5.5.1课时4：二倍角公式-(课时练习) 2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修第一册(含答案)

5.5.1课时4：二倍角公式
若点在角的终边上，则( )
A. B. C. D.
已知，则( )
A. B. C. D.
若，则( )
A. B. C. D.
若，的值为( )
A. B. C. D.
若，则( )
A. B. C. D.
已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则( )
A. B. C. D.
若，则( )
A. B. C. D.
已知，则( )
A. B. C. D.
已知，是方程的两个实根，则( )
A. B. C. D.
下列说法正确的是( )
A. 已知，，，则
B. 若正数，满足，则的最小值为
C. 若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为
D.
已知为第二象限角，，则 ．
求值： ．
公元前世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为，这一数值也可以表示为若，则 用数字作答
已知为第二象限角，且，则 ， ．
如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边、直角边、，，分别为，的中点，点在以为直径的半圆上．已知以直角边，为直径的半圆的面积之比为，，则 ．
已知，．
求的值；
求的值．
已知锐角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点．
求的值；
若锐角满足，求的值．
在中，，，求的值．
在，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决问题．
已知，，，____，求．
已知，为锐角，，．
求的值；
求的值．
如图，在平面直角坐标系中，角，的始边均为轴正半轴，终边分别与圆交于，两点，若，，且点的坐标为．
若，求实数的值；
若，求的值．
证明下列恒等式．
．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义及二倍角公式的应用，属于基础题．
利用任意角的三角函数的定义求得，的值，再由二倍角公式求的值．
【解答】
解：点在角的终边上，
则，，
．
故选B．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二倍角公式，属于基础题．
由条件，两边平方，根据二倍角公式和同角三角函数的平方关系即可求出．
【解答】
解：，
，
，
故选A．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二倍角公式及同角三角函数的基本关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
由同角三角函数的基本关系，可得，进而利用二倍角公式求解即可．
【解答】
解：，
，
．
故选C．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了诱导公式和二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．
由已知利用诱导公式及二倍角公式求得的值．
【解答】
解：，
．
故选：．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二倍角的余弦公式的逆用之降幂公式，以及和差角的三角函数公式，属于基础题．
利用降幂公式以及和差角的三角函数公式进行求解即可．
【解答】
解：
．
故选C．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二倍角公式、直线的斜率等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
推导出，从而，进而，由此能求出结果．
【解答】
解：角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，
终边上有两点，，且，
，解得，
，，
，
故选：．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二倍角公式，考查同角三角函数关系，考查两角差的正切公式，属于较难题．
已知条件中的式子利用同角三角函数基本关系化简后可求出的值，再利用二倍角公式求出，最后由两角差的正切公式即可求出．
【解答】
解：因为，
所以，
即，
所以，
所以，
所以，
故选A．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了三角函数的求值，涉及同角三角函数基本关系式、二倍角公式、诱导公式，属于基础题．
由已知及同角三角函数基本关系式求得，再用二倍角公式求，最后用诱导公式求得结果．
【解答】
解：，
，
，
．
故选AD．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查两角差的正切公式，属于基础题．
由已知得 ， 或 ， ，利用两角差的正切公式，即可得．
【解答】
解：因为，是方程的两个实根，
所以得 ，
或 ， ，
．
故选BC．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数的奇偶性的应用、复合函数的单调性，考查利用基本不等式求最值及三角恒等变换化简求值，属于中档题
对于选项A，首先利用求出，再利用函数的奇偶性即可求解；对于选项B，根据条件可得，利用基本不等式求最值即可判断；对于选项C，利用复合函数的单调性可得函数的单调递增区间，即可得关于的不等式，求解即可；对于选项D，利用三角恒等变换化简求值即可．
【解答】
解：对于选项A，因为，所以，
即，可得，
设，
由，
即函数为奇函数，
故，
故，
由，得，故A正确；
对于选项B，正数，满足，
则，
当且仅当，时取等号，故B正确；
对于选项C，由，解得，
因为二次函数的对称轴为，
由复合函数单调性可得函数的单调递增区间为，
要使函数在区间内单调递增，
只需解得，
即实数的取值范围为，故C错误；
对于选项D，原式
，故D正确．
故选ABD．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查同角三角函数基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．
先由同角三角函数关系式求，，在由二倍角公式求解．
【解答】
解：由，且为第二象限角，得，
，
．
故答案为．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查二倍角公式和两角和与差的正弦公式，属于中等题．
直接根据公式化简即可．
【解答】
解：
，
故答案为．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查同角三角函数关系，考查二倍角公式以及诱导公式，属于中档题．
利用已知得，代入所求表达式，利用二倍角公式化简后，可求得表达式的值．
【解答】
解：由，
得，
代入所求表达式，
可得
．
故答案为．

