高中数学选择性必修第一册人教A版（2019）【学案】第2章2.2.3直线的一般式方程（含答案）

2.2.3　直线的一般式方程
学 习 目 标 核 心 素 养
1.掌握直线的一般式方程．(重点)2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线．(重点、难点)3.会进行直线方程的五种形式之间的转化．(难点、易混点) 通过学习直线五种形式的方程相互转化，提升逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养.
初中我们学习过二元一次方程，它的具体形式是Ax＋By＋C＝0，前面我们又学习了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，斜截式：y＝kx＋b，两点式＝和截距式：＋＝1.它们都可以化成为二元一次方程的这种形式，同时在一定条件下，这种形式也可以转化为斜截式和截距式，我们把Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为零)叫做直线的一般式，下面进入今天的学习．
直线的一般式方程
(1)定义：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
(2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示．
(3)系数的几何意义：
①当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)；
②当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率．
思考：当A＝0或B＝0或C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0分别表示什么样的直线？
[提示]　(1)若A＝0，则y＝－，表示与y轴垂直的一条直线．
(2)若B＝0，则x＝－，表示与x轴垂直的一条直线．
(3)若C＝0，则Ax＋By＝0，表示过原点的一条直线．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线的一般式方程可以表示平面内任意一条直线． (　　)
(2)直线的其他形式的方程都可化为一般式． (　　)
(3)关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)一定表示直线． (　　)
[提示]　(1)√　(2)√　(3)√
2．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为(　　)
A． A≠0 B． B≠0
C． A·B≠0 D． A2＋B2≠0
D　[方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0. 故选D. ]
3．已知直线2x＋ay＋b＝0在x轴、y轴上的截距分别为－1，2，则a，b的值分别为(　　)
A．－1,2 B．－2,2
C．2，－2 D．－2，－2
A　[y＝0时，x＝－＝－1，解得b＝2，当x＝0时，y＝－＝－＝2，解得a＝－1.]
4．直线3x－y＋1＝0的倾斜角为________．
60°　[把3x－y＋1＝0化成斜截式得y＝x＋，
∴k＝，倾斜角为60°.]
5．直线－＝1的一般式方程是________．
3x－2y－6＝0　[由－＝1得3x－2y－6＝0.]
直线的一般式方程与其他形式的互化
【例1】　(1)已知直线l的一般式方程为2x－3y＋6＝0，请把一般式方程写成为斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐标轴上的截距．
(2)根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．
①斜率是－，经过点A(8，－2)；
②经过点B(4,2)，平行于x轴；
③在x轴和y轴上的截距分别是，－3；
④经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)．
[解]　(1)由l的一般式方程2x－3y＋6＝0得斜截式方程为：y＝x＋2.
截距式方程为：＋＝1.
由此可知，直线的斜率为，在x轴、y轴上的截距分别为－3,2.
(2)①由点斜式得y－(－2)＝－(x－8)，即x＋2y－4＝0.
②由斜截式得y＝2，即y－2＝0.
③由截距式得＋＝1，即2x－y－3＝0.
④由两点式得＝，即x＋y－1＝0.
1．求直线一般式方程的方法
2．由直线方程的一般式转化为四种特殊形式时，一定要注意其运用的前提条件．
[跟进训练]
1．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．
(1)斜率是且经过点A(5,3)；
(2)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点；
(3)在x，y轴上的截距分别是－3，－1.
[解]　(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－3＝(x－5)，化为一般式方程为x－y＋3－5＝0.
(2)由两点式方程可知，所求直线方程为＝，化为一般式方程为2x＋y－3＝0.
(3)由截距式方程可得，所求直线方程＋＝1，化为一般式方程为x＋3y＋3＝0.
直线的平行与垂直
【例2】　(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；
(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直．
[思路探究]　利用两直线平行与垂直的条件，但要注意斜率的存在与否．
[解]　法一：(1)由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，
l2：mx＋3y－2＝0知：
①当m＝0时，显然l1与l2不平行．
②当m≠0时，要使l1∥l2，需＝≠.
解得m＝2或m＝－3，∴m的值为2或－3.
(2)由题意知，直线l1⊥l2.
①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0显然垂直．
②若2a＋3＝0，即a＝－时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直．
③若1－a≠0且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－，k2＝－.
当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，
即·＝－1，
∴a＝－1.
综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
法二：(1)令2×3＝m(m＋1)，
解得m＝－3或m＝2.
当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，
显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.
同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，
显然l1与l2不重合，∴l1∥l2，∴m的值为2或－3.
(2)由题意知直线l1⊥l2，
∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1，
将a＝±1代入方程，均满足题意．
故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
1．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
(1)若l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．
(2)若l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.
[跟进训练]
2．已知直线l1：x＋my＋6＝0，直线l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0.求m的值，使得l1和l2：
(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2.
[解]　(1)由1×3－m(m－2)＝0得，m＝－1或m＝3.
当m＝－1时，l1：x－y＋6＝0，l2：3x－3y＋2＝0.
两直线显然不重合，即l1∥l2.
