高中数学选择性必修第一册人教A版（2019）2.2《直线的一般式方程》名师课件（共31张PPT）

(共31张PPT)
直线方程有几种形式？指明它们的条件及应用范围.
点斜式
斜截式
两点式
截距式
复习引入
人教A版同步教材名师课件
直线的一般式方程
学习目标
学 习 目 标 核心素养
掌握直线的一般式方程 数学抽象
数学运算
理解关于的二元一次方程不同时为都表示直线 数学抽象
数学运算
学习目标
学习目标：
1.掌握直线的一般式方程.
2.理解关于的二元一次方程不同时为都表示直线.
3.会进行直线方程的五种形式之间的转化.
学科核心素养：
通过学习直线五种形式的方程相互转化,提升逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养.
思考1:平面直角坐标系中的任意一条直线方程都可以写成的形式吗？
点斜式：即
当斜率不存在时,直线方程为：
平面直角坐标系中的任意一条直线方程都可以写成的形式
探究新知
思考2:关于,的二元一次方程(,不同时为0),
当时,方程表示的图形是什么？当时,方程表示的图形是什么？
当时,方程表示垂直于轴的直线,不存在斜率.
当时,方程变形为,它表示过点,其斜率是的直线
探究新知
综上分析,任意一条直线的方程都可以写成的形式,同时,关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程A+B+C=0(A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程.
探究新知
直线的一般式方程:
探究新知
探究新知
已知两条直线
l1∥l2 或当时,记为
l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0,当时,记为
l1与l2重合 ,,,当时,记为 .
l1与l2相交 ,当时,记为 .
典例讲解
解析
例1、(1)下列直线中,斜率为-,且不经过第一象限的是( )
(2)已知直线经过点,求直线的一般式方程和截距式方程.
B
(2)因为直线经过点,,所以由两点式得,整理得,化为截距式得.所以直线的一般式方程为,截距式方程为.
方法归纳
求直线方程时,结果在未作出要求的情况下,一般都整理成一般式.
(1)一般式化为斜截式的步骤:
①移项得;
②当时,得斜截式:.
(2)一般式转化为截距式
一是分别令求得和;
二是移常数项,得,两边同除以,再整理即可.
变式训练
(1)由两点式方程,得,整理得.
(2)将直线方程化为截距式,
得,因此有解得
1.(1)写出经过, 两点的直线方程,并化为一般式方程.
(2)已知直线在轴、轴上的截距分别是和,求、.
解析
例2、(1)求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程.
(2)直线l1:ax＋(1－a)y－3＝0与直线l2:(a－1)x＋(2a＋3)y－2＝0垂直,求a的值.
典例讲解
(1)法一：设直线的斜率为,
因为与直线平行,所以.
又因为经过点,可得所求直线方程为,即.
解析
法二：设与直线平行的直线的方程为.
因为经过点,所以,
解得.
所以所求直线方程为.
典例讲解
解析
(2)法一：当时,,所以
当时,,所以.
当时,且时, ,
由于,则,解得.
综上可知,当或时, .
法二：中,,
中,.
若,则从而有,解得或.
例2、(1)求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程.
(2)直线l1:ax＋(1－a)y－3＝0与直线l2:(a－1)x＋(2a＋3)y－2＝0垂直,求a的值.
(1)直线方程的设法
①直线Ax＋By＋C＝0中系数A、B确定直线的斜率,因此,与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C),这是经常采用的解题技巧.
②经过点A(x0,y0),且与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0.
③与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线可设为Bx－Ay＋m＝0(m为参数).
方法归纳
方法归纳
(2)两直线平行与垂直的判断
若(或)
若.
变式训练
解析
2.直线与直线平行,则的值为( )
C D
C
若,需解得或.
当时,
.
所以即为所求.所以应选.
典例讲解
解析
例3、已知直线.
(1)求证：直线恒过定点,并求出该定点坐标;
(2)是否存在实数,使得直线与轴和轴的正半轴都相交,若存在,求出的范围,并求出与两坐标轴围成的三角形面积的最小值.若不存在,说明理由.
(1)法一：由得.
所以当即时,直线恒过定点.
法二：由得,
表示过点的点斜式,即直线恒过定点
典例讲解
解析
(2)由(1)知直线恒过第一象限的点.
得与轴利轴的交点分别,
由题意得所以
所以当时,直线与轴和轴的正半轴都相交.
