第五章 三角函数--(单元练习) 2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修第一册(含答案)

第五章三角函数
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
( )
A. B. C. D.
已知，且，那么( )
A. B. C. D.
用五点法画，的图象时，下列哪个点不是关键点( )
A. B. C. D.
已知，则( )
A. B. C. D.
已知，，，则( )
A. B. C. D.
已知，则的值是( )
A. B. C. D.
若且，则的值为( )
A. B. C. D.
已知函数的图象关于坐标原点对称，当时，方程有两个不同的实根，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
已知，则下列三角函数式中，与数值相同的是．( )
A. B.
C. D.
已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 的最小正周期是 B. 的最小值是
C. 直线是图像的一条对称轴 D. 直线是图像的一条对称轴
将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是( )
A. 是偶函数 B. 的最小正周期是
C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称
一半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米，已知水轮每秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时图中点开始计时，则( )
A. 点第一次到达最高点需要秒
B. 当水轮转动秒时，点距离水面米
C. 当水轮转动秒时，点在水面下方，距离水面米
D. 点距离水面的高度米与秒的函数解析式为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
函数的最小正周期是 ．
已知，则 ．
年是苏颂诞辰周年，苏颂发明的水运仪象台被誉为世界上最早的天文钟．水运仪象台的原动轮叫枢轮，是一个直径约米的水轮，它转一圈需要分钟．如图，当点从枢轮最高处随枢轮开始转动时，退水壶内水面位于枢轮中心下方米处．此时打开退水壶出水口，壶内水位以每分钟米的速度下降，将枢轮转动视为匀速圆周运动，则点至少经过________分钟结果取整数进入水中．参考数据：，，
函数的部分图象如图所示，则函数的解析式 为了得到一个奇函数的图象，只需将的图象向左平移个单位长度，则的最小值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
已知函数，且．
求的值；
求的值．
本小题分
已知函数．
用五点法在下列直角坐标系中画出它在上的图象；
写出函数的值域、最小正周期、对称轴，单调区间．
本小题分
已知函数．
Ⅰ求的最小正周期及对称轴方程；
Ⅱ当时，求函数的最大值、最小值，并分别求出使该函数取得最大值、最小值时的自变量的值．
本小题分
已知函数．
求函数的单调减区间；
将函数的图象向左平移个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域．
本小题分
设．
若，求函数的零点；
当时，恒成立，求实数的取值范围．
本小题分
如图，摩天轮的半径为，点距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处．
试确定在时刻时点距离地面的高度；
在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点距离地面超过？
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识．
利用三角函数的诱导公式，将角的三角函数化成锐角三角函数求值．
【解答】
解：．
故选D．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的知识要点：同角三角函数基本关系，属于基础题．
直接利用同角三角函数基本关系进行转换求出结果．
【解答】
解：已知，且，
故，
故，
根据，，
可得，
解得．
故选：．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角函数图象的作法，属于基础题．
直接根据“五点法”作图求解即可．
【解答】
解：用“五点法”画，的简图时，
横坐标分别为，
纵坐标分别为，，，，，
故选A．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查同角三角函数基本关系以及二倍角公式的应用，属于基础题．
先求出，再利用二倍角公式即可求解．
【解答】
解：由，可得，
由，
可得，
故选C．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用三角函数的单调性比较大小，属于中档题．
根据三角函数的单调性比较即可得到答案．
【解答】
解：已知，
因为在为增函数，所以，
即，即．
因为在为增函数，所以，
即，即．
又因为，，所以，
因为在为减函数，所以，
即，即，，所以．
故选：

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二倍角的余弦，运用诱导公式化简求值，考查计算能力，是基础题．
利用诱导公式和二倍角公式化简为含的表达式，然后代入的值，求解即可．
【解答】
解：
．
故选：．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查已知正弦求余弦、两角差的余弦公式，属于基础题．
由已知条件求出，将记为，利用两角差的余弦公式展开计算．
【解答】
解：因为，所以，则，
所以．
故选：

