《志鸿全优设计》2013-2014学年高中数学人教B必修1单元目标检测：第三章　基本初等函数Ⅰ（含解析）

数学人教B必修1第三章　基本初等函数(Ⅰ)单元检测
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若集合，则RA＝(　　)
A．(－∞，0]∪ B．
C．(－∞，0]∪ D．
2．若log2a＜0，，则(　　)
A．a＞1，b＞0 B．a＞1，b＜0
C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0
3．如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则(　　)
A．－1＜n＜0＜m＜1 B．n＜－1,0＜m＜1
C．－1＜n＜0，m＞1 D．n＜－1，m＞1
4．若xlog23＝1，则3x＋9x的值为(　　)
A．3　　　　B．　　　　C．6　　　　D．
5．若a＜0，则函数y＝(1－a)x－1的图象必过点(　　)
A．(0,1) B．(0,0)
C．(0，－1) D．(1，－1)
6．若logba＜0，则有(　　)
A．(a－1)(b－1)＞0 B．(a－1)(b－1)＜0
C．a＞1,0＜b＜1 D．以上答案均错
7．定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图，则在(－2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是(　　)
A．y＝x2＋1 B．y＝|x|＋1
C． D．
8．已知函数在R上为减函数，则a的取值范围为(　　)
A．(0,1) B．
C． D．
9．设函数f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，若f(x1x2…x2 010)＝8，则的值等于(　　)
A．4 B．8 C．16 D．2loga8
10．如果一个点是一个指数函数的图象与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”，在下面的五个点M(1,1)，N(1,2)，P(2,1)，Q(2,2)，G中，“好点”的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
11．已知函数若，则a＝________.
12．若函数f(x)＝logax在区间[2，＋∞)上恒有f(x)＞1，则a的取值的集合为________．
13．在同一平面直角坐标系中，函数y＝g(x)的图象与y＝ex的图象关于直线y＝x对称，而函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象关于y轴对称，若f(m)＝－1，则m的值为________．
14．函数(x∈[－1,1])的值域为__________．
15．已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调增函数，则不等式f(2)＜f(log2x)的解集为________．
三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)化简下列各式：
(1)；
(2)·(xy)－1(x＞0，y＞0)．
17．(本小题满分12分)求函数y＝log2(x2－6x＋8)的单调区间．
18．(本小题满分12分)已知函数，
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性；
(3)证明当x＞0时，f(x)＞0.
19．(本小题满分12分)已知函数，
(1)若函数f(x)的值域为(－∞，－1]，求实数a的值；
(2)若函数f(x)在(－∞，1]内为增函数，求实数a的取值范围．
20．(本小题满分13分)若a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．
21．(本小题满分14分)有一个湖泊受污染，其湖水的容量为V立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量．现假设降雨量和蒸发量平衡，且污染物和湖水均匀混合．
用(P≥0)，表示某一时刻一立方米湖水中所含污染物的克数(我们称其为湖水污染质量分数)，g(0)表示湖水污染初始质量分数．
(1)当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染初始质量分数；
(2)分析时，湖水的污染程度如何．

参考答案
1．A　点拨：∵，即，∴，即，∴.
2．D　点拨：∵log2a＜log21，∴0＜a＜1.
∵，∴b＜0.
3．B
4．C　点拨：∵x·log23＝1，
∴.
∴3x＋9x＝3x＋(3x)2＝3log32＋(3log32)2＝2＋22＝6.
5．B　点拨：根据指数函数y＝ax恒过定点(0,1)知，函数y＝(1－a)x－1恒过定点(0,0)．
6．B　点拨：当b＞1时，若logba＜0，则0＜a＜1；
当0＜b＜1时，若logba＜0，则a＞1.
综上可知，a－1与b－1异号．故(a－1)(b－1)＜0.
7．C　点拨：利用偶函数的对称性知f(x)在(－2,0)上为减函数．y＝x2＋1在(－2,0)上为减函数；y＝|x|＋1在(－2,0)上为减函数；在(－2,0)上为增函数；y＝在(－2,0)上为减函数．
8．B　点拨：由
得0＜a＜.
