在，求出相应的a；若不存在，请说明理由．
(2)若A?B成立，求出相应的实数对(a，b)．
19．(本小题满分12分)已知集合A＝{x∈R|x2＋(p＋2)x＋1＝0}，若A∩R＋＝，求实数p的取值范围，其中R＋＝{x∈R|x＞0}．
20．(本小题满分13分)设非空集合S具有如下性质：
①元素都是正整数；②若x∈S，则10－x∈S.
(1)请你写出符合条件，且分别含有1个、2个、3个元素的集合S各一个．
(2)是否存在恰有6个元素的集合S？若存在，写出所有的集合S；若不存在，请说明理由．
(3)由(1)、(2)的解答过程启发我们，可以得出哪些关于集合S的一般性结论(要求至少写出两个结论)?
21．(本小题满分14分)在全国高中数学联赛第二卷中只有三道题，已知：
(1)某校25个学生参加竞赛，每个学生至少解出一道题；
(2)在所有没有解出第一题的学生中，解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍；
(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1个；
(4)只解出一道题的学生中，有一半没有解出第一题．
问：共有多少个学生只解出第二题？

参考答案
1．B　点拨：选项A，C，D中都没有一个确定的标准来判断，不满足集合中元素的确定性，因而都不能构成集合；选项B中，所有的志愿者能构成集合．
2．C　点拨：因为集合A中共有3个元素，所以其子集的个数是23＝8.
3．B　点拨：由x2－6x＋9＝0，得(x－3)2＝0，即x＝3，
集合P可用列举法表示为P＝{3}．
∵3∈{x|x＞1}，∴P?M.
又∵2∈M，但2P，∴PM.
4．A　点拨：由数轴(如下图)可知，要使A?B成立，则需a ≥2即可．
5．D　点拨：①错误，{0}是含有一个元素0的集合，不是空集；
②错误，当a＝0时，a∈N，且－a∈N；
③错误，由x2－2x＋1＝0得x1＝x2＝1，所以集合{x∈R|x2－2x＋1＝0}可用列举法表示为{1}，而不能写成{1,1}，这样不满足集合中元素的互异性；
④错误，当x为正整数的倒数时∈N.
∴是无限集．
6．B　点拨：∵U＝{0,1,2,3,4}，A＝{0,3,4}，
∴UA＝{1,2}．
又∵B＝{1,3}，∴(UA)∪B＝{1,2,3}．
7．C　点拨：易知B＝{2,3}，C＝{－4，2}．
∵A∩B≠，A∩C＝，∴3∈A，且2A.
∴3是方程x2－ax＋a2－19＝0的解．
∴32－3a＋a2－19＝0，即a2－3a－10＝0.
解得a＝－2或a＝5.
当a＝5时，A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，A∩C＝{2}，不符合题意，故舍去．∴a＝－2.
8．B
9．B　点拨：设参加甲、乙两项体育活动的同学组成的集合分别为A，B.由题意可知，card(A)＝30，card(B)＝25，card(A∪B)＝50.
∵card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)，
∴50＝30＋25－card(A∩B)，
∴card(A∩B)＝5，即两项都参加的学生有5名，
∴仅参加一项活动的学生人数为50－5＝45.
10．C　点拨：∵A＝{0,2}，B＝{1,2}，
∴AB＝{0,4,5}，
又∵C＝{1}，∴(AB)C＝{0,8,10}．
故(AB)C的所有元素之和为18.
11．{(2，－2)}　点拨：解方程组得
所以A∩B＝{(2，－2)}．
12．{b|b＜－5}
13．8　点拨：∵A∩B＝{4}，∴4∈A，且4∈B.
∴解得
∴A＝{x|x2－5x＋4＝0}＝{1,4}，
B＝{x|x2＋x－20＝0}＝{－5,4}．
∴A∪B＝{1,4，－5}．
∴A∪B的所有子集有23＝8个，即满足题意的集合C有8个．
14．－1　点拨：由M∪N＝M知，N?M，∴a2∈M，∴a2＝0或a2＝1.
∴a＝0或a＝1或a＝－1.
