《志鸿全优设计》2013-2014学年高中数学人教B必修1单元目标检测：第二章　函　数（含解析）

数学人教B必修1第二章　函　数单元检测
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数的定义域为(　　)
A．[1,3)∪(3，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[1,2) D．[1，＋∞)
2．给出下列集合A到集合B的几种对应：
其中，是从A到B的映射的是(　　)
A．①② B．①②③
C．①②④ D．①②③④
3．已知则的值为(　　)
A．－0.5 B．4.5 C．－1.5 D．1.5
4．下列各组函数中，表示同一函数的是(　　)
A．f(x)＝x－1，
B．f(x)＝|x|，
C．f(x)＝x，
D．f(x)＝2x，
5．如果奇函数f(x)在区间[a，b](b＞a＞0)上是增函数，且最小值为m，那么f(x)在区间[－b，－a]上(　　)
A．是增函数，且最小值为－m
B．是增函数，且最大值为－m
C．是减函数，且最小值为－m
D．是减函数，且最大值为－m
6．已知函数y＝x2＋(1－k)x－k的一个零点在(2,3)内，则实数k的范围是(　　)
A．(－3，－2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(0,1)
7．若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数的较小者，则f(x)的最大值为(　　)
A．2 B．1
C．－1 D．无最大值
8．函数f(x)＝x2－2ax在x∈[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．R B．[1，＋∞)
C．(－∞，1] D．[2，＋∞)
9．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
10．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是(　　)
A．3 B．2
C．1 D．0
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
11．函数f(x)在R上为奇函数，且当x＞0时，，则它的解析式为f(x)＝________.
12．已知函数则f(f(f(－4)))＝__________.
13．已知二次函数f(x)＝x2＋2ax－4，当a__________时，f(x)在[1，＋∞)上是增函数；当a__________时，函数f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)．
14．若函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，则不等式f(x)＞f(3x－4)的解集为________．
15．函数f(x)对任意正整数a，b满足条件f(a＋b)＝f(a)·f(b)，且f(1)＝2，则的值是________．
三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)已知(x，y)在映射f的作用下的象是(x＋y，xy)，求(－2,3)在f作用下的象和(2，－3)在f作用下的原象．
17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x|x－2|.
(1)求作函数y＝f(x)的图象．
(2)写出f(x)的单调区间，并指出在各个区间上是增函数还是减函数？(不必证明)
(3)已知，求x的值．
18．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a，b是常数，且a≠0)满足条件：f(2)＝0，方程f(x)＝x有两个相等的实根．
(1)求f(x)的解析式．
(2)是否存在实数m，n，使得f(x)的定义域和值域分别为[m，n]和[2m,2n]？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．
19．(本小题满分12分)已知函数，且f(1)＝2.
(1)求a的值；
(2)判断函数f(x)的奇偶性；
(3)探求f(x)在区间(0，＋∞)的单调性．
20．(本小题满分13分)已知函数f(x)为定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上为减函数．
(1)证明函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数；
(2)若f(a－1)＞f(1)，试求实数a的取值范围．
21．(本小题满分14分)有一批影碟机，原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售，甲商场用如下方法促销，买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台，所买各台的单价均再减少20元，但每台单价不能低于440元；乙商场打折75%销售，某单位购买此类影碟机，去哪个商场购买花费较少？

参考答案
1．A　点拨：要使函数有意义，需满足∴x≥1，且x≠3.
2．A　点拨：根据映射的定义，知③中集合A中元素a对应集合B中两个元素x，y，则此对应不是映射；④中集合A中b在集合B中没有对应元素，且集合A中c对应集合B中两个元素y，z，则此对应不是映射．仅有①②是映射．
3．D　点拨：∵，∴.
∵，∴，即.
4．C　点拨：判断两个函数是否表示同一函数，只需看它们的定义域和对应法则是否分别相同．易知A，B选项中两个函数的定义域不同，D选项中两个函数的对应法则不同，其中g(x)＝|2x|.
5．B　点拨：如图是满足题意的一个函数f(x)的图象，可知f(x)在区间[－b，－a]上是增函数，且最大值是－m.
6．B　点拨：Δ＝(1－k)2－4×(－k)＝(1＋k)2.
当Δ＝0时，k＝－1，二次函数y＝x2＋2x＋1在区间(2,3)内无零点；
当Δ＞0时，若函数y＝x2＋(1－k)x－k的一个零点在(2,3)内，则f(2)·f(3)＜0，即(6－3k)·(12－4k)＜0，所以(k－2)·(k－3)＜0，解得2＜k＜3，因此，实数k的取值范围是(2,3)．
7．B　点拨：在同一坐标系中画出函数y＝2－x2，y＝x的图象，如图，根据题意，坐标系中实线部分即为函数f(x)的图象，
∴x＝1时，f(x)max＝1.
8．C　点拨：函数f(x)＝x2－2ax的图象开口向上，对称轴为直线x＝a.若f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则a≤1.
