5.4.2课时2：正弦函数、余弦函数的单调性与最值--(课时练习) 2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修第一册(含答案)

5.4.2课时2：正弦函数、余弦函数的单调性与最值
既是偶函数又在区间上单调递减的函数是( )
A. B. C. D.
设，则使成立的的取值范围是( )
A. B. C. D.
函数在的图象大致为( )
A. B.
C. D.
函数的最大值为( )
A. B. C. D.
若函数的最大值为，最小值为，则的值为( )
A.

B.

C.

D.
已知函数，在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
函数的最大值是( )
A. B. C. D.
已知实数，满足，则下列不等关系一定成立的是( )
A. B.
C. D.
关于函数有下述四个结论，其中正确的是( )
A. 是周期函数 B. 在区间单调递减
C. 在有无数个零点 D. 的值域为
函数的最大值是
已知函数的图象关于直线对称，则的值为 ．
已知函数，则 ，当 时，函数在区间上单调写出一个值即可．
已知函数的最大值为，最小值为，则函数的最大值为
求下列函数的最大值、最小值，并求使函数取得最大、最小值的的集合：
已知函数．
求函数图像的对称中心以及函数的单调递减区间；
若，，求角的大小．
已知函
利用“五点法”，完成以下表格，并画出函数在区间上的图象；

求出函数的单调减区间；
当时，有解，求实数的取值范围．
已知函数，从、、这三个条件中选择一个作为已知条件．
为的图象的一个对称中心；
当时，取得最大值；
．
求的解析式；
将的图象上的各点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，再将得到的图象向右平移个单位，得到的图象，求函数在上的单调递减区间．
已知函数．
若，求函数的单调递增区间：
当时，函数的最大值为，最小值为，求实数，的值．
下列函数有最大值、最小值吗如果有，请写出取最大值、最小值时自变量的集合，并求出最大值、最小值．
，
，
设函数
若角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点 ，求 的值；
若，函数是奇函数，求的值；
若，是否存在实数，使得函数的最小值为，如果存在，求出实数的值；如果不存在，请说明理由。
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查余弦函数的奇偶性和单调性，属于中档题．
根据函数的奇偶性排除、，再根据函数的单调性排除，经检验中的函数满足条件，从而得出结论．
【解答】
解：由于函数和都是奇函数，故排除、．
由于函数是偶函数，周期等于，且在上是减函数，故满足条件．
由于函数是偶函数，周期等于，在上是减函数，在上是增函数，故不满足条件．
故选B．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查满足正弦值的角的取值范围的求法，考查正弦函数的图象和性质等基础知识，是基础题．利用正弦函数的图象和性质直接求解．
【解答】
解：，，
．
设，则使成立的的取值范围是
故选：．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数图象的识别，函数的奇偶性．
由的解析式知为奇函数可排除，然后计算，判断正负即可排除，，从而可得结果．
【解答】
解：，，
，
为上的奇函数，因此排除；
又，因此排除，，
故选D．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查求含三角函数的二次式的最值，属于基础题型．
根据题意，将原式整理，得到，进而可求出结果．
【解答】
解：因为，
由得，所以当时，，
故选：．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了余弦函数的最值问题，属基础题．
由题意，求出，的值即可求解．
【解答】
解：当时取最大值，
当时取最小值，
，则．
故选D．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角函数的图象和性质，利用单调性，最值与周期的关系是解决本题的关键，属于中档题．
结合三角函数的单调性，最值与周期的关系，建立不等式进行求解即可．
【解答】
解：在区间上是增函数，
，即，
，解得．
在区间上恰好取得一次最大值，
且，即，
，解得，
综上所述，，
故选B．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了与三角函数有关的最值的求法，考查了配方法，属于基础题．
化正弦为余弦，然后利用配方求最大值．
【解答】
解：
，
当时等号成立，
此时函数的最大值为，
故选C．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用正弦函数、余弦函数的性质比较大小，属于中档题．
由条件可得，结合正弦函数、余弦函数的单调性，即可确定各选项的正误．
【解答】
解：因为实数，满足，
所以
由，于是．
由，，，
且在上单调递增，所以，故A正确；
由得：，，，
且在上单调递减，所以，故B正确；
由得：，
且在上的单调性不确定，故不一定有，故C错误；
，由，
得又，
且在上单调递增，所以，
即，故D正确．
故选ABD．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了三角函数的图象与性质的应用，根据的取值范围去绝对值是解题关键．
根据余弦函数的性质，求出的周期，单调性，零点和最值，逐个选项进行判断即可．
【解答】
解：对于，函数，可得，得，对；
对于，在区间上，，所以，在区间上单调递减，
在区间上，，所以，在区间不是单调递减，所以错；
对于，当时，，有一个零点；
当时，，有无数个零点，
因此，在有无数个零点，对；
对于，在一个周期内，可得 ，所以，的值域为，对；
故选：．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查余弦函数的值域，二次函数的性质，属于基础题．
把的解析式配方，再利用余弦函数的值域，二次函数的性质，求得它的最大值．
【解答】
解：，，函数，
当，即 时，函数取得最大值为，
故答案为．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用正弦函数的对称性建立方程关系是解决本题的关键．
根据正弦函数的对称性建立方程关系进行求解即可．
【解答】
解：的图象关于直线对称，
，，
即，，
，
当时，，
故答案为：．

