辽宁省葫芦岛市四校2022-2023学年高三上学期期中联考数学试卷（PDF版含答案）

2022-2023 学年度上学期高三年级四校期中联考试题
数学试卷
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的
四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1
1．已知集合 A x | y ， B y | y | x 3 | 2 ，则 A B （ ）
1 2 x
A． B． ( , 2] C． ( , 0) D． ( ,0]
2．若复数 z满足 z 1 1 i 2 2i，则 z （ ）
A． 2 B． 3 C．5 D． 5
x2 y 2
3．函数 y a3 x（a 0，且 a 1）的图象恒过定点A，若点A在椭圆 1（m 0，
m n
n 0）上，则m n的最小值为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
4．函数 f x 3sin x x xcos x在 2 , 2 的图象大致为（ ）2
A． B．
C． D．
5．从混有5张假钞的 20张百元钞票中任意抽出 2张，将其中1张放到验钞机上检验发现
是假钞，则另1张也是假钞的概率为（ ）
1 4 2 17
A． B． C． D．
19 19 17 38
6．在等腰梯形 ABCD中， AB / /DC, AB 2BC 2CD 2,P是腰 AD上的动点，则

| 2PB PC |的最小值为（ ）
7 3 3
27
A． B．3 C． D．
2 4
7．已知变量 x，y 的关系可以用模型 y c ekx拟合，设 z ln y，其变换后得到一组数
据下：
试卷第 1页，共 5页
x 16 17 18 19
z 50 34 41 31
由上表可得线性回归方程 z 4x a，则 c＝（ ）
A． 4 B． e 4 C．109 D． e109
x2 y2
8．已知双曲线 F F F
a2
2 1(a>0,b>0)左右焦点为 1， 2，过 2的直线与双曲线的右支交b

于 P，Q两点，且 PF 2 3F2Q，若△PQF1为以Q为顶角的等腰三角形，则双曲线的离
心率为（ ）
A．3 B．2 C． 2 D． 3
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的
选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2 分，有
选错的得 0 分．

9．若函数 f x cos x （ >0）两条对称轴之间的最小距离为 ，则下列说法正
3 2
确的是（ ）
A．函数 f x 的最小正周期为
B．函数 f x 在 0,

上单调递减
2
f x C．将函数 图象向右平移 个单位长度后所得图象关于 y轴对称
6
D．若 f x1 f x2 0，则 f x 31 x2 2
5
10．已知a 0，b 0， a log4 2 b log16 2 ，则下列结论正确的是（ ）16
4a 5
18
A． b 5 B．4a b 25 1 1C．ab 的最大值为 D． 的最小值为
2 64 a b 5
11．已知点 A 1,0 ,B 1,0 ，若圆 x 2a 1 2 2 y 2a 2 1上存在点 M 满足

MA MB 3，则实数 a的值为（ ）
A． 2 B． 1 C．2 D．0
12．香囊，又名香袋 花囊，是我国古代常见的一种民间刺绣工艺品，香囊形状多样，
如图 1 所示的六面体就是其中一种，已知该六面体的所有棱长均为 2，其平面展开图如
图 2 所示，则下列说法正确的是（ ）
试卷第 2页，共 5页
A．AB⊥DE B．直线 CD 与直线 EF 所成的角为 45°
2 2 32
C．该六面体的体积为 D．该六面体内切球的表面积是
3 27
三、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5分，共 20 分．
13． 1 2x 5 1 3x 4的展开式中按 x的升幂排列的第 3 项的系数为___________.

14．已知向量 a，b的夹角为 60°，且 a 2， b 1，则 a 2b ________.
15．若两曲线 y x2 1与 y a ln x 1存在公切线，则正实数 a的取值范围是__________．
16．已知数列 a a log n 2 n 满足 n 2 n 1 ．给出定义：使数列 an 的前 k项和为正整数的
k k N* 叫做“好数”，则在 1,2021 内的所有“好数”的和为______．
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程
或演算步骤．