例3、已知直线.
(1)求证：直线恒过定点,并求出该定点坐标;
(2)是否存在实数,使得直线与轴和轴的正半轴都相交,若存在,求出的范围,并求出与两坐标轴围成的三角形面积的最小值.若不存在,说明理由.
典例讲解
解析
例3、已知直线.
(1)求证：直线恒过定点,并求出该定点坐标;
(2)是否存在实数,使得直线与轴和轴的正半轴都相交,若存在,求出的范围,并求出与两坐标轴围成的三角形面积的最小值.若不存在,说明理由.
此时
因为
所以当
的面积取得最小值
方法归纳
针对这个类型的题,灵活地把一般式进行变形是解决这类问题的关键在求最值或参数取值范围时,巧妙地构造出二次函数或利用数形结合思想,会使问题简单明了.
变式训练
解析
3.已知直线
(1)求证:不论为何值,直线总经过第一象限;
(2)为使直线不经过第二象限,求的取值范围.
(1)证明:将直线的方程整理为,
所以的斜率为,且过定点
而点在第一象限,故必过第一象限.
(2)直线的斜率为.因为不经过第二象限,所以.
故的取值范围是
1.直线一般式方程的结构特征
(1)方程是关于x,y的二元一次方程.
(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x,y,常数的先后顺序排列.
(3)x的系数一般不为分数或负数.
(4)虽然直线方程的一般式有三个参数,但只需两个独立的条件即可求得直线的方程.
素养提炼
2.二元一次方程的系数和常数项对直线位置的影响
(1)当A＝0,B≠0,C≠0时,方程表示的直线与x轴平行.
(2)当A≠0,B＝0,C为任意实数时,方程表示的直线与x轴垂直.
(3)当A＝0,B≠0,C＝0时,方程表示的直线与x轴重合.
(4)当A≠0,B＝0,C＝0时,方程表示的直线与y轴重合.
(5)当C＝0,A,B不同时为0时,方程表示的直线过原点.
素养提炼
素养提炼
3.一般式化为其他形式
直线方程最终都可以转化为一般式,反过来,直线的一般式方程也可以向其他形式转化,但它的参数要有限制.
(1)若,则直线垂直于轴,它不能转化为其余的种形式;
(2)若,则直线与轴垂直,它只能转化为点斜式和斜截式;
(3)若,则直线的方程可转化为点斜式、斜截式和两点式,不能用截距式方程表示;
素养提炼
(4)若,则直线的方程可转化为任何形式.
特别地,解题时,要根据题中的条件与结论选择适当的直线方程形式.一般地,已知直线上一个定点,常设直线的点斜式方程;已知直线的斜,常设直线的点斜式或斜截式方程;已知截距,常设直线的斜截式或截距式方程;若已知条件过少或难以利用,可设直线的斜截式或一般式方程.
1.若方程Ax＋By＋C＝0表示直线,则A、B应满足的条件为(　　)
A.A≠0 B.B≠0 C.A·B≠0 D.A2＋B2≠0
方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A、B不能同时为0,即A2＋B2≠0.
D
当堂练习
解析
2.已知ab<0,bc<0,则直线ax＋by＝c通过(　　)
A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限
　C
由ax＋by＝c,得
∵ab<0,bc<0,∴直线的斜率k＝ , 直线在y轴上的截距
由此可知直线通过第一、三、四象限.
解析
3.已知两直线l1：x＋my＋6＝0,l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0,
(1)若l1∥l2,则m＝________.
－1
由题意知得m＝ 1.
(2)若l1⊥l2,则m＝________.
由题意知1×(m－2)＋m×3＝0, 得m＝ .
当堂练习
解析
解析
由题意,设l的方程为3x＋4y＋C＝0,
将点(1,2)代入l的方程
3＋4×2＋C＝0 得C＝－11,
∴直线l的方程为3x＋4y－11＝0.
当堂练习
解析
4.求与直线3x＋4y＋1＝0平行,且过点(1,2)的直线l的方程.
直线方程名称 直线方程形式 适用范围
点斜式
斜截式
两点式
截距式
不垂直轴
不垂直轴
不垂直坐标轴
不垂直坐标轴且不经过原点
一般式 (,不同时为0) 对任何直线都适用
归纳小结
P66 练习 :1、2、3
作 业