当m＝3时，l1：x＋3y＋6＝0，l2：x＋3y＋6＝0.
两直线重合．故l1∥l2时，m的值为－1.
(2)由1×(m－2)＋m×3＝0得m＝，故l1⊥l2时m的值为.
含参数的直线一般式方程问题
[探究问题]
1．直线kx－y＋1－3k＝0是否过定点？ 若过定点，求出定点坐标．
[提示]　kx－y＋1－3k＝0可化为y－1＝k(x－3)，由点斜式方程可知该直线过定点(3,1)．
2．若直线y＝kx＋b(k≠0)不经过第四象限，k，b应满足什么条件？
[提示]　若直线y＝kx＋b(k≠0)不经过第四象限，则应满足k>0且b≥0.
【例3】　已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围．
[思路探究]　(1)当直线恒过第一象限内的一定点时，必然可得该直线总经过第一象限；(2)直线不过第二象限即斜率大于0且与y轴的截距不大于0.
[解]　(1)证明：法一：将直线l的方程整理为y－＝a，
∴直线l的斜率为a，且过定点A，而点A在第一象限内，故不论a为何值，l恒过第一象限．
法二：直线l的方程可化为(5x－1)a－(5y－3)＝0.
∵上式对任意的a总成立，
必有即
即l过定点A. 以下同法一．
(2)直线OA的斜率为k＝＝3.
如图所示，要使l不经过第二象限，需斜率a≥kOA＝3，∴a≥3.
1．本例中若直线在y轴的截距为2，求字母a的值，这时直线的一般式方程是什么？
[解]　把方程5ax－5y－a＋3＝0化成斜截式方程为y＝ax＋.
由条件可知＝2解得a＝－7，
这时直线方程的一般式为：7x＋y－2＝0.
2．本例中，a为何值时，已知直线与2x－y＋3＝0平行？垂直？
[解]　若两直线平行时，则＝≠
解得a＝2，
若两直线垂直时，则5a×2＋(－5)×(－1)＝0，
解得a＝－，
故a＝2时，两直线平行；a＝－时两直线垂直．
3．本例中将方程改为“x－(a－1)y－a－2＝0”，若直线不经过第二象限，则a的取值范围又是什么？
[解]　(1)当a－1＝0，即a＝1时，直线为x＝3，该直线不经过第二象限，满足要求．
(2)当a－1≠0，即a≠1时，直线化为斜截式方程为y＝x－，因为直线不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且在y轴的截距小于等于零，即解得，所以a>1.
综上可知a≥1.
直线恒过定点的求解策略
(1)将方程化为点斜式，求得定点的坐标；
(2)将方程变形，把x, y看作参数的系数，因为此式子对于任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x, y的值，即为直线过的定点．
1．直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化
一般式 斜截式 截距式
Ax＋By＋C＝0 (A，B不同时为0) y＝－x－(B≠0) ＋＝1(A、B、C≠0)
2.两个重要结论
结论1：平面直角坐标系中任何一条直线都可以用关于x、y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为零)来表示．
结论2：任何关于x、y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为零)都可以表示平面直角坐标系中的一条直线．
3．根据两直线的一般式方程判定两直线平行和垂直的方法
一般地，设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
(1)l1∥l2
(2)l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
1．如果ax＋by＋c＝0表示的直线是y轴，则系数a，b，c满足条件(　　)
A．bc＝0 B．a≠0
C．bc＝0且a≠0 D．a≠0且b＝c＝0
D　[y轴方程表示为x＝0，所以a，b，c满足条件为
b＝c＝0，a≠0.]
2．直线x－y－1＝0与坐标轴所围成的三角形的面积为(　　)
A． B．2 C．1 D．
D　[由题意得直线与坐标轴交点为(1,0)，(0，－1)，故三角形面积为.]
3．斜率为2，且经过点P(1,3)的直线的一般式方程为________．
2x－y＋1＝0　[由点斜式的y－3＝2(x－1)，整理得2x－y＋1＝0]
4．直线x－3y＋4＝0与直线mx＋4y－1＝0互相垂直，则实数m的值为________．
12　[因为两条直线垂直，∴1×m－3×4＝0，解得m＝12.]
5．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求直线l′的一般式方程，l′满足
(1)过点(－1,3)，且与l平行；
(2)过点(－1,3)，且与l垂直．
[解]　法一：(1)由题设l的方程可化为y＝－x＋3，
∴l的斜率为－.
由l′与l平行，∴l′的斜率为－.
又∵l′过(－1,3)，由点斜式知方程为y－3＝－(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.
(2)由l′与l垂直，∴l′的斜率为，
又∵l′过(－1,3)，由点斜式可得方程为y－3＝(x＋1)，
即4x－3y＋13＝0.
法二：(1)由l′与l平行，可设l′方程为3x＋4y＋m＝0.
将点(－1,3)代入上式得m＝－9.
∴所求直线方程为3x＋4y－9＝0.
(2)由l′与l垂直，可设其方程为4x－3y＋n＝0.
将(－1,3)代入上式得n＝13.
∴所求直线方程为4x－3y＋13＝0.
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