高中数学选择性必修第一册人教A版（2019）2.2.3 一般式方程 课件（共33张PPT）

(共33张PPT)
第二章 2.2.3一般式方程
1.掌握直线的一般式方程；
2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线；
3.会进行直线方程的五种形式之间的转化.
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
问题导学 　　　　新知探究 点点落实
知识点一　直线的一般式方程
思考1　直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)来表示吗？
答案　能.
思考2　关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)一定表示直线吗？
答案　一定.
思考3　当B≠0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示怎样的直线？B＝0呢？
形式
条件 A，B
Ax＋By＋C＝0
不同时为0
所以该方程表示一条垂直于x轴的直线．
知识点二　直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系
题型探究 　　　　重点难点 个个击破
类型一　直线一般式的性质
例1　设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.
(1)若直线l在x轴上的截距为－3，则m＝________.
解析　令y＝0，
得m＝ 或m＝3(舍去).
∴m＝ .
(2)若直线l的斜率为1，则m＝________.
－2
解析　由直线l化为斜截式方程
得m＝－2或m＝－1(舍去).
∴m＝－2.
反思与感悟
(1)方程Ax＋By＋C＝0表示直线，需满足A，B不同时为0.
(2)令x＝0可得在y轴上的截距.令y＝0可得在x轴上的截距.若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式.
(3)解分式方程注意验根.
跟踪训练1　 (1)若方程(a2＋5a＋6)x＋(a2＋2a)y＋1＝0表示一条直线，则实数a满足________.
得a＝－2，
∵方程(a2＋5a＋6)x＋(a2＋2a)y＋1＝0表示一条直线，
∴a≠－2.
　a≠－2
(2)直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0，
①若l在两坐标轴上的截距相等，求a；
解　令x＝0，则y＝a－2，
令y＝0，则
∵l在两坐标轴上的截距相等，
得a＝2或a＝0.
②若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.
解　由①知，在x轴上截距为
在y轴上的截距为a－2，
得a<－1或a＝2.
类型二　判断两条直线的位置关系
例2　判断下列直线的位置关系：
(1)l1：2x－3y＋4＝0，l2：3y－2x＋4＝0；
解　直线l2的方程可写为－2x＋3y＋4＝0，
(2)l1：2x－3y＋4＝0，l2：－4x＋6y－8＝0；
∴l1与l2重合.
∴l1∥l2.
(3)l1：(－a－1)x＋y＝5，l2：2x＋(2a＋2)y＋4＝0.
解　由题意知，当a＝－1时，
l1：y＝5，l2：x＋2＝0，
∴l1⊥l2.
当a≠－1时，
故l1不平行于l2，
又(－a－1)×2＋(2a＋2)×1＝0，
∴l1⊥l2，综上l1⊥l2.
反思与感悟
(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件.
(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
跟踪训练2　 (1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；
解　方法一　
由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，l2：mx＋3y－2＝0知：
①当m＝0时，显然l1与l2不平行.
解得m＝2或m＝－3，
∴m的值为2或－3.
方法二
令2×3＝m(m＋1)，
解得m＝－3或m＝2.
当m＝－3时，
l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，
显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.
同理当m＝2时，
l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，
显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.
∴m的值为2或－3.
(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线
l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？
解　方法一　
由题意知，直线l1⊥l2.
①若1－a＝0，即a＝1时，
直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0显然垂直.
②若2a＋3＝0，即a＝ 时，
直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直.
③若1－a≠0，且2a＋3≠0，
则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，
当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，
∴a＝－1.
综上可知，当a＝1或a＝－1时，
直线l1⊥l2.
方法二　
由题意知直线l1⊥l2，
∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，
解得a＝±1，
将a＝±1代入方程，均满足题意.
故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
类型三　求平行、垂直的直线方程
例3　已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：
(1)过点(－1,3)，且与l平行；
(2)过点(－1,3)，且与l垂直.
解　方法一　l的方程可化为
∴l的斜率为
(1) ∵l′与l平行，
∴l′的斜率为－ 又∵l′过点(－1,3)，
即3x＋4y－9＝0.
(2) ∵l′与l垂直，
又l′过点(－1,3)，
即4x－3y＋13＝0.
方法二 (1) 由l′与l平行，
可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0.
将点(－1,3)代入上式得m＝－9.
∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.
(2) 由l′与l垂直，
可设l′的方程为4x－3y＋n＝0.
将(－1,3)代入上式得n＝13.
∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.
反思与感悟
一般地，直线Ax＋By＋C＝0中系数A、B确定直线的斜率，因此，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.这是经常采用的解题技巧.
跟踪训练3　已知点A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0.
求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；
解　将与直线l平行的直线方程设为3x＋4y＋C1＝0，
又过点A(2,2)，
所以3×2＋4×2＋C1＝0，
所以C1＝－14.
所求直线方程为3x＋4y－14＝0.
(2)过点A和直线l垂直的直线方程.
解 将与l垂直的直线方程设为4x－3y＋C2＝0，
又过点A(2,2)，
所以4×2－3×2＋C2＝0，
所以C2＝－2，
所以直线方程为4x－3y－2＝0.
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达标检测 　　　　
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1.若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A、B应满足的条件为(　　)
A.A≠0 B.B≠0
C.A·B≠0 D.A2＋B2≠0
解析　方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A、B不能同时为0，即A2＋B2≠0.
D
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2.已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c通过(　　)
A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限
　C
解析　由ax＋by＝c，
∵ab<0，bc<0，
∴直线的斜率k＝
直线在y轴上的截距
由此可知直线通过第一、三、四象限.
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3.已知两直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，
(1)若l1∥l2，则m＝________.
－1
得m＝－1.
(2)若l1⊥l2，则m＝________.
解析 由题意知1×(m－2)＋m×3＝0，
得m＝ .
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4.求与直线3x＋4y＋1＝0平行，且过点(1,2)的直线l的方程.
解　由题意，设l的方程为3x＋4y＋C＝0，
将点(1,2)代入l的方程
3＋4×2＋C＝0 得C＝－11，
∴直线l的方程为3x＋4y－11＝0.
规律与方法
1.根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法
(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则k1＝k2且b1≠b2；若都不存在，则还要判定不重合.
(2)可直接采用如下方法：
一般地，设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
l1∥l2 A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0，或A1C2－A2C1≠0.
这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性.
2.根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法
(1)若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截式后，则k1k2＝－1.
(2)一般地，设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
第二种方法可避免讨论，减小失误.