17．（10 分）已知函数 f x M sin x M 0， 0，

的部分图象如
2
图所示.
（1）求函数 f x 的解析式；
A
（2）在 ABC 中，角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，若 2a c cosB bcosC ，求 f 2
的取值范围.
an
18．（12 分）在数列 an 中， a1 1,an 1 c 0 ，且 a1,a2 ,aca 1 5 成等比数列．n
1
（1）证明数列 是等差数列，并求 an 的通项公式；
an
试卷第 3页，共 5页
（2）设数列 bn 满足bn 4n2 1 anan 1，其前 n项和为 Sn，证明： Sn n 1．
19．（12 分）如图，在四棱锥 P ABCD中，平面 PAB 平面 ABCD，BC //AD， BAD 90 ，
PA AD 2AB 4BC 4， PC 21
（1）证明： PA 平面 ABCD；
AB M MC PCD 221（2）线段 上是否存在一点 ，使得 与平面 所成角的正弦值为 若存
17
AM
在，请求出 的值；若不存在，请说明理由.
AB
20．（12 分）随着疫情的有效控制，某校学生开始返校复课学习.为了减少学生就餐时
的聚集排队时间，学校食堂从复课之日起，每天中午都会提供A、B两种套餐（每人每
2
次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生第一天选择A类套餐的概率为 3 、选
1 1
择 B类套餐的概率为 ．而前一天选择了A类套餐第二天选择A类套餐的概率为 、选
3 4
3 1
择 B套餐的概率为 ；前一天选择 B类套餐第二天选择A类套餐的概率为
4 2
、选择 B类
1
套餐的概率也是 2 ，如此往复．记某同学第
n天选择A类套餐的概率为 Pn．
（1）记高三某宿舍的 3名同学在复课第二天选择A类套餐的人数为 X ，求 X 的分布列
并求 E X ；
2
（2）证明数列 Pn 是等比数列，并求数列 Pn 的通项公式；
5
（3）为了贯彻五育并举的教育方针，培养学生的劳动意识，一个月后学校组织学生利
用课余时间参加志愿者服务活动，其中有 20 位学生负责为全体同学分发套餐．如果你
是组长，如何安排分发A、 B套餐的同学的人数呢，说明理由．
2 2 6 x2 y2 2
21．（12 分）已知 P , 是椭圆 C： 1 a b 0 与抛物线 E：y 2 px p 0 2 2
3 3 a b
的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点 F .
(1)求椭圆 C 及抛物线 E的方程；
试卷第 4页，共 5页
3
(2)A，B 是椭圆 C 上的两个不同点，若直线OA，OB的斜率之积为 （注：O为坐标
4
BM
原点），点M 是线段OA的中点，连接 BM并延长交椭圆C于点 N，求 MN 的值.
22．（12 分）已知函数 f x ln x a e ，其中 e 是自然对数的底数．
x
2
（1）设直线 y x 2 是曲线 y f x x 1 的一条切线，求 a的值；e
（2）若 a R ，使得 f x ma 0对 x 0， 恒成立，求实数m的取值范围．
试卷第 5页，共 5页
2022-2023 学年度上学期高三年级四校期中联考试题
数学试卷答案
1．C 2．D 3．C 4． C 5．C 6．C 7．D 8．C．．
9．AC 10．BCD． 11．BD 12．AD
13． 26 14． 2 . 15． (0, 2e] 16．2026
5π π
17．解：（1）由图象知M 1，T 4 π,ω 2，
12 6
π
将点 ,1 代入解析式得 sin
π φ 1 φ
π φ π，因为 ，所以 ，
6 3 2 6
所以 f x sin 2x π .------------------------------------------------5 分
6
（2）由 2a c cosB bcosC得： 2sinA sinC cosB sinBcosC，
所以 2sinAcosB sin B C ，2sinAcosB sinA，
因为A 0，π ，所以 sinA 0，所以 cosB 1 B π A C 2π ， ， ，
2 3 3
f A sin A π 2π π π 5π π 1 ，0 A ， A ，所以 sin A ，1 ，
2 6 3 6 6 6 6 2
f A 1所以

，1 .-----------------------------------------------------10 分 2 2
an 1 1 1 1
18．证明：（1）由 an 1 c cca 1，得 a ，即 ，n n 1 an an 1 an
1
所以数列 是等差数列，其公差为 c，首项为 1，-----------------------3 分
an
1
因此， 1 n 1 c， a
1

a nn 1 n 1 c
，
a ,a ,a 2 1
2
1
由 1 2 5 成等比数列，得 a2 a1a5，即 1 ，
c 1 4c 1
解得 c 2或 c = 0
1
（舍去），故 an ．---------------------------------6 分2n 1
4n2 1 2 1 1
（2）因为bn 1 1 4n2 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1，----------------8 分
1 1 1 1 1 1
所以 Sn b1 b2 bn n 1 n 1 -----10 分
3 3 5 2n 1 2n 1 2n 1
1
因为 0，所以 Sn n 1．----------------------------------------12 分2n 1
19．详解：（1）证明： 平面 PAB 平面 ABCD，平面 PAB 平面 ABCD AB，
BAD 90 ，
AD 平面 PAB，
PA 平面 PAB， AD PA，
试卷第 1页，共 5页
在直角梯形 ABCD中， 2AB 4BC 4，
AC AB 2 BC 2 22 12 5 ，
PA 4，PC 21， PA2 AC2 PC2 ，即 PA AC，
又 AD AC A， AD、 AC 平面 ABCD，
PA 平面 ABCD．---------------------------------------------------6 分
（2）解：以A为原点， AB， AD， AP所在直线分别为 x， y， z轴建立如图所示的空
间直角坐标系，
则 A(0，0， 0) ， B(2，0， 0) ， P(0，0， 4)，C(2，1， 0) ，D(0，4， 0) ，

AB (2，0， 0) ， PC (2，1， 4)，PD (0，4， 4)，

设 AM AB， [0，1]，则M (2 ，0， 0)

