第五章 三角函数--(强化练习) 2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修第一册(含答案)

第五章三角函数
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
已知，则( )
A. B. C. D.
已知，则( )
A. B. C. D.
函数在区间上的简图是( )
A. B.
C. D.
设函数在的图象大致如下图，则的最小正周期为( )
A. B. C. D.
，，的大小关系是( )
A. B.
C. D.
( )
A. B. C. D.
已知，，且、都是锐角，则( )
A. B. C. D.
函数在区间内的零点个数是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
下列四个选项中，化简正确的是( )
A.
B.
C.
D.
已知函数，下列命题正确的为( )
A. 该函数为偶函数 B. 该函数最小正周期为
C. 该函数图象关于对称 D. 该函数值域为
已知函数的部分图象如图所示，下列结论正确的有( )
A. 函数的最小正周期为
B. 直线为函数的一条对称轴
C. 函数的图象可由向右平移个单位得到
D. 直线与函数的图象的所有交点的横坐标之和为
如图，摩天轮的半径为米，摩天轮的轴点距离地面的高度为米，摩天轮匀速逆时针旋转，每分钟转一圈，摩天轮上点的起始位置在最高点处，下面的有关结论正确的有( )
A. 经过分钟，点首次到达最低点
B. 第分钟和第分钟点距离地面一样高
C. 从第分钟至第分钟摩天轮上的点距离地面的高度一直在降低
D. 摩天轮在旋转一周的过程中有分钟距离地面不低于米
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
函数的部分图象如图所示，则的值等于 ．
若，则 ．
某人血压满足函数式，其中单位：为血压，单位：为时间，则此人每分钟心跳的次数为 ．
已知函数，若方程的解为，则 ， ．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
已知．
若，求的值；
若，求的值．
本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期；
将函数的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，当时，求函数的值域．
本小题分
设函数．
用“五点法”画出函数在区间上的图象
当时，求的取值范围．
本小题分
已知函数．
求的定义域与单调增区间；
若，求函数的最值．
本小题分
已知函数．
若对任意，都有成立，求实数的取值范围；
若先将的图象上每个点横坐标伸长为原来的倍纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在区间内的所有零点之和．
本小题分
某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民为此，当地政府决定将一扇形如图荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域阴影部分改造为景观绿地种植各种花草已知该扇形的半径为米，圆心角，点在上，点在上，点在弧上，设．
若矩形是正方形，求的值；
为方便市民观赏绿地景观，从点处向，修建两条观赏通道和宽度不计，使，，其中依而建，为让市民有更多时间观赏，希望最长，试问：此时点应在何处？说明你的理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角函数的诱导公式的应用．
直接利用诱导公式进行化简，然后分子、分母同除，代入即可得到结果．
【解答】
解：
．
故选：．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两角差正切公式以及同角三角函数基本关系，属于基础题．
先通过两角差的正切公式求得的值，再将代求式转化为关于的表达式，代入计算，即可得到答案．
【解答】
解：因为，
所以，
则．
故选B．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查三角函数图象的判断，取特值排除错误选项是解决本题的关键．
取，，排除，当时，解得，排除，，即得正确选项．
【解答】
解：当时，，排除，
当，得，，
即，，
，
或，排除，，
故选：．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了余弦函数的图象与性质，属于中档题．
【解答】
解：由图可得：函数图象过点，将它代入函数可得：，又是函数图象增区间内与轴负半轴的第一个交点，所以，解得：，所以函数的最小正周期为，故选C．