12.【答案】
答案不唯一

【解析】
【分析】
本题考查了正弦型函数的单调性，属中档题．
直接代入求值即可；
先取，再验证是否满足题意即可．
【解答】
解：；
当时，因为，
所以函数在上单调递减，满足题意符合条件的值不唯一
故答案为：；．

13.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查了正弦函数和余弦函数的最值，属基础题．
由题意可得或，所以或，即可求解．
【解答】
解：因为函数的最大值为，最小值为，
所以或
所以或
所以或，
所以最大值为或，
故答案为或．

14.【答案】解：，当时，取最大值，当时，取最小值，
最大值为，此时的集合为；
最小值为，此时的集合为．
，
当时，取最大值，时，取最小值，
最大值为，此时的集合为；
最小值为，此时的集合为．

【解析】本题主要考查了三角函数性质的应用，属于基础题．
当时，取最大值，当时，取最小值，即可求解；
当时，取最大值，时，取最小值，即可求解．
15.【答案】解：由，，得，
函数图像的对称中心为，
由，，得函数的单调递减区间为，
，
又，
，
．
【解析】本题考查三角函数的性质的应用，考查三角函数的求值问题，属于中档题．
根据函数的对称中心为，递减区间为，将题中的看作为，即可写出结果．
由条件得，，继而可求出结果．
16.【答案】解：列表、画图如下：
；
由，，得：，，
的单调减区间为：，；
，
，
．
有解，即有解，
．
【解析】本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握五点法作图，属于中档题．
利用“五点法”即可作出函数在一个周期上的图象先列表，再画图；
令，，解得的范围即可得解函数的单调递减区间；
求出的值域，即可得到的范围．
17.【答案】解：选条件为的图象的一个对称中心，
则，可得，，
又，所以，
所以
选条件当时，取得最大值，
则，可得，，
又，所以，
所以
选条件，
则，可得，，
又，所以，
所以
将的图象上的各点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，可得的图象，再将得到的图象向右平移个单位，得到的图象，
令 ，，求得，，
又，
所以的单调递减区间为，
【解析】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，三角函数的图象变换规律，余弦函数的单调性．
选条件为的图象的一个对称中心，则，结合的取值范围即可求解的值，从而可得的解析式；
选条件当时，取得最大值，则，结合的取值范围即可求解的值，从而可得的解析式；
选条件，则，结合的取值范围即可求解的值，从而可得的解析式；
由余弦函数的性质即可求得的单调递减区间．
18.【答案】解：由题意得，
所以与单调性相反，
令，
得，
所以函数的单调递增区间为，；
因为当时，
所以，
所以，即，
因为，所以当时，函数取得最大值，即，
当时，函数取得最小值，即，
所以联立解得．
【解析】本题主要考查三角函数单调区间求法，考查三角函数最值计算，考查学生转化能力，属于中档题．
化简函数得到，得到不等式，求解即为函数的单调递增区间：
利用，求得，结合以及函数最值，联立方程组联立解得．
19.【答案】解：容易知道，这两个函数都有最大值、最小值．
使函数，取得最大值的的集合，
就是使函数，取得最大值的的集合
使函数，取得最小值的的集合，
就是使函数，取得最小值的的集合．
函数，的最大值是最小值是．
令，使函数，取得最大值的的集合，
就是使，取得最小值的的集合．
由，得．
所以，使函数，取得最大值的的集合是．
同理，使函数，取得最小值的的集合是．
函数，的最大值是，最小值是．

【解析】本题考查了三角函数的最值的求法，属于基础题．
由条件利用正弦函数的定义域和值域、余弦函数的定义域和值域，分别求得各个选项中函数得最大值、最小值的自变量的集合，并分别写出最大值、最小值是什么．
20.【答案】解 ：由角的终边过点 ，得，，
所以 ．
因为函数是奇函数，
所以，又因为
所以或．
假设存在实数，使得函数的最小值为，由题意可得：
令，因为，所以，
所以，
因为函数的最小值为，
所以函数恒成立，
所以当时，
因为在上单调递减，
所以当时取最大值，所以，
当时，
因为在上单调递减，
当时取最小值，所以，
所以或．
【解析】本题主要考查任意角的三角函数、诱导公式，奇函数的性质和函数的最值，恒成立问题，属于中档题．
由角的终边过点，得，，再对进行化简再代入即可得解；
根据余弦函数的性质和奇函数的性质进行解答即可得．
令，因为，可得，可得的最小值为，然后进行后面的解答即可得．
第1页，共1页