MC (2 2 ，1， 0) ，

n PC 2x y 4z 0
设平面 PCD的法向量为 n (x， y， z)，则
0
，即 ，
n PD 0 4y 4z 0
令 y 1 x
3
3，则 ， z 1， n (2 ，1，
1)，----------------------------9 分
2
MC与平面 PCD 221所成角的正弦值为 ，
17
n
3
MC (2 2 ) 1
221 | cos n ，MC | | | | 2 |
17 | n | |MC | 9
，
1 1 (2 2 )2 1
4
1
化简得16 2 8 1 0，解得 ，
4
AM 1
故线段 AB上存在点M 满足题意，且 ．-----------------------------12 分
AB 4
试卷第 2页，共 5页
2 1 1 1 1
20．解：（1）第二天选择A类套餐的概率 PA ；3 4 3 2 3
2 3 1 1 2
第二天选择 B类套餐的概率 PB ，3 4 3 2 3
∴3人在第二天的有 X 个人选择A套餐，
X 的所有可能取值为 0、1、2、3，
P(X k) C k 1
k 2 3 k
有 3 (k 0,1, 2,3)，
3 3
∴ X 的分布列为
X 0 1 2 3
8 4 2 1
P
27 9 9 27
--------------------------------------------3 分
8 4 2 1
故 E(X ) 0 1 2 3 1 .---------------------------------4 分
27 9 9 27
1 1
（2）依题意， Pn 1 Pn 1 Pn ，4 2
P 2 1 2 则 n 1 Pn (n 1,n N ) .5 4 5
2 4
当 n 1时，可得 P1 ，5 15
P 2 4 1∴数列 n 是首项为 公比为 的等比数列.
5

15 4
P 2 16 1
n
n



.---------------------------------------------------8 分5 15 4
P 2 16 1
n

（3）由（1）知： n ，5 15 4
P 2 2∴ 30 ，即第 30 次以后购买A套餐的概率约为 .5 5
则 20
2
8， 20 8 12
5
∴负责A套餐的 8人，负责 B套餐的 12 人.-----------------------------12 分

P 2 2 6

21．解：（1）∵ ,
2
3 3
是抛物线 E： y 2 px p 0 上一点，

∴ p 2，即抛物线 E的方程为 y2 4x，焦点F 1,0 ，-------------------2 分
∴ a2 b2 1，
试卷第 3页，共 5页
2
P 2 , 2 6 x y
2 4 8
又∵ 在椭圆 C： 1上，∴ 2 2 13 3 a2 2
，
b 9a 3b
结合 a2 b2 1知b2 3，a2 4，
x2 y2
∴椭圆C的方程为 1，抛物线 E的方程为 y2 4x .-----------------4 分
4 3
BN
（2）设 A x1, y1 ， B x2 , y2 ， N x3, y3 ， 0 BM ，
x y
∵点M 是线段OA 的中点，∴M 1 , 1

，
2 2

BM x1 x , y

1 2 y ， BN x x2 2 2 3 2 , y3 y2 ， BN BM ，
∴ x3 x2 , y3 y2
x1
x ,
y1
2 y

2 ，
2 2

x3 x1 1 x 2 2
------------------------------------------------6 分
y 3 y1 1 y 2 2
∵点N x3, y3 在椭圆C上，

2 2
x 1 x 1 2 y1 1 y

∴ 2 2 2 1
4 3
2 x2 y2 2 2
∴ 1 1

1 2 x 2
y
2 1 x1x2 y y 1 2 1 ---------------8 分4 4 3 4 3 4 3
∵点 A x1, y1 ，B x2 , y2 在椭圆C上，
3
又∵OA，OB斜率之积为 ，
4
x2 y2 x2 y2
∴ 1 1 1， 2 2
x x y y
1， 1 2 1 2 0，---------------------------10 分
4 3 4 3 4 3
2 8
∴ 1 2 1，∴5 2 8 0，∴ 或 0（舍），
4 5
BN 8 BM 5
∴ BM 5，∴

MN 3 .--------------------------------------------12 分
22．解：（1）设切点为 x0 , f x0 ，其中 x0 1，
f x 1 a e 2 f x ln x a e 2有 0 2 x x ，且 0 0 x 20 0 e x0 e 0
a e 1 2x0 4x得 0x e ，所以 ln x0 3 0，易解得：
x0 e，则 a 0；-----------4 分
0 e
（2）记 g x f x ma ln x a e ma，有 g x x a e ，
x x2
试卷第 4页，共 5页
a e g x x a e当 ， 2 0恒成立，则函数 g x 在 0, 上递增，无最小值，不符x
合题意；---------------------------------------------------------------6 分
当 a e时，当 x a e, 时， g x 0，当 x 0,a e 时， g x 0，
所以函数 g x 在 0,a e 上递减，在 a e, 上递增，所以 g x 在 x a e处取得最
小值， g x min g a e ln a e 1 ma 0，--------------------------8 分
1 ln
m a e 1 ln a e 则有 ，记 h a a e ，
a a
e
ln a e
有 h a a e ，
a2
易知 h a 在 e, 2e 单调递增，在 2e, 单调递减，
h a h 2e 1 1 m 1则 max ，所以 ，得m .---------------------------12 分e e e
试卷第 5页，共 5页