当a＝0,1时，不满足集合中元素的互异性，舍去．
∴使M∪N＝M成立的a的值是－1.
15．(不唯一)　点拨：∵集合A＝{x|2x－1＞0}＝，B＝{x|x－1＞0}＝{x|x＞1}．
∴A∪B＝.要使(A∪B)∩C＝，集合C可为，注意答案不唯一．
16．解：(1)在数轴上画出集合A和B，可知A∩B＝{x|1＜x≤2}．
(2)UA＝{x|x≤0，或x＞2}，UB＝{x|－3≤x≤1}，
在数轴上画出集合UA和UB，可知(UA)∩(UB)＝{x|－3≤x≤0}．
(3)由(1)中数轴可知，A∪B＝{x|x＜－3，或x＞0}．
∴U(A∪B)＝{x|－3≤x≤0}．
(注：也可由公式U(A∪B)＝(UA)∩(UB)，利用第(2)问计算的结果求U(A∪B)．)
17．解：由x2－5x＋6＝0得，x＝2或x＝3，
∴M＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}．
∵N?M，∴N＝或{2}或{3}．
当N＝时，方程ax＝12无实数根，此时a＝0；
当N＝{2}时，2是方程ax＝12的根，∴2a＝12，a＝6；
当N＝{3}时，3是方程ax＝12的根，∴3a＝12，a＝4.
∴实数a构成的集合A＝{0,4,6}，其所有非空真子集有{0}，{4}，{6}，{0,4}，{0,6}，{4,6}．
18．解：集合A＝{a－4，a＋4}，B＝{1,2，b}，均为有限集．
(1)若对任意的实数b，都有A?B，则只有当1,2都是A中的元素时，才满足题意．
所以或
而这两种情况都不成立，所以这样的实数a不存在．
(2)若A?B成立，由(1)可知和两种情况不成立，
所以应该有或或或
解得或或或
所以所有的实数对(a，b)有(5,9)，(6,10)，(－3，－7)，(－2，－6)，共四对．
19．解：∵A∩R＋＝，R＋＝{x∈R|x＞0}，A＝{x∈R|x2＋(p＋2)x＋1＝0}，
∴方程x2＋(p＋2)x＋1＝0没有正实数根或没有根．
∴Δ＝(p＋2)2－4＜0或
即p(p＋4)＜0或
解得－4＜p＜0或p≥0，
∴实数p的取值范围是p＞－4.
20．解：(1)由题意可知，若集合S中含有一个元素，则应满足10－x＝x，即x＝5，故S＝{5}．
若集合S中含有两个元素，设S＝{a，b}，则a，b∈N＋，且a＋b＝10，故S可以是下列集合中的一个：
{1,9}，{2,8}，{3,7}，{4,6}，
若集合S中含有3个元素，由集合S满足的性质可知5∈S，故S是{1,5,9}或{2,5,8}或{3,5,7}或{4,5,6}中的一个．
(2)存在含有6个元素的非空集合S如下所示：
S＝{1,2,3,7,8,9}或S＝{1,2,4,6,8, 9}或S＝{1,3,4,6,7,9}或S＝{2,3,4,6,7,8}共4个．
(3)答案不唯一，如：①S?{1,2,3,4,5,6,7,8,9}；
②若5∈S，则S中元素个数为奇数个，若5S，则S中元素个数为偶数个．
21．解：设A，B，C分别表示解出第一、二、三题的学生组成的集合，a，b，c表示只解出第一、二、三题的学生数，d表示只解出第一和第三题的人数，e表示只解出第一和第二题的人数，f表示只解出第二和第三题的人数，g表示解出三道题的人数．
依题意有
②代入①，得a＋2b－c＋d＋e＋g＝25，⑤
③代入⑤，得2b－c＋2d＋2e＋2g＝24，⑥
④代入⑤，得3b＋d＋e＋g＝25，⑦
⑦×2－⑥，得4b＋c＝26.⑧
由于c≥0，所以.
利用②⑧消去c，得f＝b－2(26－4b)＝9b－52，
因为f≥0，所以，
则有b＝6，即只解出第二题的学生有6个．