14.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查了同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式的相关知识．
由已知可解出和的值，利用和角公式可解得和，从而可得，再次利用差角公式可解得和，从而得．
【解答】
解：为第二象限角，且，
．
又，
，，
，
．
．
，
，
．
故答案为：；．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查同角三角函数的基本关系，两角和与差的三角函数公式，二倍角公式及其应用，考查分析解决问题的能力，属于中档题．
由题意，可得，设，则，且，利用三角公式求得，，再由余弦的差角公式可得．
【解答】
解：以直角边，为直径的半圆的面积之比为，
，
，则，
设，则，且，
若，由已知，得，
则，
，
故
．
若，，与矛盾，不合题意．
故答案为．

16.【答案】解：因为，，
所以，
所以，
根据二倍角公式与诱导公式可得：
．
【解析】本题考查同角三角函数的求值以及二倍角公式与诱导公式，属于基础题．
根据同角三角函数的基本关系可得答案
利用二倍角公式与诱导公式对已知进行化简，进而结合可得答案．
17.【答案】解：角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点．
所以，，
所以；
因为、均为锐角，所以，
因为，所以，所以．
所以
．
【解析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，诱导公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
利用三角函数的定义、诱导公式及二倍角公式求出结果．
利用两角差的正弦函数公式求出结果．
18.【答案】解：
解法在中，由，
得，
所以，
．
又，
所以．
于是．
解法在中，由，
得，
所以．
又，
所以，
所以．
【解析】本题考查的知识点是两角和与差的正弦和正切公式，二倍角、同角三角函数基本关系式的灵活应用，属于中档题．
先利用条件求得，；，、等三角函数值，再代入两角和的正切公式或者正切函数的二倍角公式求解即可．
19.【答案】解：选择条件，．
得，
因为，所以，可得；
所以；
由于，，所以，
所以；
所以
．
选择条件：，
，
所以；
由于，，所以，
所以；
所以
．
选择条件：因为，所以，；
由，可得，解得，；
由于，，所以，
所以．
所以
．
【解析】本题考查三角函数恒等变换的应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．
选择条件，利用二倍角公式求出，再利用同角的三角函数关系求出、的值，由计算的值．
选择条件：，利用二倍角公式求出的值，以下解法同条件选择条件：由，利用同角的三角函数关系求出、，以下解法同条件．
20.【答案】解：因为，所以，
所以或，
又，所以
所以；
因为，，为锐角，
所以，
所以，

．

【解析】本题考查三角函数化简求值，考查两角和与差的三角函数公式，考查推理能力和计算能力，属于一般题．
先求出，再利用二倍角公式即可求解；
先求出，再利用即可求解．
21.【答案】解：因为，
所以，
所以或，
又因为，所以，
由三角函数的定义，，
所以；
因为，，
所以，
又因为，
所以，
所以，
所以

所以

【解析】本题考查了任意角的三角函数的定义及二倍角公式及应用，同角三角函数的基本关系，掌握二倍角公式及应用是解题的关键此题难度不大，属于中档题．
由，利用二倍角公式可得，再根据三角函数的定义可解出的值；
易得，利用同角三角函数的基本关系可得，再利用二倍角公式，两角和与差的正余弦公式可得答案
22.【答案】证明：
．

【解析】本题考查利用三角恒等变换公式化简的问题，涉及到积化和差公式、二倍角公式、两角和差公式的应用，属于中档题．
利用和差化积公式化简整理即可得到结果；
利用和差化积和二倍角公式化简整理即可得到结果；
利用二倍角公式、正余弦齐次式的求解方法、两角和差的正切公式可化简整理得到结果；
利用积化和差、二倍角公式化简整理得到结果．
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