《直线的方程》高考通关练
一、选择题
1.(2020·河南信阳第四高级中学月考)直线的位置只可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.(2020·银川一中月考)已知函数，当时，则方程表示的直线大致是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.(2020·四川雅安中学单元检测)若直线过点且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线有（ ）
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
4.(2020·湖南长郡中学月考)设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是（ ）
A.3
B.4
C.5
D.6
5.（2020·贵州遵义二联）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线。已知△ABC的顶点，则△ABC的欧拉线方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
6.(湖北麻城一中月考)一条光线从处射到点后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程为________。
7.(2020·湖北团风中学单元检测)已知两条直线和都过点，则过两点的直线方程是______。
8.(2020·山东青岛质量检测)若两条直线与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则m的值等于________。
9.(2020·广东实验中学单元检测)已知集合，，若，则a的取值是______。
三、解答题
10.(2020·深圳中学月考)为了绿化城市，拟在知形区城ABCD内建立一个矩形草坪（如图所示），另外△EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量，应如何设计才能使草坪面积最大？
参考答案
一、选择题
1.
答案：B
解析：令，则直线与x轴的交点的横坐标分别为，符号一正一负，观察图像可知，只有选项B符合要求。
2.
答案：C
解析：。
又令得令得，
C项符合要求。
3.
答案：C
解析：设直线的截距式方程为。
直线经过点，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为，
解得或或
故直线的条数为3。
4.
答案：C
解析：易知，且，，
（当且仅当时等号成立）。
5.
答案：D
解析：线段AB的中点为线段AB的垂直平分线为，即，△ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上，因此△ABC的欧拉线的方程为。故选D。
二、填空题
6.
答案：
解析：由光的反射定律可得，点关于y轴的对称点在反射光线所在的直线上。再由点也在反射光线所在的直线上，用两点式可求得反射光线所在的直线的方程为即。
7.
答案：
解析：点在直线上，。由此可知点的坐标满足。点在直线上，。
由此可知点的坐标也满足。两点确定一条直线，过
两点的直线方程是。
8.
答案：
解析：如图，四边形AOBC有外接圆，，
即。
9.
答案：
解析：集合A，B分别为平面上的点集。
集合A表示，
集合B表示。
①由得
解得。
当时，；
当时，集合A表示，集合B表示直线；
②由题可知，即时，
可得，此时。
综上可知，当a的值为时，。
点评：（1）本题以集合的形式出现，但要转化为两直线的位置关系进行讨论。（2）由于集合A表示的是去掉点的一条直线，因此除了考虑两直线平行外，还要考虑当过点且不与重合时，也有。（3）本题充分体现了分类讨论思想的重要性。
三、解答题
10.
答案：见解析
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则，易得直线EF的方程为，在线段EF上取点，作，垂足为点Q，，垂足为点R，设矩形PQCR的面积为S，
则。
又
。
于是当时，S取得最大值，这时。
当矩形草坪的两边在BC，CD上，一个顶点P在线段EF上，且时，草坪面积最大。
4 / 7《直线的方程》学考达标练
一、选择题
1.(2020·浙江杭州二中单元检测)直线的方程，若过原点和第二、四象限，则（ ）
A.
B.
C.
D.
2.(2020·河北冀州中学单元检测)下列说法正确的是（ ）
A.方程表示过点且斜率为的直线
B.直线与轴的交点为，其中截距
C.在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为
D.方程表示过任意不同两点的直线方程
3.（2020·江西景德镇一中单元检测）已知直线的图像如图所示，则（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
4.(2020·湖北团风中学月考)若两条直线与互相垂直，则a的值等于（ ）
A.3
B.3或5
C.3或或2
D.
二、填空题
5.(2020·辽宁沈阳二中单元训练)过点，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程是________。
6.(2020·安黴太和中学单元检测)已知直线的倾斜角大于45°，则a的取值范围是________。
三、解答题
7.(2020·浙江杭州金山中学单元测试)已知直线。
（1）求证：不论a为何值，直线总经过第一象限；
（2）为使直线不经过第二象限，求实数a的取值范围。
参考答案
一、选择题
1.
答案：D
解析：直线过原点，。又直线过第二、四象限，斜率为负值，即。故选D。
2.
答案：D
解析：方程表示过且斜率为的直线，但不包括点，故A错；对于B，截距可正、可负、可为零，从而错误；对于截距式方程中要求，故C错。
3.
答案：D
解析：由，得斜率，直线在x轴，y轴上的截距分别为。由题图知，，即，。若，则；若，则。
4.
答案：C
解析：由两条直线垂直知，
即解得。故选C。
二、填空题
5.
答案：
解析：当直线在y轴上的截距时，方程可设为，将代入得，故，即；当直线在y轴上的截距时，方程可设为将代入得，故，即。
6.
答案：
解析：当时，直线的倾斜角为90°，符合要求；
当时，直线的斜率为，只要或即可，
解得或或。
综上可知，实数a的取值范围是。
三、解答题
7.
答案：见解析
解析：（1）将直线方程变形为。
当时，直线一定经过第一象限；
当时，，直线显然经过第一象限；
当时，，因此直线经过第一象限。
综上可知，不论a为何值，直线一定经过第一象限。
（2）由（1）知直线经过第一象限，若直线不经过第二象限，则有，解得，即a的取值范围为。
3 / 4《直线的方程》竞赛培优
一、填空题
1.(2019·北京大学附中竞赛训练)在平面直角坐标系中，将直线沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线。再将直线沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线重合。若直线与直线关于点对称，则直线的方程是______。
2.(2019·湖北华师一附中竟赛训练)已知点，直线将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是_____。
参考答案
一、填空题
1.
答案：
解析：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，将直线沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线
，将直线沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为，
即，解得直线的方程为，直线的方程为，取直线上的一点，则点P关于点的对称点为，
，解得。
直线的方程是，即。
2.
答案：
解析：由题意画出图形，如图（1）。由图可知，直线BC的方程为。
由解得。
可求。
直线将△ABC分割为面积相等的两部分，
。
又，
即，
整理得。
，
即，可以看出，当a增大时，b也增大。
当时，，即。
当时，直线接近于。
当时，如图（2），。
。
由上分析可知。
3 / 3