又f(x)在R上为减函数，需满足，即a2－2a≤0，a(a－2)≤0.∴0≤a≤2.综上，知0＜a＜.
9．C　点拨：
＝
＝
＝loga(x1x2…x2 010)2
＝2loga(x1x2…x2 010)
＝2f(x1x2…x2 010)＝2×8＝16.
10．C　点拨：∵指数函数过定点(0,1)，对数函数过定点(1,0)，
∴指数函数不过(1,1)，(2,1)点，对数函数不过点(1,2)．
∴点M，N，P一定不是好点．
可验证：过指数函数，且过对数函数y＝log4x.Q(2,2)在和的图象上．
11．或－1　点拨：当a＞0时，
若，则，∴；
当a≤0时，若，则，∴a＝－1.
综上可知，或a＝－1.
12．{a|1＜a＜2}　点拨：若函数f(x)＝logax在区间[2，＋∞)上恒有f(x)＞1，
则即∴1＜a＜2.
13．　点拨：由题意知y＝g(x)应为y＝ex的反函数，即y＝g(x)＝ln x，而y＝f(x)与y＝g(x)＝ln x的图象关于y轴对称，故可得y＝f(x)＝ln(－x)，又f(m)＝－1，所以ln(－m)＝－1，得－m＝e－1，即.
14．　点拨：∵，x∈[－1,1]，
∴3－1≤3x≤31，即.
∴，.∴.
15．∪(4，＋∞)　点拨：因为函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调增函数，且f(2)＜f(log2x)，当log2x＞0时，有2＜log2x，解得x＞4；因为函数f(x)为偶函数，当log2x＜0时，有log2x＜－2，解得，所以不等式f(2)＜f(log2x)的解集为∪(4，＋∞)．
16．解：(1)原式＝.
(2)原式＝
＝
＝.
17．解：由x2－6x＋8＞0，得x＞4或x＜2，故函数的定义域为(－∞，2)∪(4，＋∞)．
因为y＝log2(x2－6x＋8)由y＝log2u和u(x)＝x2－6x＋8复合而成，
而y＝log2u在定义域内为增函数，
又u(x)＝x2－6x＋8在(－∞，2)上是减函数，在(4，＋∞)上是增函数，故函数y＝log2(x2－6x＋8)的单调增区间为(4，＋∞)，单调减区间为(－∞，2)．
18．解：(1)∵2x－1≠0，即2x≠1，∴x≠0.
故f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)f(x)的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，
∵，
∴f(x)＋f(－x)＝.
∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．
(3)当x＞0时，2x＞1，∴2x－1＞0，
∴，即当x＞0时，f(x)＞0.
19．解：(1)设g(x)＝x2－2ax＋3＝(x－a)2＋3－a2.
∵f(x)的值域为(－∞，－1]，
∴，
即，∴g(x)≥2.
由3－a2＝2，得a＝1或a＝－1.
(2)要使f(x)在(－∞，1]内是增函数，需g(x)在(－∞，1]上为减函数且g(x)＞0对于x∈(－∞，1]恒成立，
∴即
∴1≤a＜2.
故实数a的取值范围是[1,2)．
20．解：原方程可化为2(lg x)2－4lg x＋1＝0，
设t＝lg x，则原方程化为2t2－4t＋1＝0，
∴t1＋t2＝2，.
由已知a，b是原方程的两个根，
则t1＝lg a，t2＝lg b，即lg a＋lg b＝2，.
∴lg(ab)·(logab＋logba)＝(lg a＋lg b)
＝
＝(lg a＋lg b)·
＝，
即lg(ab)·(logab＋logba)＝12.
21．解：(1)当湖水污染质量分数g(t)为常数时，g(t)的值与t无关，故有，∴，即湖水污染初始质量分数为.
(2)当g(0)＜时，g(0)－＜0.
又∵随t的增大逐渐增大，∴g(t)为减函数．故湖水的污染程度越来越轻．