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正弦函数的性质，考查分析求解能力，属于中档题．
由函数为奇函数，得到结合，求出，对应有两个值，进而得到答案．
【解答】
解：因为函数的图象关于坐标原点对称，
所以函数是奇函数．
所以
又因为，
所以．
故．
当时，，，，
且在时，对应有两个值，
即当时，对应有两个值，
故方程有两个不同的实根，
则实数的取值范围为．
故选C．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角函数值的求解、诱导公式的应用，属于基础题．
直接利用诱导公式以及特殊角三角函数值求值判断即可．
【解答】
解：因为，
A.
B.；
C.；
D.．
与数值相同的是．
故选：．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数的图象与性质，降幂公式，辅助角公式等，属于中档题．
先利用降幂公式和二倍角公式，辅助角公式，化简，得，结合函数的图象与性质及正弦函数的图象和性质，逐项判断．
【解答】
解：
．
的最小正周期为，A正确；
当时，取得最小值为，B正确；
函数的对称轴为，，
即，，
当时，，当时，，
即直线是图象的一条对称轴，D正确，C错误．
故答案为．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数的图象变换规律，余弦函数的图象和性质的应用，属于中档题．
由已知利用函数的图象变换规律可求的解析式，利用余弦函数的图象和性质逐项分析，即可得出正确结论．
【解答】
解：将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，
，
对于由于是偶函数，故A正确；
对于由于的最小正周期是，故B错误；
对于．，则直线不是函数图象的对称轴，故C错误；
对于．，则是函数图象的一个对称中心，D正确，
故选：．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
设点距离水面的高度米与秒的函数解析式为依题意可知的最大值为，最小为，可得，，解得，，解得当时，，得求出，可得所求的函数关系式为进而对各个选项依次判断即可．
【解答】
解：设点距离水面的高度米与秒的函数解析式为
依题意可知的最大值为，最小为，
，，解得，．
，解得．
，
当时，，得，，，
故所求的函数关系式为 ， D错误，
令 ，
可得：，
，解得．
点第一次到达最高点要时间．A正确，
，B正确；
，C正确．
故选ABC．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查二倍角公式的应用，余弦函数的最小正周期的求法，属于基础题．
利用二倍角公式化简函数的解析式，由此可得它的最小正周期为．
【解答】
解：函数，所以函数，
故它的最小正周期为，
故答案为．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两角和与差的余弦公式，考查二倍角的正弦公式，属于基础题．
先利用两角和与差的余弦公式展开，再两边平方，即可求得的值．
【解答】
解：，
，
两边平方得：，
，
故答案为：．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了三角函数的实际应用，考查了学生的运算能力，是中档题．
设分钟后点转至点，和水面重合，则分钟后，，所以，又因为每分钟转，根据参考数据即可求出的值．
【解答】
解：设分钟后点转至点，和水面重合，，
如图所示：
，
则分钟后，，
，
转一圈需要分钟，每分钟转，
由题意可得：
当时，左边，右边，左边右边，说明点还未入水，
当时，左边，右边，左边右边，说明点已入水，
当，左边，右边，左边右边，说明点已入水，
点至少经过分钟进入水中．
故答案为：．

16.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查余弦函数的图像和性质，首先根据函数图像求出函数解析式，然后根据平移和奇偶性即可求出结果，属于中档题．
【解答】
解：设函数的最小正周期为，
由图像知，
解得，
所以，
，
故，，，
因为，当时满足条件，，
所以，
向左平移个单位长度得到为奇函数，
故，，
得，，
当，时满足条件．
故答案为；．

17.【答案】解：因为，
，，
故，
，
．
【解析】本题主要考查了诱导公式及同角基本关系在三角化简中的应用，属于基础题．
先利用诱导公式对已知函数进行化简，然后结合可求，然后结合同角基本关系把所求的式子化简即可求解；
结合同角平方关系把所求的式子分母上添上，然后结合同角平方关系代换，再利用同角商的关系即可求解．
18.【答案】解：列表如下：
描点画图如图所示．
由图可知，值域为，最小正周期为，
对称轴为，．
单调递增区间为，
单调递减区间为．
【解析】本题主要考查正弦函数的图象和性质的运用考查“五点作图法”的应用，考查函数的值域，周期和对称性和单调性，属于基础题．
利用“五点作图法”，列表、描点、连线，即可得到函数图像．
根据正弦函数的性质可得函数的值域、最小正周期、对称轴，单调区间．
19.【答案】解：Ⅰ
，
则最小正周期，
由，得，，
即函数的对称轴为，．
Ⅱ当时，，，
则当，即时，函数取得最大值，
此时取得最小值，最小值，
当，即时，函数取得最小值，
此时取得最大值，最大值．
【解析】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的性质以及复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键，是中档题．
Ⅰ利用二倍角公式以及辅助角公式进行化简，结合周期和对称性质进行求解即可．
Ⅱ求出角的范围，结合复合函数单调性之间的关系进行转化求解即可．
20.【答案】解：函数
，
当，
解得：，
因此，函数的单调减区间为；
将函数的图象向左平移个单位，
得的图象，
再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，
得到函数的图象，
，
，
故的值域为．
【解析】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性及函数的图象变换规律，正弦型函数的值域，属于中档题．
利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数的单调减区间；
利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再利用正弦型函数的值域，求得的值域．
21.【答案】解：由，
令，
则，
即或，，
解得或，
的零点是或．
由可得，
所以，
当时，易得，
由恒成立可得，
即，解得，
当时，可得，
由恒成立可得
即，解得，
综上可得，的取值范围是．

【解析】本题考查了函数零点的求解，考查了三角函数最值的求解本题的易错点是第二问中没对进行讨论，为中档题．
求出的具体表达式，令即可求出函数的零点．
分，两种情况进行讨论，分别求出函数的取值范围，结合恒成立可得关于实数的不等式，从而可求出实数的取值范围．
22.【答案】解：由题意，
可知：在时刻时点距离地面的高度，，
可得：，，，可得，
则：，
又时，，
则，
又，则，
故：在时刻点离地面的高度；
令，得，
即有，
解得，
在旋转一圈的三分钟的时间里，有一分钟的时间高度超过．

【解析】本题考查三角函数模型的应用，属于基础题．
根据题意，可得： 在时刻时点距离地面的高度，，进行求解即可；
令，进行求解即可．
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