5.【答案】
【解析】
【分析】
分别判断每个值的范围即可得到结论．
本题主要考查三角函数性质的应用以及特殊角的三角函数值，易错题．
【解答】
解：因为；
；
；
；
即：；
故选：．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角函数的化简求值，二倍角的余弦及诱导公式，属于中档题．
直接利用诱导公式及二倍角的余弦化简求值即可．
【解答】
解：
．
故选D．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了两角和与差的三角函数，属较难题．
联立两个已知方程可得解得，，，，然后求出，可得．
【解答】
解：由得
由得，
得，
得，
得，
联立解得，，
，为锐角，，，，
，
，．
故选：．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用函数与方程思想解决三角函数的零点问题，属于中档题．
利用数形结合画出的图象即可．
【解答】
解：当时，，
当时，，
画出图象如图所示：
由图可知函数在内有个零点．
故选D．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角恒等变换的综合，熟练运用两角和差公式、诱导公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
根据三角恒等变换的公式进行化简运算，即可．
【解答】
解：对于，，即A错误；
对于，原式，即B正确；
对于，原式，即C错误；
对于，原式，即D正确．
故选：．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角函数的图象与性质，属于中档题．
分类讨论去绝对值，画出函数图象，再逐一判断即可．
【解答】
解：当时，，
当时，，
画出函数图像，如图所示：
根据图象知：函数不是偶函数， A错误；
，
结合图像可得：该函数最小正周期为， B正确；
，
故该函数图象关于对称，正确；
由图知函数的值域为．
故选：．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角函数的图象与性质，考查学生的计算能力，确定函数的解析式是解题的关键，属于中档题．
由图象可求得的周期，即可判断选项A；由周期公式可求得，由五点作图法可求得，再由可求得，从而可求得的解析式，将代入解析式中取得最值，即可判断选项B，由三角函数的图象变换即可判断选项C，令，求得的值，即可判断选项D，从而可得出结论．
【解答】
解：根据函数的部分图象，
可得，可得函数的最小正周期，故A错误；
，由五点作图法可得，解得，
由，可得，
所以，
当时，，
所以直线为函数的一条对称轴，故B正确；
向右平移个单位得到，故C错误；
令，即，或，，
解得，或，，
因为，
所以，，，，
所以直线与函数的图象的所有交点的横坐标之和为，故D正确．
故选：．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角函数模型的应用，属于中档题目．
根据题意建立三角函数模型，利用三角函数的图象与性质进行求解即可．
【解答】
解：以为原点，过且平行于地面的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，
圆为摩天轮，为圆上的动点，设到地面的高为．
由题设有，
故，其中
对于，令，则，解得，，
故点首次到达最低点所需的时间为分钟，故A正确
对于，当时，，
当时，，
因为，故，故B正确
对于，当，，
由的性质可知，在内单调递减，在内单调递增，
而，
所以在上是先递减后递增的，故C错
对于，考虑时不等式的解，
故，解得或，
故摩天轮在旋转一周的过程中有分钟距离地面不低于米，故D正确．
故选ABD．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查根据函数的图象确定函数的解析式，要理解函数的周期、振幅、初相等概念，本题是一个中档题目．
根据所给的三角函数的图象，可以得出函数的振幅和周期，根据周期公式求出的值，写出三角函数的形式，根据函数的图象过点，代入点的坐标，整理出初相，得到函数的解析式，根据周期是和特殊角的三角函数求出结果．
【解答】
解：由图可知函数的振幅，周期为，
，，
函数的图象过点
，，，
三角函数的解析式是，
故答案为：

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
由已知利用二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式即可化简求值得解．
【解答】
解：，
．
故答案为：．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角函数式中字母的含义的理解，属于基础题．
根据题意可求出函数的周期，即可得到最终答案．
【解答】
解：因为，所以函数的周期，
所以每分钟心跳的次数为．
故答案为．

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了三角函数的对称性，及利用诱导公式化简三角函数并求值，解题的关键是要注意到是的两个根，由三角函数图象的对称性得到两个根的对称性，从而得解，考查了学生的分析解题能力与转化能力，属于中档题．
由已知求出的范围，根据方程的解的对称性可求得；再利用表示，即可表示为，再根据已知条件结合三角函数求值即可得到答案．
【解答】
解：，
，
又方程的解为，
，解得．
，
，
由，可得，
又，可得，
．
故答案为：；．

17.【答案】解：，，
为第四象限角，
，
，

．
，
，
或．
【解析】本题主要考查三角函数的化简求值，利用诱导公式及同角三角函数基本关系式变形的能力，属于基础题．
先求得，再利用诱导公式化简，代入求值可得
利用同角三角函数基本关系式等价变形即可．
18.【答案】解：
，
所以函数的最小正周期为；
将函数的图象先向左平移个单位，得，
然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得，
由，则，所以，
所以．
【解析】本题考查了函数的图象与性质、三角函数的最值和三角恒等变换，是中档题．
先由三角恒等变换得，由周期公式可得结果；
先由三角图象变换得，由三角函数性质可得值域．
19.【答案】解： 由：
故函数在区间上图象是：
因为，
则，
则
解得，
故的范围是．

【解析】本题考查三角函数作图和三角函数的性质，属于中档题．
利用“五点法”即可作图；
解即可．
20.【答案】解：由题知函数定义域为
则：
所以函数的单调增区间为：
若，所以，
当时，函数取得最小值为，
当时，函数取得最大值为

【解析】本题考查了正切型函数的定义域、值域和最值，属于中档题．
首先根据有意义得到函数的定义域为，化简得到，再求单调区间即可．
首先根据得到，从而得到，即可得到函数的最值．
21.【答案】解：函数
对任意，，，
．
再根据对任意，都有成立，
，即实数的取值范围．
若先将的图象上每个点横坐标伸长为原来的倍纵坐标不变，
得到的图象．
再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，
故函数在区间内的零点，
即在区间内的解．
而在区间内的解共有个，从小到大依次设为、、、，
根据正弦函数的图象的对称性，，，
函数在区间内的所有零点之和为．
【解析】本题主要考查三角恒等变换，函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于拔高题．
由题意利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再根据函数的定义域和值域，求得的最小值，可得的范围．
由题意利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，求得函数在区间内的所有零点之和．
22.【答案】解：在中，，
在中， ，
，
所以，
因为矩形是正方形，
，
所以，
所以，
所以 ．
因为，
所以，
即
因为 ，
所以当 ，即时，最大，
此时是的中点．

【解析】本题考查三角函数模型的应用，属于较难题．
先求得和的三角函数式，再由列出等式，即可得出的值；
由题可得，由三角函数的性质即可得出．
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