9．B　点拨：∵f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴f(x＋4)＝f(x)．
又∵f(x)为奇函数，
∴f(0)＝0，则f(6)＝f(4＋2)＝f(2)＝－f(0)＝0.
10．C　点拨：由甲、乙两图可以看出，1个进水口1小时的进水量为1,1个出水口1小时的出水量为2.在丙图中，0点到3点的蓄水量为6，应只打开2个进水口；3点到4点的蓄水量减少了1，应打开一个进水口和一个出水口；4点到6点的蓄水量不变，可能不进水不出水，也可能同时打开2个进水口和1个出水口．综上可知，正确的论断只有①.
11．
点拨：∵奇函数f(x)的定义域为R，∴f(0)＝0.
设x＜0，则－x＞0，∴f(－x)＝.
又f(x)为奇函数，
∴－f(x)＝，f(x)＝.
∴
12．8　点拨：∵－4＜－3，
∴f(－4)＝－4＋2＝－2.
又∵－3＜－2＜3，
∴f(f(－4))＝f(－2)＝(－2)2＝4.
又∵4＞3，
∴f(f(f(－4)))＝f(4)＝2×4＝8.
13．≥－1　＝－1　点拨：∵函数f(x)＝x2＋2ax－4的单调递增区间是[－a，＋∞)，∴当－a≤1时，f(x)在[1，＋∞)上是增函数，即a≥－1.当a＝－1时，f(x)的递增区间是[1，＋∞)．
14．　点拨：由
15．2 010　点拨：∵函数f(x)对任意正整数a，b都满足f(a＋b)＝f(a)·f(b)，
∴令a＝n，b＝1(n∈N＋)，
得f(n＋1)＝f(n)·f(1)，
即．由n的任意性得
＝＝f(1)．
故
＝
＝1 005f(1)＝1 005×2＝2 010.
16．解：当x＝－2，y＝3时，x＋y＝－2＋3＝1，xy＝(－2)×3＝－6.∴(－2,3)在f作用下的象是(1，－6)；
由得或
∴(2，－3)在f作用下的原象是(3，－1)或(－1,3)．
17．解：(1)f(x)＝
即f(x)＝
作出函数y＝f(x)的图象(图中实线部分)．
(2)函数f(x)的单调区间有(－∞，1]，[1,2]，[2，＋∞)，其中，在区间(－∞，1]，[2，＋∞)上是增函数，在区间[1,2]上是减函数．
(3)当x≥2时，f(x)＝x2－2x.
若，则x2－2x＝，即4x2－8x－1＝0，解得或(舍去)；
当x＜2时，f(x)＝－x2＋2x.
若，则－x2＋2x＝，即4x2－8x＋1＝0，解得或.
综上可知，当时，x∈.
18．解： (1)由f(2)＝0，得4a＋2b＝0.
由方程f(x)＝x，得ax2＋(b－1)x＝0.
∵方程f(x)＝x有两个相等的实根，
∴Δ＝(b－1)2＝0.
解方程组得
∴.
(2)由(1)知，，
∴.∴.
∴函数f(x)在[m，n]上是增函数．
由
解得m＝－2或0，n＝－2或0.
由于m＜n，且，故满足条件的m，n存在，且m＝－2，n＝0.
19．解：(1)∵f(x)＝x＋，且f(1)＝2，∴1＋a＝2，即a＝1.
(2)由(1)可知，f(x)＝x＋.
∵函数f(x)的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，
f (－x)＝＝－f(x)．
∴函数f(x)是奇函数．
(3)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，则x1－x2＜0，
∴f(x1)－f(x2)＝＝.
当0＜x1＜x2＜1时，x1x2＜1，
∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，
∴函数f(x)在(0,1)上是减函数．
当x2＞x1≥1时，x1x2＞1，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
∴函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．
20．解：(1)证明：任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1＜x2，
则0＞－x1＞－x2，∵f(x)在(－∞，0]上为减函数，
∴f(－x1)＜f(－x2)．
∵f(x)为偶函数，∴f(x1)＜f(x2)．
∴f(x)在[0，＋∞)上为增函数．
(2)当a－1＞0，即a＞1时，∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数，∴若f(a－1)＞f(1)，则a－1＞1，∴a＞2；
当a－1＜0，即a＜1时，∵f(x)为R上的偶函数，且在(－∞，0]上为减函数，∴若f(a－1)＞f(1)，即f(a－1)＞f(－1)，则a－1＜－1，∴a＜0.
综上所述，a的取值范围是{a|a＞2，或a＜0}．
21．解：设该单位需要购买x台影碟机，去甲、乙两商场购货的差价为y元，当去甲商场购买共花费(800－20x)x，
又∵800－20x≥440，
即1≤x≤18，
∴
即
当1≤x＜10时，y＞0；
当x＝10时，y＝0；
当x＞10时，y＜0.
故买少于10台，去乙商场；
买10台，两商场均可；
买多于10台，去甲商场．